Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Выражения (8.68) в (8.69) простыми выкладками преобравуются к нужной форме. Заметим, что пт т -(-веер/аа (8.75) ь „-(- еар/да где ве =-М соаО, у„= МюпО, хс = — — А а!пО, ус= Асах О. Следовательно, характеристики Н()Иа = ~ с ааписываются нак — =!6 (О -!- т), (8.76) где М ( ММ) (8. 77) а характеристические уравнения принимают вид О~ы(М)=сова! на Се: — а=!8(О~т). (8.78) Значения т (М) в ы (М) приведены в табл. 8.3, ааимствованной ив статьи Брисона и 1'росса И]. Последние уравнения можно вывести и непосредственно ив двумерной формы уравнений (8.50) и [З.ог(). При ае = гоаО/М„ ат — — ып О/М эквивалентная система уравнений для О и ЛХ имеет ввд (8.79) а — = 5,0743 для 7=1,4, Ас л- птЛХ, л /Моу 'о (М/ ' )у ггриЛХ-есо. ') (8.
74) Табл ц 8.2 чамю мала и а а р?Г а М ат ал Ах!а М 1 1,00960! 1,ОЮ1 1,001 1,18 1,!О 1,15 1,о 1,25 1,зо 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,6О 1,65 1,?о 1,75 1,80 1,85 ?.а 1,95 2,05 г,!О 2,15 г,м! 2,25 2,30 2,40 2,60 2,70 2,80 2,90 З,ЗО 5,668749 3, бба?2 3,667902 З,66ОЫЗ з,аббоб 1,310726 1,184152 б,озяб з,ззбаб 2,250720 1,520662 1,0?баз 7,850741 5,ба!86 4,а!934 З,548!59 2,В22550 2,276434 1,858764 1.532Я? 1,276079 1,0713Ю 9,С63299 7,719471 6,615а! 5,702352 4,9?ло?26 4,301517 3,761766 з,зазаз 2,576553 2,037086 1,6ЗСОЗЗ 1,8!8345 1,076566 в,аз!2! 7,365072 5,184218 +СО -!-8 -1-6 -1-4 +г 4-1 4ЮО +о — 1 — 1 — 1 — г — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 — г — 2 — 2 — 2 — 3 — з — 3 — 3 — з — з — з — з — з — з — з — з — 3 — 4 — 4 — л о ба 1,280 4, С02 8,544 !1,474 13,142 14,643 15,958 16,859 17,604 16,231 18,?а 19,22В 19,630 19,983 ю,гзб 20,572 20,820 21,042 21,242 21,423 21,587 21,736 21,872 21,997 а,'!!1 22,216 .'й,312 22,49! 22,560 22,814 22,9!6 23,154 23,271 о о,са о,соо О,О28 О, 089 О,ЗЗЗ О,бвз о,аб 1,097 1,414 1,547 1,669 1,728 1,887 2,077 2,165 2,249 2,330 2,4С6 2,480 2,557 2,619 г,ба 2,749 2,8!! 2,871 2,929 2,970 З,О4О з,аб З,ЗОЗ з,за з,звз 3,477 з,за 3,645 3,724 З,в?5 6.6.
Вторичные ударные волны Прод«ля«лег табл. 8.3 Ч юм лл«м г« *рт«« „х«р юю««г «ема н «яр« м ягма л, лхгс —" тт«л, «1 р Несколько более длннные непосредственные вычнсленмя показывают, что характернстнческпе уравнения совпадают с приведеннымн выше. 8.6. Вторичные ударные волны Функцня с 1М7 воврастает с ростом М. Следовательно, волны, двкжущнеая в полоягнтельвом направленкн к несущие воврастанне числа Маха М н 6, должны опрокндываться в силу нелннейНостн. Исходя нв нввгстных нам результатов для авалогнчных задач, можно предположить, что придется авеста разрывы переменных М н Е, соответствующие наломан фронта ударной волны, как покаеано на рнс.
6.6. В этой прнблнвгенной тсорнн мы следуем обычной ннтервретацвн таких раарывов тяпа «ударной волны» н вываднм условня на разрыве нв основных уравненай в форме законов сохранения. Такие «ударные волны« в нсходнай гаводннамнческой ударной волне мы будем наж«вать вторичными ударнымн гюлпамн «ГВ Втн вторичные ударные волны интерпретируются как след блиекнх к цилиндрическим волн, распространяющнхся в теченнн ва г) Ие агах ее«мамаях «авена«евган в«тря«в«л«нега германа езюабм езасве», напав«саванного в арнген«ае, «тот пред«гавел«» нем ваабал«е прнемп«ммм.— Прим. р«д. 3,40 З,ба 3,90 4,00 б,оа 7,СО 8,СО О,ОО 1О,ОО 15,00 100,09 З,тлызб 2, 757067 2,069662 1,578970 8,519876 4, 029%0 1 ДН1342 8, 70Я158 4,395289 2,40««70 1,407051 1,786ЗЩ 4,141420 1,172427 о — 4 — 4 — 4 — 4 — 5 — 5 — 5 — 6 — 0 -6 — 6 — 7 — 8 — ы 29,864 23,439 28, Ви 23,552 23,647 23,710 23,798 23,659 23,876 23,889 23,917 23,926 23,937 гз,бзз б,щз 4,148 4,398 4,660 5,314 5,672 5,966 6,272 6,470 7,385 8,ОЗЗ 11,67 Гл.
