Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для того чтобы система слала полной, на ати переменные накладываются рааличпые дополнительные соотношения. 6.2. точка зрения кинетической теории Чтобы лучше понять суп(ность различных членов з уравнениях сохранения (6.7) — (6.9), вмясним, что они представляют собой с точки зрения молекулярной теорви. Скорости молекул распределены в некотором интервале, и параметры течения связаны с функцией распределения ( (х, ч, С), которая определяется так, по зелвчина 7(х т, т) псс птапса лотппа Яса представляет собой вероятное число молекул в злементе объема бл, от, ста с центром е точке х и со скороствмв я области сот сЬа с(ос с центром з тачке т.
Плотность и мавроскапическая скорость н определяэпсв равенствами Р= ) штат Ркс= ~ шаДЯт, хде ш — масса одной молекулы и ~ бт — тройной интеграл по всем значениям ит, па, и . Полный поток Ий комконеиты вмпульса 6.2. Точка аренвя винеткческой теарвн черве поверхность с вектором нормали 1 составляет ~ то; ()ггг) ) Ич. (6.14) Положим т = п + с, так что с равно отнловенню молекулярной скорости ат средней скорости п, определяемой равенствам (6.13)1 тогда носледпее выражение можно ааписать так: )г (и,иг ) т)ос+и; ~ та~)дс-)-пг ) тсяос+ ~ юг~с (г)с). В силу определения с как отклонения от средней скорости второй в третий члены равны нулю н остается (6Л5) Для вдеалнаврованного гана, у которого межмолекулярвые силн ограничены практически мгновенными соудареввямв молекул, это едвпствепный вклад в интеграл по поверхности, входящий а урав- нение (6.3), и, следовательно, — р;= 17 ) тс;сг(дс.
(6Л6) Это равенства согласуется с формулой (6.1) в поаволяет аапксать тенэор напряжеплй в следующем виде: — рд = ) лю;сг))с; (6.17) т яю$гот= э Рщ + ) Тжс 1оо. (6Л6) условие свмметрнв (6.12), очевидно, выполняется. Таким обрааом„ вклад поверхностных напряжений в (6.3) можно интерпретировать как дополнвтелыпэй поток импульса, создаваемый движением молекул относительно среднего. Каждая молекула обладает ввветвческай эвергвей ноступатального двюкення, равной '/, тгэ. Молекулы также могут обладать колебательной нлн вращательной анергней, но адесь мы рассмотрим одноатомный гаэ, для которого эти дополнительные формы ввергал отсутствуют.
В этом случае полная энергия на едвннцу объеме составляет Гл. 6. Газовая динамика Следовательно, в ивтеграле по объему в уравнении (6.4) члев, описывающий ввутреввюю энергию„мовсво интерпретировать как дополиительвую энергию движения молекул относительно среднего, так что ре= ~ — ыс((Нс. г 2 (6Л9) Поток энергии через алемеит поверхиости с вормалью ! равеи т за 1гогф йг. 3 где г 1 рг = ) — юсгсг(дс.
) з (6.24) Сравнивая этот реаулыат с ураввевием (6.4), видим, что выражевие (6.20) совпадает с выражением для потока ввергли в (6.4) и что тепловой поток ц ивтервретируетсн как перенос молекулами излишка молекулярвой авергии. Даже прв рассмотревив идеального газа важво вкаючвть в рассмотрепие колебательную и вращательную ввергаю, которой обладают двухагомвые и более сложиые молекулы.
Следует добавить зту внергию н сыр ажеюпо (6 Л9), а так>хе учесть соответствующвй вклад в вектор теплового вотока (6.24). Осиавнай результат Статистической мехавики состоит в том, что равличкые форыы внергпи достигают равновесия с равнымв вкладами от каждой степени свободы. Зго повволит иам при иеобходимастк обобщить реаультат (6.19), не вдаваясь в подробности. Такая ивтерпретация непряжевия, внутренней энергии и теплового потова в терминах случайвого ыолекуляриого движевив показывает, что равлвчные величивм, введевпые в равенствах (6.7) — (6.9), ие только являлися специально подобраввыми перемеввыми, отражающими все важные аффекты, которые только пришли к нам в голову, ио и укладываются в содержательную схему все более и более высоких момевтов Функции распределения ао скоростям. Действительно, в собственно виветической теории основное уравнение формулируется для П а ватем уравнения сохранения (6.7) — (6.9) азюодлвюл как его следствия.
В качестве При помощи уже введеввых велвчвн зто выражеиие можно представить в виде 1г(з Рп(пг+Ргпг — Ргш|+Ч!) (6.20) Ж.3. Ураввевия без учета вязкости и т. и. ураввевия для ) обычно привямают уравнение Больцмава или агакое-либо приблвигевие к вкчу. Вернемся теперь в уравнениям сплопшой среды. 6.3. Уравнения беа учета вязкости, теплонередачи и релаксации Для газа в равновесном состоявив при отсутствии массовых свл справедлюю следующее. (. Напряжение ва люГюм злемевте поверхвости ааправлево во нормали к атому алемевту и ве аависит от его ориентации, так па ря = — рбя (6.22) где р — скалярное давление.
