Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 59
Текст из файла (страница 59)
10.1. Точные решения лянеариаоаанкой аадачи Случай сг ) а ) О, с, ( О. Это простейнлтй случай: поскольку с, (О, вовннкает только с;семейство волн высшего порядка, а поскольку а ) О, не существует противоречия между числом граничных условий, накладываемых прн л = О. Для уравнеяин (10.5) корректно поставленная аадача в этом случае имеет анд о=от=О, в)0, 1=0, (10.14) р=)(Г), к=О, 1~0, Для упрощенного уравнения (10.8) начальное условие р, = 0 следовало бы опустить, но в любом случае рея~ение остается тождественно равным нулю для х ) 0 в течение некоторого интервала времени, так что аккакой разницы нет. Используя преобразование Лапласа, будем искать решение уравнении (10.5) а следующем виде: й(х, Г)= — '. ) '""'" бр, 1)0, (10Л5) М где ЛУ вЂ” нонтур Ве р = сонат, проходящий пранее всех особенностей подыатегрального выражения в комплексной р-плоскостк.
Подстановка в (10.5) дает цсщерж-~-(ц (с,+се) р+а) фа+ р(т)р+ 1) р —.. О, в общее решение р имеет вяд р=-р(р) 'ню+С(р) (10Л6) где Р, н Рг — корни уравнения цсс Рт+(ц(г,+ст) р+а) Р+р(цр+1) =О, (РОЛ7) а Р я 6 — пронавольные функции. Для больших р р, —, ре ж 'с В этом случае, когда ст )О, с, (О, второй член в (10.16) неограничен для болыпкх вначеннй Ве р, так что следует положить О (р) = 0; этот член соответствовал бы пряходшцям воллам со скоростью с, ( 0 я поэтому исключавгся. Вторая функция Р (р) полностью опроделяется одним граннчаым условием р = = 1(1) вря в = О. Фактически ато требонание состоит в том, что Р (р) должна быть нреобрааовавнем Лапласа функции Г (1). Окончательное решение, следовательно, имеет внд ,р= ' ('г екжшююбр, (10Л8) Я Гл.
10. Иерархия волн Р (р) = р ~ ((С) е-в' бг, е )(с) г ~ Р(г)' ' бр Я (10Л 9) а Рг (р) — корень уравленнн (10.17), имеюгций асимптотику — р/сг при р сс. Когда с — х(сг ( О, контур можно замкнуть большой полуокружвостью в правов полуплоскости и ноказать, по дг .— О.
Таким обрааом, волновой фролт описывается уравпениелг г — с,г = О. Поведение г( вблизи волнового фронта определяется более подробным асимптотическям предстанлепиеы подынтегрального выражения в (10.19) при р -ь о». Если контур лг сдвинуть достаточно далеко вправо, то в (10.18) можно подставить рвало>копие р г с,— гг — — — — в— +9( — ) — р! и получить приближенное выражение ~р ((с — — ) ехр ( — " — ''(. (10.20) С=.
И» 0(7) — цсгр (р) Данный рсеулщат совпадает с первым члевом равлогвенил геомщрнческой оптики (см. 1 7.7); дальнейшие члены етого ряда можно получить, продшпкив разложение функции ег"" лля болыпнх р. Общий ввд рзелшкевия можно найти, подстанле разложение геометрической оптики непосредственно в (10.5), но (10.20), кроме того, связывггет функцию от С вЂ” г!сг с граничнымгг устовиями. Вьгралгенггс (10.Ю) справедливо вблизи залпового фронта. Оно показывает, что первое возмущение распространлется с с,-волной, ко его возмущение експонепциалЬно затухает и становнтсн пренебрежимо малым на рвсстонпии порядка срр При ц 0 зто возмущение становится пренебрегквмо малым для всех х ) 0 в соответствии с упрощенным оплсанием.