8. Динамике ударных волн ударной волной. Вторичная ударная волна представляет собой след настожцей гаводинамической ударной волны в течении ва основной ударной волной. Таким образом, вто сеютветствует отражению Маха с тремя ударными волнами (описанному в конце Рве. 8.а. Лввеввые элементы Вва впрв шов ударной волны. гл. 6), которое было изучено и описано независммо от излагаемой теории. В дальнейшем мы обсудим свпвь с отраткением )Маха более подробно. Дифференциальные уравнения (8.69) и (8.60) рассматриваемой теории были получены с помощью метрики (8.67) в (а, ())-простракстве. Для вывода условий па разрыве требуется соответствующая интегральная форма уравнений.
Рассмотриы окрестность разрыва для двух последовательных положений ударной волны, как покааано на рис. 8.6. Пусть равность и-координат длп этих положений ударной волны составляет Ьа, а равность ()-координат составляет Л(). Пусть, далее, индексы 1 и 2 оапачают величины до разрыва и после него. Тогда, согласно рис.
8.6, РП = М,Лсе, (?Л = = А,Л8, Б)) =- Жгбп, РЗ = Атб(). Выражая расстояние РК двумл различными способами, получаем (йбгбп)е + (Агб())е =. (М,Ла)е + (А,Л())». Па отношение Л()/Лп равно скорости С вторичной ударной волны в (а, ())-координатах, откуда (8.80) Соатветствуюеций скачок переменной 0 определяется равенством И (О 60 б (и Вру + Про) А 0)ы +Ыт)ятп 8.6. Вторичные ударные волны 281 Подставляя для С выражение (8.80), находны ч<ь-ь>=ж~ютг —.
<. > ЛрМа-ЬА<М< В декартовых координатах [х, у) равенство (8.80) преобраауется к виду гд(2 — 88= А'-(~,* Щ)п', <=1 нл 2, (882) где Х вЂ” угол, составляемый франтом вторичной ударной волны с осью х. Предполагается, что функцвональное соотношение (8.61) мюкду А и М остастсн в силе и длл резкого иаменения площади канала в месте воаникновевия вторичной ударной волны, скорость С выражается черен М, и М, формулой (8.80), а скачок переменной 8 определяется равенствсм (8.81). Тогда леп<о проверить, что для слабых вторичных ударных волн, когда М, — М, О, величина (8.80) сводится, как и должно быть, к характеристичжкой скорости (8.62), а выражение (8.81) сводится к выра<вению для инварианта Римана.
Однако для достаточно сильных вторичных ударных волн равенство (8.61) будет неточно определять вависимость А, от М., посколы<у ат» аависш<ость выведена в предположении с медленном иамененни сечения канала. Вопрос не исчерпывается установлением правильных формул, связывающих М и А прн ревком иаменении сечении канала; такие формулы были найдены д!спортом (1). Фактически, как следует ив традиционного рассмотрения отрав<ения Маха, существуют третья ударная волна н вихревой след аа основной ударной волной. Поэтому на основе аналиаа таких конфигураций с тремя ударными волнами в принципе можно получить дополнительные соотношения. Это привело бы к усложнениям, деталями которых ааниматься, по-видизк<л<у, не стоит в силу приближенного характера теории.
Мо<нпо, однако, отл<еп<та, что если ато вроделатгч то свяаь между А и М для волн, следующих аа вторичной ударной волнои, примет внд А с й ())) /(М), где й (6) = А,!) (М,) определяется на соотношений для трех ударных волн; было бы неверным продолгкить ато соотношение между А и М черен вторичную ударную волну нааад в исходное положение и положить й = — Ао<< (Ма). В целом ситуация аналогична тому, что происхою<т с антропиой в обьгпюй гааоаой динамике, где прежде всего полагают р = р (р), н ато приводят к вростым волнам.
Но аатем, поскольку волны сжатия опрокццываются, приходится вводить ударные волны, а они приводят к иаменениям антропии, так что р больше не Гл. 8. Динамика ударных воли являкгся функцией только от р; аа ударнов волной энтропия постоянна люль на траектории данкой частицы. Аналогично обстоит дело с А и М, подобными р и р, н й, играющим роль энтропии. Более простак теория вторичных ударных вали (8.80) и (8.81) с А = А (М) подобна пренебрежению каменею>ями энтропии в гааадинаыичеш<их ударных валках.
Последнее, как иавестно, приводит к точным реаультатам, если раарыаы не глишвам велики, и можно ожидать, чта эта кге будет верно и в данном слу ше. Сравнение этих упрощенных условий на разрыве для вторичной ударной волны и реэультатов для отрюкенкн Маха с тремя ударнымв волнами будет дано парис. В.И (см. стр. 290). Ово подтверждает нап>у точку кронин о иецелесообрааностн более тщательного рассмотрения дакнога вопроса в рамках этой приближенной теории.
3.7. Дггфракцгин плоских ударных волн Рассмотрим теперь прило>кения общей теории и начнем с аадачи о дифракцни плоской ударной волны, распространяющейся вдоль аакругленной стенки. Геометрии для выпуклой стенки вредставлена на рис. 8.2. Стенва является лучом, и ее форма еадает граничное аначение 0 = В на стенке. Если исвольэовать (и, 6)-координаты, та стенку (границу) мок<но нрннять эе луч 6 = О. Заметим, чта 0 лвляется иэвестнай функцией расстанння а вдоль стенки. Однако если иа границе мы положим 6 = 0 (и), то смажем найти свяаь между а и а лишь иа окончательного решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
