Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Со»тает. ствующее характеристическое соотношение моткно зависать в следующей дифференциальной форме: др-(-роди — Х[дх = 0 на — = и -)- а. Р» Нз и+»'' ю Но мы лрилзиил»зо иа ударн й е»хл». Это влачит, что мы исвольвуем дифференциальное уравнение — +р — —,р.=5 ар ю Р» Н щ +а (8.40) с величинами и, Р, р, а, выраженными через р» (х), Р» (х) н число Маха ударной волны М(х). В общем случае требуется числепное интегрирование, но для сильныь ударных волн можно получить аналитическое выражение. Для сильных ударных волн (см. (бй10)) условия на разрыве упрощаютсяг г г туг = — (), Р= (ВО', у+11 т+1 т 1 ,р ур гт(т — 1) би ° = Р=,„1)" ° где дх — массовая сила, отнесенная к единице массы. Длл атмосферы Ве»ши или для внешних слоев звезд дп будет гравитационным ускорением. В равновесном состоянии функции р» (х) и р» (х) должны удовлетворять уравнению 1 др» (8.39) Р» и для полного определения р» (т) и р» (х) следует задать еще распределение внтропии.
В атмосфере Я = — у и, например, имеем Р, (х) Р» (0) е-з"гщт» (ива»ерническое состояние), — Р4 1х) = с — ух (иззнтропическое состою»ие) т — 1 8.2. Ударная волна в стратифицированном слое где 5/ — скорость ударной волны. В атом пределе скорость 5/ сравнительно велика и третий член в (8.40)пренебрежимо ыал по сраннению с остальными двумя. Массовая сила ау входит неявно, определяя аависиьюсть р (я), и уравнение (8.40) сводится к виду 1 60 1 д/ч — — +Р— — =0 ил р,л* где (8.41) Отсюда ро ° рос рг 26 е (8.42) При у = 1,4 мы имеем р = 0,21525. Зти ревультатм повволяют пронести еще одну проверну с точным решением.
Сакураи (1) исследовал автомодельиые решения атой аадачи в случае, когда ре аа аа. Он обнаружил, что а етом случае 57 х ь, и нашел величину 2 длл раалнчных вначений и. Его анвчения отношения Л/с приаецеяы я табл. 8.2 и сравниваются с 5. Хотя приближение и пе столь хорошо, как для аадачи о сходящейся ударной волив, оно все еще остается удивнтслыю точным. ГЮ м 8.2 а=2 а-1 а 1/1 0,2%08 0,21525 0,18301 0,22820 0,20704 О, 174% 0,21778 0,18%7 0.16545 5/8 7/5 6/5 0,228% О, ДП14 0,170Ю Следует все время аомниттч что мы ограничиваемся кругом аадач со впачительнымя локальными ивмвнениямн ударной волны.
Для экспонеяциального убывания плотности также можно найти автомодельные решения и сравнить их с нашим приближением. Сравнение было проделано Хейаом (1!, и равность показателей достигает 1578. Мы относим ато аа счет того, что ексяоне7щиальное ивменение плотности не свявано с такими сильными локальпыми аффектами, как степенной саксы с ро — ь 0 для конечного значения х.
Задачу, рассматриааемую в атом параграфе, первым научал Чианелл (1). Он испольаоввл подход последонательнмх вааимодействий и в случае р, = сопес, .т/ = — 0 нашел малые поправки еа счет однократных повторных отражений. Кан и прежде, было обнаружено благоприятное вэаимиое погашение екладок. Гл.
8. Диивмикв удзрных волн 3.3. «Геометрическая динамика> ударной волны Обрвтиыся теперь к рзввитию приближенной геометрической теории рзспрострннвния ударных волн в двух- и трехмерных задачах при отсутствии спедивяьной симметрии (Уизем (6, 9]). Рзссмотриы ударную волну, рвспрострвняющугося в однородном неподвижном гвэе, и, опирзлсь нн результзты геометрвческой оптики для линейных ввднч, введем случив, определяемые кзк ортогоизльиые трнектории последоввтельяых положений ударной волны. В качестве чвстиого нрилгерн рессмотриы дифрнкцию удвриой волны не звкругленнам угле, иэобрвженную ив рис.
8.2. Положение удзриой волны поквивны сплошными кривывш, н лучи — пприховыыи. Идея состоит в тоы, чтобы риссмвтривнть рзспрострзиеиие кюкдого элемента ударной волны по кннгдой элементарной трубке лучей кзк задачу о рвспрострииении уднрной волны по трубе с твердыми стенкнмн. Рис. 8.2.
Повожеиия упорней воины (спдоп~ные кривые) и лучей (пяриховые кривые) при двфрввцив ударной полны н» еекругвенноы угле. Эквивалентность была бы полной, если бы лучи были чрзекториями честил, госкольку твердые стенки являются траекториями чистид для невязкого течения. Однако зто верно только приблизительно. В силу условий ив рвзрыве, возмущенное течеииенепосредственно вв ударной волной долвгно быть нормальным н пей, но помере удвления от ударной волны траектории частиц в общем случае отклоняются от лучей.