Спросим теперь, где находитсн основное воамугцегпге, описываемое формулой (10.19). Длн получения ответе па зтот вопрос исследуем поведение данного вырагг~ення на семействе прнмых лй - сопле в (г, с)-плоскости, поскольку калгдая из них является траекторией волны, движущейсн с поглоянпой скоростью. Следует собгнодать равумную осторолгность прв вычислении пределов, и поетому целесообраано ввести бечраамерпые величины 10.1. Точвые решения липеаризованной задачи Вообще говоря, граничная функция г' (С) вводит другой масштаб времени, скажем Т, и Р (р) следует ааписать в виде 'Тогда (10.13) преобразуется в следующее выра|кение| |у=- —.
~ — е'чг о>'|'|яд. зл|, ч Ю (10.21) где ()(д) †подходящ корепь уравнения —,' фв+ ((1+ —" ,) д+ —,1 О+д(д+1).=-0. Рассмотрим теперь асимптотическое поведенне выражения (10.21), ногда С/|) — ь оз при фиксированном ш. Согласно методу перевала, доминирующий вклад дастся окрестностью точки д =- д", Лля которой — "(д+ Е)-0. Ид 1 + О (,*) = 0. или (10.22) Верный член вснмптотяческого разложения находится деформлрованнем коптура интегрирования в криву|а скоре|ппсго спуска В, проходящую через тешу д — д*, н ревлон|силом зю|ичнны д + + шб| по д — де с точностью до кеадратнчных членов включительно. Таким образом, имеем |д ехр ( — (д*+ж()(д ))) Х х г ~ |Р(егщ) ехр( 1 | ж(г[д')(д — д")з) бд (10.23] б при Срд со. В обычном методе перевела оставшаяся часть водыптеграл| ного выражения так|не раскладывается в ряд Тейлора с центром вточкед — — д* н лн(дТ(ц)(дзаменяетсяна дл (д*Т|ц)|да.
Этот дальпейшнй п|ег будет спранедлив длн предела сад со, Т(ц фиксировано, что соответствует случаю, когда С Л ц, С )) Т. Но нас интересует случай С )) |), Т ~) ц неаависнмо от вели пшы Г1 Т. Для того чтобы включить втот случай, в формуле (10.23) следуег довустить возможность Т(т, оо и сохранить более общее выражение. Гл. 10. Иерархия волн При, исследовании поведения функции (10.23) удобно вернуться к исходным переменным. Имеем р — р (с)в+яр (Р*)) —,„, ) — ехр ( — нр (р ) (р — р Р) Ар, й (10.24) где ра — функция от х и С, определяемая равенством С+тР;(ре) =О. (10:25) Это вырэя;сине дает асимптотическое поведение функции н, когда С(ц со, х С(с,г) фиксировано.
Простоты ради прсдпояожвьг, что С' (С) ЯС сходится, тэк что Р (р)/р конечно при р -» 0 н полюс а отсутствует. (Онучей, когда с' (с) стремнтся к постоянвой при с -» оэ, также представляет интерес, по его очень легко жследо. вать, переформулирован аадачу а терминах функции фо) В эснмптотическом выражении (10.24) домивируег экспоневциальнын мдожителгч стоящий перед игыеграяом. Отэциопарвые точки экспоненты находятся иа уравнения а (Ср'+хр,(р*))=0, которое, в силу равенства (10.25), определгпсщего ра (я, С), сводится к раненству Р, (р") = О.
Оогласио (10Л7), равенство Р, (ре] = 0 должно соответствовать либо ре = О, либо р* =- — 1(ц, и легко проверить, что правильным выбором для Р, являетсн р* = О. Оледонательно, акспоненцнальный множитель в (10.24) имеет стапиоларнсе нянчение (в действительности локальлый максимум) для тех алаченвй х н С, длн которых ра = 0 яэлнется реюением ураннения (10.25). Таким обрааом, максимум спределяется иэ равенства аг + Р; (О) к = О. Прн помощи (10.17) легко проверитгч что Р; (0) =1 — а-'.