2. Тецлож1й поток отсутстауеп рг =О. (6.23) 3. Ввутреавяя энергия является аадаввой фувкпией е = с (Р, Р) (6.24) от давления и плотности. Вид атой функции устанавливается ва отказе зкспервмевта и рааличвых термодивамических соображевий. Если гаа кеодвородеи и находится в движении, то ии одно иа этих соотвошевий, строго говоря, ве выполняется. Однако если производюте по времени и пс простравствеявыч переменным ве слвшкам велики, то указаивые формулы во мяогвх случаях являются хороппгм приближевием. С учетом этих соотяошевий освозвые уравиевия сохраяевия обраауют полвую систему ураввевий дла пЯти паРаметРов течениЯ Р, Р, иг. Эти УРавнениЯ вмеют вид д + а" (Рпг) О (6 23) д, й .
(Рп1кг) -~- = Ррь (6.26) д (Рай д др д (2 Рп*+Ре) + д ((урига+Рс+Р) и,.) =Рупь (6.27) В случае когда ати ураавеиая прююкааывахп ударвме волны или другие области с высоквми градиентами, используемые формулы, еозможао, потребуют уточнения. Первое предполсжевие (6.22) соответствует пренебрежению влиянием вязкости и может быть улучшево з приближении Навье— Огокса добавлеввем членов, лввейвых по градиентам скорости бит/дяь Второе предположевие (6.23) связаво с превебрежевиеы Гл. 6.
Газовая динамика тевлоперепачей, и его можно улучшить, положив ц пропорциональным градиенту температуры. Итак, з приближении Навье— Стокса формулы (6.22) и (6.23) заменяютсн следующвми." Гт = — рбт — З р ( †„' ) бтг + р ( †,' + †,' ), (6.23) эг щ= — Х вЂ”, дю где р и Х вЂ” козффициенты вяакоати и теплапровохности соответственна. Темнература Т связана с р и р уравнением состопкия гааа. Третье предположение (6.24) означает, что газ находится в состоянии локального термодпвамического равновесия. В изменяющихся течениях внутренняя энергия всегда стремится к равновесному значению, соответствующему попым условиям.
Однако прп этом существует некоторая задержка во времени, особенно лля установления колебательной и вращательной ввергни. Такое явление вааывается аффектом релаксации, а характерное времн аадержви — врамеяем релаксации. Это иатереспый, но иескаггьгю частный вопрос, так что детали мы отложвм и приведем з качестве примера з гл. (О. 6.4. Термодннлинчеснне соотношении Мы могли бы просто счятать, что з равенстве (6.24) е(р, р) представляет собой некоторую известную змвирическую функцию. Однако термодинамические соображения не толька снабжагат нас необхадюеымв формулами, но и подсказывают, какие существенные вараыетры надо ввести в раасмотрение.
!(елесообраана привести здесь только цепочку необходюеых математических формули.— ровок и отослать читателя к многочисленным стандартным курсам для обоснования результатов и выяснения их физического смысла. Дифференциальная форма г ~~6( — ') (6.30) играет в термодинамике фундаментальную роль. Впервые ана встречается при рассмотрении последствий приобретения единично» массой газа дополнительной энергии. Еазв энергия добавляется сравнительно медленно, так тго резкага иамевения даалевия не происходит, то рабата, совершаемая при увеличении объема 1/р на а' (Нр), равна )к) (Нр).
Остальная часть анергии должна идти аа увеличение внутренней энергия на бе. При этих условиях выра- кение (6.30) равно общему количеству приобретенной энергии. Но а любам случае для заданной функпии с (р, р) зто заданная бкй Термодинамические ссотнопюнвя двфференциальная форма двух переменных р и р. Согласно теореме Пфаффа, для нее всегда существует интегрирующив множктелтч т. е.
существуют фувкдин Т (р, р) и Я (р, р), такие, что Тг)Я=На+уй ( — ). (6,31» Это простое математичесьое утверждение приобретает глубокий смысл, если учестгч что Т вЂ” абсолютная теьшература, а 5— энтропия. В бояее сложных системах наряду с р н р появляются другие термодикамвческве переменные (такие, как концентрация равличных фаз вещества). Для таких систем дифференциальная форма, соответствующая (6.30), переходит в форму, содержащую более двух переменных.
С чисто лгатематнческой точки вревиа тогда уже нет оснований ожидать, что всегда найдетсв ввтегрирующви мнокштель,приводящий агу форму к полному дифференциалу. Однако основой термодинамики нвляется донущение, что такой интегрирующий множитель всегда существует для всех реальных физических систем н, более того, что он всегда явлнегся абсолютной теэшературой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
