Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Каждая из с;-волн удовлетворяет приближенному уравнению ц [рт + срр ) + удр = О [10.43) где у; вырантается через скорости а и с подобна тоыу, как ато имело в~осто в уравнении [10.36). Иэ услоний устойчивости следует, что у~ > О, так что происходит акспоненцнальное аатухание. Аналогичным образом а,-волны удовлетворяют приближенному уравнению [10. 44) ТФ + а1Т =- бадр„», аналогичному уравнению [10.26), причем а~ > О. Гл.
10. Иерархии волн Для учета нелинейных аффектов следует стреыиться получить взамен уравнения (10.43) уравнение вида лй + с, (к) гр„-)- Р,т = О. (10.43) Теперь между волнами каждого из порядков существует нетривиальное взащюдействие, и вывод уравнения (10АВ) потребует рассуя:дений типа «обоснования простой золныэ. В нелинейных задачах обьшно удобнее работать с п зависимыми переменными и системой уравнений порвого порядка. Метод использования длн скволн приблиягеняого равенства д/д! — с;д/дзх грубо говоря, эквивалентен предполшкению, *по л — 1 римаповы переменные, соответствующие л — 1 огтальньгт~ с-волнам, постоянны.
!! уравнению (10.45) применима теория, иалоязенная в гл. 2. Волли, переносящие возрастание с, (т), могут опрокидываться (см. обсузвдение формулы (2.72)). н потребуетсн впеденне ударных волн. Оти ударные воаны будут раарывами системы 1, н условия па разрыве выводятся стандартныя1 образо» ив соответствующей системы уравнений сохранения. !(ля Р; ) 0 данте при наличии ударных волн воамущепве обычно затухает и основное зовмуще. нне фактически переносится волнами низшего порядка.
Коли 1! О, то нелипейы простая волна па а,-характеристике б!щет удовлетворять уравнопнго авда щ + а; (т) ц:з - О. (10Лб) Ударные волны, входящие з решение этого уравнения, будут удовлетворять условиям па разрыве, выведенным для упрощенной системы ! ! н отличающаяся от условий па рззрыпе дл» системы !. )[ля учета диффузнопаы» эффектов следует стремиться получить уравнение лл б- о (т) р.. =- гид з (1ОМг7) соответгтвуюпке уравнению (10.37).
Можно сопоставить ато уравпенве с уравнением Вюргерса для о; з тол~ гас порядке приближении и пспольаовать результаты, наложенные в гл. 4. 10.4. Структура ударной волны Ударнан волна системы П вЂ” навовелз ее бп — будет до некоторой степени сглаживаться, если ее рассматривать в системе 1. Это в точности задача о структуре ударной волны. Однако теперь мы монгеы более решительно выскаватьоя о воаникновспии раврывов в этой структуре. Ударная волна Б всегда будет связана с одаим конкретным семействол1 а-волк, а каждое семейство а.волн занжто лзежду двулзя семействами с-волн. Однако ударная волна Бзг будет перемещатьс» бьзстрее, чем о-волны впереди иее, и мгд- 10.5.
Примеры ланксе, чем а-волны позади нее. Даже в устоичивой ситуации она может перегнать ближайшую с-волну впереди или пропустить вперед ближайшую с-волну позади. Это нартзинт характерастическое свойство с-поли, ес»н решение остается иеврерывямаи но Япразрывы снимают это противоречие. Следовательно, при возникновении подобной ситуации огг-профиль потребует разрывов » структуре ударной волны. Это будут Япразрывы, удовлетворяющие йгусгювиам на разрыве, и мы можем рассматривать полоый профиль как коибипированнук~ БпБгг аолну.
1)усть скорость ударной волны Яп, ассоциированной с аг семейством, равна (Г;, и пусть верхние индексы (1) и (2) обозяачают теперь значения «псреди н позади этой ударной волны соответственно; тогда критерий непрерывности струитуры ударной волны имеет впд (10А8) сои (К,. (с(0.
