Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Предположим, далее, что производная )У' (н) мовотовва в положительва при к ) О (вто обычно выполпяется), и расомотрим асимптотическое поведевие выражения (И. 16) для л ) О. Если Вг (к) — вечегяая функция, то производная )у'(к) — четная функция в уравнение (И.21) имеет два корня ~й. Соответствующие два вклада в (И.22) можно обведи- 11.3. Асимптотическое неведение решевия нить, поскольку г"г ( — й) = Р, (й), согласно (11.17], и получить ~р - 2Ве (г"г(й) ) „И] к Х ехр (Сйх — ИИ(й)С вЂ” г 4 пуп И'(й))), С -ь оо, — *> О, (11.24) где й (х, С) — пологкителькый корень уравиеяия (11.21), определяемый соотяошеииел~ й(л, С): И" (й)=.— ", й)0, — )О.
(11.25) Для нечетной функции И" (к) второй интеграл в (ВЕ16) ие дает вклада в решение при х ) 0; ов даве соответствующее выражение лля х (О. Если И' (к] — четкая функция, то проивводкан И" (к)— нечетная фувкцвя, уравнение (ОЕ21) имеет один корень й при х) 0 и втот коревь положителен. Поигому первый интеграл в формуле (11.16) дает только один вклад.
Однако для второго интеграла в решении (11Л6) стациокариые точки удовчетворягот урввнекшо И" (к) = —, и — й будет решением этого уравиеиия при х ) О. Таким образом, если й определяется соотношениями (11.25), то в (11.16] имеются стационарвая точка к = й в первои витеграле и стационарная точка к = — й ао втором интеграле. В силу (11 18), вклады снова объедвкяются и суммаргвгв ревультат приводит к той же формуле (11.24г).
Важиость угловия И"" (к) ~ 0 в определеиии диглергирующих волн кля линейных систем теперь очевидна. Если производная )Р (к) постоянна, то при любом вначепии отяошевин лй стационарных точек вет и весь асимптотическвй скалка меняется. Конечно, ои и вг нужен, поскольку интегралы Фурье иелгедленно упрощаются. Важиость услевия )У (й) вв 0 свявакн и с тем, что И'" стоит в акавгеиателе выражений (11.24) и (11.23). Если И" (к) ие равиа тождествекне нулю, ко обращается в нуль для иекоторой стациоиариой точки!К то правильное асииптотическое поведение определяетсл с помощью дальнейших члеиов ряда Тейлора для у.
Если у" (й) = О, яо у"' (й) чь О, то вклад в (1220) равен Г(/г) ехр( — Сд(й)С) ~ ехр ( — — Сд" (й)(к — й)г~бх— =( С ) )3ьге20с (), а ехр(айг — СИ'(]г)С). (РЕ26) = 3 "' "' (с)и,'.<ь)(] гг Гл. И. Лпяейиые диспергирующие волны Посяольиу й — фуииция от х(С, вто выражение уиаэываст яа сиыгулярыое поведевие решеиия ва соответствующей прямой хп = — И" (й) и в ее оирестиости. Перейдем теперь и подробыоягу обсуждению асымптотичесиил форлгул (И.24) и (И.25).
11.4. с руппован скорость; распространение воамущеннй волнового числа н амплитуды В важдой точке (х, С) соотяошеяия (И.25) дают определенное ввачеяие волыового числа й (х, С), а дисперсиоывее соотяоюевие ю = И'(й) дает и частоту и (х, С) в этой точас. Можно ввести фаву 8 (х, С) = хй (х, С) — Сю (х, С) и переписать формулу (И.24) в виде 6=не(А(х, С)д'М" с), (И.27) где иомпвеясяая амплитуда равна А(х, С)=2гс(й)1/,~ с-( пы'вою. (И.28) с(и" (ц( 8 рц С) = й* — РР(й) С, —,=а+(* — И" (й) С) —,, де, дд — = — И'(й) +(х — ИЯ (й) С) —. де дд м дг (И.29) Выражение (И.27) имеет форму влемеытаряого решения, по велишиы А, й, ю уже ие постоянны.
Одваяо вто решевве все еще вписывает осдидлируэвций валыовой паяет с фавой 8, представляющей ввлгеыевия ммвду лсыальямми маясвмумами и мивимувшми. Отличае в том, что волновой паяет *еперь яеодыородел, расстояние и время между двумя последующими маясимумами иепостопиио таи же, яая и амплитуда. Кстествелыо обобщить ва втот веодвородвый случай попятив волнового чисча и частоты, определив их яаи 8„ и — 8, соотвехствелио.