Поэтому мэксимуы акспаненциального множители лежит на нрямой и атот максимум является единственяым. Воамущение (в рассматриваемом пределе) акспонендиально мало всюду, аа исключением окрестности прямой х = аг. Такам обрааом, осяоекая часть ммиущеяил со временем начинает расярслпраяяжсся со сьсро- Ю.1.
Точные решевпя лкпоаркаоваяиой аадачи ыяью о. При ц 0 ато будет вроисходвть все раньше и реиыпе, воскольку рассматриваемое приблвжевве получено для 1)) с). Можно получать и дальвевшую ивформацшо о поведении основного воемущения. В окрестности прямой х = а( соответст- вующие еиачепвя перемеввой ре малю. Детали воемущеиия можно вайти, ваяв дальнейшие члены раеложевия выравсеввя (10.24) около точки ре = О.
Но тогда интеграл (Ю.(8) мы аппрок- симировали бы в два атака: сначала раалоиаши рг+ Р, (р) х вблвви р =- ре, а еатем получениое выражевве рааложили вблиеи р" = О. Очевидно, окончательный реаультат можко получить, просто раелогкив рг+ Р, (р) х вблиаи р =- О. Имеем Р с (Р) — — + Г рч((сс — а) (а — ае)+ а ез Следовательно, Т- —. ~ — Рехр(Р(1 — — *)+ Р~('с ")(' '~* ~~бр (Ю.26) 77 в окрестности прямой х — 'а( = 0 при 1)ц оо. В первом при- ближевив Т - — „, ) — 'р' ' р ( Р (1- —.* ) ) др =1(1 — —.* ) йс что в точности совпадает с решением ураввевмя первого порядка (10.8).
Таким обратом, мы убедились в том, что формулировка павшего порядка дает правильное описапие основного воамуп(опия. Чтобы повять роль квадратичного члена в експопевте в (10.26), целесообраавее найти ураввение, которому удовлетворяет вите- грал (10.26), а не исследовать сам витеграл. Действителько, ато выражевие совпадает с решением уравпевмя с( (ос — а) (а — се) срс+ аср —.—. ег срсс. удовлетворяющим тому же самому граничному условию ф =- ) Ю прв х = О.
Правая часть уравпеиия (10.27) утке является малой повравяой (порядка с)П по сраввевшо с другими членами), так что имеет слсысл испольаовать в вей вервое приблюкепие д)дг се — а (д!дх) в верейти к аквивалеитвой,форме срс + аср„= ц (с, — а) (а — с,) ср„„. Ото уравнение паглядпее '); ово покааывает, что основная часть воемущевия распростравяежя со скоростью а и двффуядирует с] Предстаелаеюя, что было бм «нагляднее» остеввп, ураввеаве в виде (10.27) и переобоевачжь веевввсвмые веремеввмес 1, С Полвая аадача Босая Вля уреевевв» (10.28) с Ч и Ч:„, эелавамми врй х = О, аевяессв векоррекхяй.— Пр .
р О. Гл. 10. Иерархия воли за счет членов высшего порядка в уравнении. Но последний эффект мал, когда ц мало. Результаты для случая сг ~ а ) О, с, ( 0 люжио реэюл~ирозать следующим образом. Первые сигналы распространяются со скоростью сы но затухают, как показано в (10.20). Основное возмущение отстает и дзингется со сноростью волны низшего порядк» а. В рассматриваемом случае иет противоречия между числом граивчвых условий,накладываемьж прил = 0; условие гр = ((1) годится нак для (10.5), так и для (10.8). Начиная со значения времени порядка ц, первые снгналы становится акспоненциально малыми и основная часть решения уравнения (10.5) хорошо описывается уравнением (Ю.8) с тем все самым граничным условиеы при х =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