г~г Нслн он пе выполннется, то профиль имеет раарыв, и это воамо».ио да»зе в том случае, когда состояния по обеим сторонам устойчивы. Если ыы рассмотрпы нелинейный вариант рис. 10.1, то осиознос возмущение остапстсн непрерьзеиыы при условны, что еге окорость достаточно отличается от скоростей волн высгаего порндка по обеим сторонам. В»елинсйном случае иав'дая иэ атил скоростей монзет меняться в определенном шюереале, так что основная волна моязет комбпннроватьсн с с-волкамо впереди пли поведи. Когда это происходит, экспо»она»альков затухание соответствующнт с-волн прекращается и, поскольъу с-волны опрокидываются, в общую структуру вили»нвается ударная волна йи Критерий огрюзичепий на скорости (1028) дает очень простой метод продскаэания, позвочяющий нзбеа,ать гораадо более слозкного анализа интегральвыг кривит уравнений, оппсываюназх струатуру ударной волны.
1'.го полезность будет показана па следующих орииерах. 10.5. )(римеры Иаеедьтзме волны Этот пример был подробно научен в гл. 3. Отметим, что з принятых здесь обоавачениях с,= о-1 Уб»Б, сз=-о — )гд)г, а Зг/2 Согласно условиям (10А2), однороцное течение й; — йи о = устойчиво (как отмечено в 1 3.2) прк условии, что се )'(»йе< ~ (г'а( )' ййю Гл. 10. Иерарзнв волн где вмнгннй предел фактически не является ограничением. Согласно крпгервю (10.48), ударная волна Вп обладает непрерывкой структурой при условии, что агл — ). бкйш ((1( г)+)г агрба.
Этв условия на раврыве для бп показывают, что В ) г", так что ограничение сниву всегда выполняется. Поэтому кратерий возникновения разрывов в Я,гструктуре имеет вид (г) йо ) )гбщо Это в точности совпадает с ревультатом (3.52), полученным при помощи подробного аналнва. Магнитная газовая диламика Уравнения волн в магнитной газовой динамике приведены в примерах 10 н 10' 1 5.2.
1(ерзая система — зто система 1, н мы ныеем с,=-(г„р), г =-и-~-а, с,=и, -гг! г =.и — а, с!.— — (ггр) — пз Втерев гнгтева — зто свстегю И, н Л! !О! а,=и+(аз+ — ), аг=-аг —.и, ке а„=- и — (аз -!- — ) ко Реальные волны, распространяющиеся относительно иидкостн, ямегот чередующиеся скоростн, как н требуется условиями (10Л2), и устойчнвы. Слияние скоростей ам а, с с, иа траектории частипы, как легко проверяется, соответствует устойчивой ситуации.
удараан волна Яп нз а,-семейства, распространяющаяся со скоростьк! (1, имеет непрерывную структуру пря условии, что и' ' + а'м ( (1 ((згр) 1. Скорость света практически бесконечна, так что разрыв появ- ляетсн на вадней части профиля, когда (1 ( й!' + а!з!.
Вто простой вывод резулыата, полученного Маршалдом (1) с помощью подробного аналива структуры ударной волны. Дальнейшее обсуждение втого случая мок!но найти в статье автора (Унзем (В)). 345 10.5. Примеры Э(!фонти релаксации е залая Уравнения невязкой газовой динамики (гл. 6) моя<но записать в виде р, + ир„+ ри„= О, 1 и, -1- ии„-)- — р„=- О, е,-)-иск+ — и = О. Р Р При быстрых изменениях параметров течения внутренняя звертив е может отставать от равновеоного значения, соответствующего окружающему давлению и плот««ости.
Поступательное двшкение молекул устанавливаетсн быстра,но аапаздывание вращателыюго п колебательного движений может бьжь на порядок болыпе. Еали предположить, что а степеней свободы устанавливахпся лсгновенно, а остальные и, степенен свободы требуют болыпего времени релаксации, то можно наложить е =. — + Е, а р 2 Р где Š— анергая отстающих степеней свободы. В раекоееоиаге состоянии (см. (6.42)) Е принимает значение Ъ 1 Ез от= 2 Р' Простое общее уравнение, описывающее релаксаги«ю, имеет вяд Е,+иń—. — с (Š— — ''— ), 2 Р где т — времн релаксацию. После несложны«преобразований систему ураввений можво записать в виде р, -!.
