Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если ликеаризовашюя теория описывается волковым уравнением, то решение для расходящейся сферической волны имеет вид ') 1 (г — г/гр) Ч'=— (9.1) ') В 1 7.3 аля рэввальвмх рагоюлвка в гфервчесм а к лилвгщряческав геометрии было увобвее вспользовагь разлвчкме обозиэчевия, а пмевиа я в г, поскольку ргшевие для точечвого всючвкка всполюсвалссь дая всстуоеввв решения длл лвкейкого пою.швка. В «гом бельме вет веобходвмоств, и мм всоелглуем обозвачеапе г в обоих случаях. ОЛ. Метод введения нелинейности где се — скорость распространения возмущения.
Амплитуда вату- хает нак 1/г, в то время как площадь поверхности, черев которую распространяется энергия, растет нак гз. Волновой профиль уменьшается ва счет множителя Пг, но в остальном не изменяется. Если атот результат является линеариэовавным решением соответствующей неливепной задачи, то, как мы внаем, нелинейное искажение профиля является определяющим при правильном описании ощюкидывания волны и распространения ударной волны.
Предположим, что истинная нелинейная скорость распространения возмущения, определяемая из характеристических уравнений, равна с (ф) (линеаривованная скорость со равна ос значению при ф = 0). Тогда можно ввести нелинейное искажение, модифицирован (9Л) следующим образом: чр — г /Об (9 2) где т (/, г) выбирается тан, чтобы иа кривых т = сонат ныполвя- лось щенное характеристическое соотношение, т.
е. мы требуем, чтобы ' — =с(ф) при г соней лг (О.З> Посвоггыгу ф определена вак функция от т и г, эти соотношения дают дифференциальное уравнение для т, которое легко провнтегрировать, поменяв ролями г и /. Мы инеем и — при с=сооэц (/(г)/ ) отсюда /=~ ' б+Т(>„ (9.5) где интегрирование проводится при постояяном значении т, а Т (г) — произвольная функция, которая появчяется при интегрировании по г.
Уравнение (9.5) определяет т (/,г) и вместе с соотношениеы (9.2] дает нелинейную модификацию решения. Окот метод введения нелинейности впервые был предложен Ландау (Ц, а затем независимо автором в связи с аадачей о(звуковом ударе (Уизем (1 — 3)). Функция Т (т) связана с проиаволом в выборе характеристической переменной. Как только Т (т) выбрана, / (т) определяется ив соответствующих граничных условий на источнике. Различные способы выбора Т (т) компенсируются выбором / (г).
В общей теории ради простоты можно положить Т (т) = т, но в конкретных задачах иногда полезна дополнительная свобода выбора. Следует отметить, что функции / в линейном решении (ОЛ) и в нелинейнов~ варианте (9.2) будут совпадать лишь в том аду гас, Гл. 9. Распространение слабых ударных волн когда Т (т) выбрана так, что т = / — г/сс (с достаточной точностью] там, где накладываются граничные условия.
Конечно, эта нелинейная модификация решения обычно не удовлетворяет заданным нелинейным уравиенвялс точно, да пока она еще н ие обоснована даже нак формальное приближение. Однако чувствуется, что ова улавливает важные нелинейные эффекты для малых я. В более простом случае, рассмотренном в $2ЛО, а также в случае плоских волн, мы ющели, что линеаризация характеристик была источникоы неравномерности анпроксимации. Нелинейность вносит искажения и в алшлвтудный множитель 1/г, но можно ожидать, чсо ага вторая модификация будет равномерно малой по ср. Сформулированная точка зрения будет подтвернсдена впоследствии,когда мы приступим к более тщательному оправдаянсо этого метода.
Для того чтобы увидеть полностью его возможности, мы сначала обсудим дальнейшие следствия и обобщения. Поскольку для сферичесгсих волн реснение и имеет особенно простой вид, интеграл в (9.6) поддается иаучешгю и упрощается ваненой переменной интегрировании на / [т)/г. В других задачах, одпаяо, соответствующие выражения монее удобны и полезно наметить общую схему анализа.
Исполгшуя в качестве отправного пункта лнпеаривованное решение, мы утке предположили, что й мало, и поэтому корректно заменить с ((с), скажем на с, .ь свр -~- + О (йэ) и исполыовать (9.3) н приближенном виде — = — — — ге. т т сс (9.6) Лг сс с 1'азложение по стопонялс с/ проводится для б//бг, а не для бг/б/, ванду последующего интегрирования по г. Тогда (9/й) прияииает вцц — — — — !три с=свозе, л г /цб 'Сг 'э 'с (9.7) а характеристиками тановятся кривые 1=- — —,' /(с)1пг+ 7'(т). (9сй) сэ с В линейкой теории мы положили бы харагчеристическую переменную т равной 1 — г/сс или функции от этой разности.