Таким обрввом, здесь попользуется определенное приближение, причем оно может быть довольно грубым. Однако только текин или каким-либо подобпылг способом геометрические зффекты можно выделить иэ полной сложной картины течеяия. В зздвче о дифрикцви нз угле (рис. 8.2) сама степке нн всей своей нротянгенпости является квк лучоы, твк и трвектсрией частицы; поэтому возникнет неногорое донолнительиое препятствие отклонению луча ат траектории частицы поезди удврной волны.
Точность приблюкеиия такого типа трудно оценить виринее, ° приближения высших порядков прзктвчески невозвгожвы. Кек 8.3. ереометрическая динамика» ударной волвы оправдание мы покажем, что зта теорвя сводится в точноств к геометрической оптике для линейных аадач, и сравнвм нолипейные результаты как с другими теореп>ческкми результатами для частных случаев, так и с экспериментом. Возможна, стовт ваметить, что приближения, которые легко оценить, обычно связаны с малыми возмущениями. Здесь мы рассматриваем аффекты больших всвмущенвй в чреавычайпо сложных задачах.
Приближение трубои лучей не зависит от снособа рассмотренна распространения по каждой из трубок. Однако мы предполагаем, что локальное число Маха будет функцией от площади сечения трубки, и за отсутствиеы какай-либо другой явной форыулы воспользуемся результатамв ! 8.1, в частности соотнон>ениеы (8.37). Положение ударной волны в момент времени с удобно описывать равенством (В АЗ) а (х) = ас! где а, — невовмущенная скорость звука. Тогда последовательные положепил ударной волны задаются семейством поверхностей а (х) =- сопз!.
Ясно, что в принципе мы можем определить функцию а (х). Во-первых, при помов>и равенства (8.43) можно вырааить число Маха ударной волны в любой точке через а (х). Вовторых, по фукяции и (х) должно быть возмоя>ио определить всю геоыетрию лучей, поскольку она описывает семейство положений ударной волны: ато позволяет найти площадь сеченил трубки лучей.
Тогда соотношение между А и М обеспечивает переход к выводу уравнения для и (х). Нормальная скорость любой движущейся поверхности 8 (г, х) =- =- 0 была указана формулой (7.63). Если применвть зто соотношение к Я .= азс — и (х), то скорость ударной волны окажется равной (7 = ое!)ва)> следовательно, д> =,—. 1 '! га! (8.44) Для изучения геометрви трубок лучей удобно ввести едииичвый вектор ! для направления луча в произвольной точке и функцию А, связанную с площадью сечения трубки. Овределение вектора ! очевидно; оп выражается череа а равенством (Чо!! > (8.45) поскольку лучи оргогональны поверхностны а †.- сапе!. Для определения фуякцив А потребуются некоторые разъяснения.
Мы хотим ввести конечную функцию точки пространства, которую можно было бы испольэовать в качестве меры площади сечения произвольной бесконечно тонкой трубки лучей. Для атого Рассмотрим какой-либо фиксированный луч и построим вокруг него тонкую трубку, состоящую ив пучка близлежащих лучей. Гл. 8. Динамика ударных волн Затев~ можно ввести отношение площади проиввольного поперечного сечения трубки лучей к площадв некоторого фиксированного сечения.
В пределе, когда максимальный диаметр трубки лучей стреюпся к нулю, ато отногление приближается к конечному пределу л соответствующая предельнал функдия принимается ва функцию А на выбранном луче. Аналогичным обравоы ага функция онределяется ва вел~дом луче и такам обрааом становится фучжцявй точки пространства. Длл любой бесконечно тонкой трубки лучей функция А теперь скорее пропордиовальна площади сечения трубки, чем равна самой плов1адн.
Однако в соотношенви (8.37) фигурирует только атношенке площадей, так что ета велпчвла А, все еще салэана с локальным числом Маха равенством Ле 1 (Мд (8.46) По атой же причияе исхаднал точка отсчета для отношенил площадей поперечных сечений на трубках лучей вьшадает и эамепяется начальным условием А = А э при М = Мэ, входящим э (8.46). Действительно, в качестве А можно ваять любую конечную функцию, которая прп движении вдоль бесконечно тонкой трубки иэменлется пропорционально площади сечения трубки. Различные коэффициентм пропорциональности на раэличпмх лучах будут комиенспроваться равлвчнммв аначениямн Ар. Сэлвь А с функцией а (х), определяющей положение ударной волны, по существу определнется тем, что еоврастание А вдоль луча свяаано с дивергенцией лучевого вектора 1, определпемого равенством (8.45). Действительно, сейчас впэ нокажем, по выполняется соотношение (8.47) которое можно переписать также в виде 1 ЫА !.ЧА — — — 'р.! А ж А (8А8) Длл докавательства равенства (8.47) следует применить теорему о длэергенцин к объему Р тонкой трубки лучей мея<ду двумя последовательнымв положениями ударной волны, как покааано па рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