Число маысвмумов яв единицу длины является грубой п некорректно определевиой велвчивай, в то время иав величиыа 8в более точас п ыепосрелствеиио соответствует ивтуитивиому представлеыисо локального волнового числа. Более того, в рассматриваемом случае мы имеем 361 НА. Групповая скорость Члены, содержащие йе и йн искспочаются условием стационар- ности (11.25), и остается просто — =й(х, 1), ед — = — )У(й) = — (х, 1). вз В1 (11.31) Таким образолн определепие волнового числа )с, которое было введено нак специальное значение волнового числа в иятеграле гдурье, аогласуетсп с нашим расширенным определением локального волнового числа О„в осциллирующем неоднородном волновом пакете.
Это же верно и Ппя соответствующей локальной частоты. Более тово, локальное волновое число и локальное частота ддоелегпеоряют дисперсионному соотношению даже в неоднородном волновом пакете. Такая согласованность двух оиределеиив объясняется малой неоднородностью процесса. При оптиком бесыорядочньзх осцилляциях тоже можно найти фазовую функцию О и ватем определить О„как волновое число, но если производная О„сама быстро меняется на вротяжении одной асцилляции, то интуитивнал интерпретация будет утеряна. В нашем случае й (х, 1) — медлевно меняющаяся функция.
Ив соотношения (11.25) имеем а„н' 1 а, 1 1 а Ьик з' Ь азу (З) причем обе величины х и 1 относительно велики. Следовательно, относительное ивмеыение на одну длину волны или ва один период малы, и в этом смысле й — медлеыио меняющаяся функция; то же верно и для ы. (Снова отметим сингулярное поведение в окрестности каждой точки, где И'"(й) =- О.) Исходя иа выражеыия (11.28), легко показать, что А также меняется медленно. С зтимв интерпретациями величин, фигурирующих в (11.27), мы вернемся и определению (11.25) для й и ы нак функций от (х, 1) и к определенщо (11.23) для А. Соотношения (11.25) оиределягот й как функцию от х и 1, во полезно рассмотреть обратнуго функцию и выясннть, где можно найти конкретное зиачепне рк Ответ очевидеы; в точках, где х- И" (й,) 1.
Таким образом, наблюдателен движущийся со скоростью )т" (й„), все время будет видеть волны с водновым числом йе и частотой И' (йе). Величава И" (й) = —,„ Гл. И. Линейные диспергирующие волны или б„ж +О =О, Ос откуда >с е„» Таким образом, фааоная скорость с по-про>ппему равна ю/й, хотя попятил налички и и йс и были расширены. Но она ке совпадает с групповой скоростью. Наблюдатель, распололсепный на какомлиба выбранном гребне, дввжетса с локальной фа»оной скоростью, по видит измеитощиеся локальные волновое число и частоту, т. е. гребни исходной формы уходят от него все дальшо н дальше.
Набл>одатель, движущийся с групповой скоростью, видит одни в те же локальные волновое число и частоту, но гребни проходят мимо него олив За другим. Для того чтобы продемонстрировать зто важное различие, расс»>отрпм уравкенво кояебаний балки. Дисперсионное соотношение имеет вид И'(й) = уйг. Позтому (И.25) лает )У' (й) = 2уй = —, с' и мы имеем гл е= — „. 4»с ' Групповым линиям с постоянными й и ю соответствуют прял>ые — = сапа», втс а фааовым линиям с постоянной О— сз — = сопщ.
4»с параболы называется групповой скоростью; зто понятие скорости «группы» волн с меняющимся волновым числом весьма важно. Наша интерпретация ояределепия (И.25) покааывает, что калебас волновое «ново роспростро>тспмл со сммй групповой скоростью; каждое конкретное волковое число й, аа время С амещается на рзсстаяние И" (йо) С. Распрострапеяие каждого фикаироваяиого значения фазы 8, описывается уравнением Е(*, с) =Ем 11.4.
Групповая скорость Они построеньг на (х, 1)-диаграмме, предшквленной на рис. н.1. В данном случае групповая скорость 2уй больсне фазовой скорости уй. Для волн па глубокой воде (см. гл. 12) дисперсионное соотношение имеет вид И' = )с дВ Поэтому уравнение И" (й) = хй приводит к фориулам МЭ 4) ХД 4=- —, в В= — —.
2т ' 4х Групповая скорость Чэ)С д)й моншпе феновой скорости )с б)й* п мы имеем ситуацию, иаображенвую па рис. Н.2. т В х Рас. 11.2. Групповые ванин (сплошные кривые) и базовые ливан (штриховые кривые) Вля волн на глубоаов воде. Рнс. 11.1. Грушюзые лаана )сплошаие кривые) и фаэезые лаана (штриховые правые) дла волн в балке.
1 С ха яг р = соэ ( — =) ( атс 4! (Н.32) для балки и (Н.ЗЗ) для волн на воде. (В действительности равенотво (Н.32) является точным, поскольку для балки И'(к) совпадает с квадратичной функцией.) Во всех случанх (для лова что рассматривавшихся однородных сред) групповые линии являются прямыми в отличие от фаэовгэх линий; касадое волновое число распространнется с постоянной сиаростью, каисдая фаза ускоряется или ваыедляетса, проходя через рааличные волновые числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