Мы видим, что такая линейная аппроксимация неравномерна, поскольку дополвхпшсьный член стрем тсв к бесконечности при г — е со. Член с 1в г мал по сравнению с г, но его следует сравнивать скорее с выражением осе — г, характериэуювнсм расстояние от переднего фроята волны. Предположение, что поправка к скорости распространения будет определяющей, подтверждается, и возвнкает аналогия с ситуацией, рассмотренной в $ 2.10. Замена уравнения (9сй) приближенным выражеяием (9.6) — не только упрощение. В большинстве задач оказывается действитель- 9.1. Метод ввецонив нелинейности но бесмысленным сохралять члены высшего порядка по р, поскольку само выражение (9.2) верно только с точностью цо членов второго порядка по (ь Сингулярное поведение )пг при г — ь 0 не вноси~ каких-либо особых неудобств, поскольку поправочный член несуществен вблизи начала координат, гце можно вернуться к линейной теории.
Однако, чтобы испольаовать выраткеиис (9.8), как оно есть, следует исвлючить яачало координат и применять вто решоние вне некоторой сферы г = г (Г), нв которой заданы граничные условия. (Например, источник жидкости можно представить в виде расширяввцейся сферы, раздвигающей жидкость.) Тогла Т (т) можно выбрать так, чтобы уравнение (9.8) имело виц с=- — — '„' ((т) )н — + т.
(9.9) се 0 (т) При таком выборе нелинейная характеристическая неременпая т совпадает с à — г!с на граничной понерхности и функция ( буцст такой тке, как и в линейной теории. Волны, описываемые формулами (9.2) и (9.8), будут опрокипываться, как только появится огибающая характеристик и решение станет многозначным. Если с, ) О, то волна, несущая воврастание 9, опрокинется. Например, для Т (т) ьО зто означает, что опрокилывапие происходит, когда Т (т) ) О. На огибающей + (' (т) 1п г — Т' (т) = О. Для волны, опрецеляемой соотношениеьт (9.9), опрокицмвание впервые произойдет на расстоянии, равном (9.10) гце т — точка максимума для (' (т).
Затем следует ввести ударную волну. Метод введения ударной волны булез следовать известной иам схеме, и мы пока отложим его рассмотрение. Рассмотрим теперь обобщения этого метода. Прежде всего линейные решения могут быть ие такими простыми, как (9.1).
Например, в случае цилиндрических волн решение (7.29) иыеет вид % = —. ( э(ч) лч (9.11) р'(С вЂ” Чр — гз/ст с Характеристическая переменная à — гфэ ясно видна в верхнем пределе, но как Г, так и г входят также и в поцынтегрельное выражение. Однако реаультаты Лля плоских и сферических волн свидетельствуют о том,что нелинейные аффекты становяжя важными на болыпнх расстояниях, а на болыпих расстояниях, Гл. 9.
Распространенно слабых уларных волн согласно (7.32), ) (и — грй 'р гмз (9.12) Следователыю, на больших расстояипих нелинейность можно ввести почти также, как п в сферическом случае. Если истинная скоРость РаспРостРанениа составлает с ((п) = с„+ сту ф О (тут), то положим (9.13) с=- — ' — —,' ) (т) г'и'+т. гс гг* (9.14) а это отношение велико как при больших г, так и вблизи С вЂ” г(сс = †.- О.
Таким обрааом,нелинейные поправки будут одинаково ванпшпми и вблизи залпового фронта 8 — г)сс = О на всех распяолниах. Существенно, что вырантение (9.12] справедливо при (сс С вЂ” г)й (( сб 1, так *по оно охватывает оба случая. Соответствующая иелинейнаи модификация решения, определяеыая равенствами (9.13) а (9.14), также применима вблизи фронта волны дли всех г. Это смеет решающее значение, поскольку в наиболее интересных задачах на переднем фронте имеется ударная волна и нелипейную молификацию решении, выведенную иа (9.13), можно ис° ользовать для ее изучения в целом.
Можно построить нелинейную модификацию полного решения, положив ч (ч) яч 2ч ) )Г(т — Ч)(т — Ч+2 )сс) (936) а определить отснща нелинейную характеристическую перементую т. В этой более полной форме характеристическое уравиетие, соотвегствупощее (9.14), становится чрезвычайно сложным, >днако дополнительные члены остаются малыми по сравнению Здесь функции Т (т), получающаяся при интегрировании по г, ноложена равной г;поправочный член остается малыы при г — ь О, и нет необхолимости в более тщательном выборе Т (т). Снова линейная теория, в которой т =- С вЂ” г)сс, приводит к иоравномерной агшроксимации при г -г оа. Далее, хотя до сих пор основное внимание уделялось поведению на больших расстояниях, отклонение характеристики от прямолинейной зависит от ')() '" (9.15) )-гйс ' 9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