ир„-! Ри„=- О, и, -! ии„-! — р, = О, Р— (р, 1- и р„) — ( 1 + — ) Р (р, + ир„) + р (Е, -(- иЕ„):- О, Е;+иЕ рт(Š— — '" — ") =О. Характеристическими скороотями являютоя е,=-и-)-аг, с,=.се=и, е,=-и — аг, еде аг — «заморожепнаяе скорооть звука, определяемая равен- етвоы аг — (1+ — ) — — уг —. 336 Гл. 10. Иерархия валя Зто система ! для данного случая. Однако, если время релаксации т с штается настолько малым, что Е = (а,!2) (р!р) являетсн хорошим приближением в последнем уравнении спстеьш, то имеем равновесную теорию р, ф ир,—, ри, =- О, и,чинь+ — р,. О, р — ', "(р) ! р.;) — (1 — , '."-'-) — '(! -! ир,) О.
Зто упрощенная система !! для на)пей аедачп. Характс*рвстспсе- скпе скорости вырюкаются формулами и,— и)ас, а, и, аз л — и„ где а, — равновесная скорость внука, определяемая рааавсмоп Посколььс У, ( ус, Различные своРостп сеРедУютса и имеет место устойчивость; свшсние скоростей со скоростью частица снова соотнетасвует устойчивости. Рассматривая г точна зрения ш)лпой системы структуру ударной волны 3)с (для аотарой считается, чта теченссе между диум» одиородш)мв состояниями равновесна), видим. что опа будет пепрернвпой, голи иа' — а)е(О(иа',' ар'. 11оскольку, соглас)ю бп-услоннвм иа разрмае.
И) и'с', существенно только ограничение сверху. Заж)рожеипая ударная волна 3) возникает в передней части профиля и будет сопрано)кдаться областью непрерывной релаясации, когда (С ) и)с) 1- а)". Зтот критерий можно записать в видо а(~ ) Для двухатампой моленулы две аращательиыс степени свободы могут ам тааать от трех постуаательиьсх степеней, и вто можно опнсатсч аоложвв а 3, а, — 2. Замороженная и равновесные скорости звука раним соответственно 5 р с 7 р ис. —,—, а, р "' р Крсперпй (10.50) предскааывает полноспю ршсаксационнмй гладкий профиль, когда М ( 1,091, 347 10.5.
Прилгеры и раврыв, сопровождаеммй областью релаксации, когда ЛХ превосходит это критическое вна шипе. При учеш вявпости и тепло- передачи этот раарыв пероходит в тонкий подслои. !'риффитс, Брикл, Влэкмен и Кеянн [см. Гриффитс, Брикл и Блакмен [1), а также Гриффитт в Кения [1)) опубликовалн результаты экспериментальных наблюдений ва колебательной релаксацией в СОэ. В этом глучае о следует положиш равныы 5, чтобы включить и поступательные, и вращательные степени свободы; колебательные движения устананлиааются значительно дольше.
При 300 К а, следует положись равным 2 '). Критическое значение для ЛХ равно 1,043, я энспероисяталыпге кабэюдепия, описанные в цитированных выше работах, подтверждают эчо с достаточной точностью. [Дальнешпво дотачи ъггяггно найти в укаааипых вылив гтатьях и в превосходной работе Ларпхклла [5[.) '!аким образом, мы убедились в топ, чго введение в рассмотрение волн, учитывюощих раэличпого рода дополяителы|ыг эффекты, п выяснение роли, которую играет катьдая ив этих волн, приводит к сравнительно простым предсказаниям вавгпых явлений в чрезвычайно сложных ситуациях.
г) Врв этОЙ теквгратхрэ четыре стнаяп сэабсаы обаааамт тееько шип эшюа гаага ггааштггшагщг эвгрсаа, так чго выбор а, —. 2 аэлвстсэ оэрав!Ьпшмм. ЧАСть и ДИСПЕРГИРУ1ОЩИЕ ВОЛНЫ Глава И ЛИНЕИНЫЕ ДИОПЕРГИРУЮЩИЕ ВОЛНЫ В чвгтп 1 рвссмвтрпвэлись в основном гиперболические системы. Одняко бблылвя часть волновых движений, включан знвкоыые кэлгдоя~у волны ня воде, нв первый взгдяд не имеет нспосредотвсняой связи с гиперболическими урввнснвял1и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
