Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 67
Текст из файла (страница 67)
уравнение (И.46)). Следовательно, носковы<у К вЂ” <" (й) ас, величина а' удовлетворяет тем же самьщ уравнениям. Ото можно установить н непосредственно из ураннения (И.70), обобщив надлея<ащиы обрааом (И.62). Дая центрированной волны, соответствующей асимптотичоскому выражению (И.41), вектор 1< определяется из условий — ",< С, (ЕД Таким обрааом, мы получили, что где л — число намерений..()то согласуется с выражекиел< для амплитуды з (И.41). Мь< видим, что усредненное энергетическое уравнение действительно лает правильное описание распределения амплитуды, согласующееся с найденным ранее.
Ото уравноние удовлетворительно в том смысле, что оно обеспечивает подход, не связанный с преобразованием Фурье, и таким образом позволяет иадеятьоя иа обобщение, но в своей настоящей форме оно не вполне удовлетворительно в том смысле, что представляющиеся общими результаты (И.69) и (И.70) появляются только после выкладок, основанных на специфиве конкретных уравнений. Если повторить те же самые рассуждения лля других линейных уравнений иа примеров (И.7) †(И.9), то получатся в точности такие же окончательнь<е результаты (И.69) и (И.70).
375 11.7. Вариацнояный подход Например, анергетическое уравнение, соотвехствующее примеру (И.7), данг плотность анергии 1 , 1 , , 1 т , — да -Р— и Ч -1- — () 'Р: х 2 2 г 2 7 и вектор потока анергин пг(ау г Рйойп р Средние значения, полученные в результате: 1) подстановки гр — о соз (О + г)), 2) пренебрежения производными от а, ть й; и ы и 3) аамепы соз'(О + т)) и юпз (О + О) их средними значенинми, равными одной второй, таковы: 'в = — (ад+ пз1)г+ (Раааа) аг, Гг.—.. —, (пзеуΠ— Огыай,) а'.
Прп помощи дисперснонкого соотношения аа И= й=. (й(, )гг 1-рзж ' провернется, что Х,=-сй, и усредненвое энергетическое уравнение опять мояшо записать в виде — „,'+,—. (С,й) = О. гй д Те я<е самые результаты онааываютсн справедливыин для оставшихся примеров (11.8) и (11.9). Па-видимому, ясно, что эти важные общие реаультаты должны быть установлены раа и навсегда при помощи общих рассуждений, пе требующих наждый раз детального вывода. Такие рассуждения (и нечто горазгго большее) дает вариапионкый подход. 'И.7. Барнационный подход Отот подход первоначально был развит длн гораздо более сложного случая нелинейных волновых пакетов и является довольно равносторонним. Полное изложение будет дано после дальнейшего развития рассматриваемых вопросов, но адесь мы можем изложить его в степени, достаточяой для того, чтобы завершить нредыдущее обсуждение.
Гл. И. Линейные диспергирующие волны Напожпж сначала некоторые детали вариационнога исчисления. Вариациоиный принцип бХ=б ) ) Х (цо гу, й) бсбх.=.О (И.71) в утверждает, что интеграл Х (71 по конечной облести Х) должен быль стационарным при малых изменениях функции э в следующем смысче.
Рассмотрим две близкие функции г» (х, г) и й (х, 1) + Ь (х, г), где Ь «мало»; поснольку в эыраэ»енин (И.71) фигурирухп первые производные, обе функции считахпся непрерывно дифферекцнруемыми. Ь(алость функции Ь в этом контексте»гзмэ. ряется »нормой» )Я=щах)Ь(+ шах(ЬЛ + юах(Ь 3 б»уккцин Е обычно довольно вроста, и заведомо можно считать, что она имеет ограниченные непрерывные вторые яроизводные.
Разложив ее в ряд Тейлора, получим Х (й+Ц вЂ” Х (й) = ~ ~ (Ход»-)-Хтпй +йчЦ»)13х+0(()Ь((»), (И.72) где символ ф,. означает дфдхь Линейное по Ь выражение назы'г вается первой вариацией бХ (р, М. Вариационный прияцип (И.71) требует, чтобы бХ (р, Ы == О вдя всех допустимых функций Ь. Если ограничиться функциями Ь, обращающимися в нуль на границе области Х(, то после интегрирования по частим (с использованием теоремы о дивергенция) мы получим бХ(й, Ц= ) ) ( — — б, — 1. +Хе~ Ьбсдх. (И.73) Потребуам тенер»ч чтобы выражение (И.73) обращалось в пуль длн всех таких Ь. Согласно обычным соображениям непрерывности, отсюда следует, что (И.74) (Если выражение (И.74) отлично ст нуля, скажем положительно, в какой-либо точке, то найдется малая окрестяость, в которой оно оставалось бы положительным; выбрав функцию Ь полоя<ительной в этой области и равной нулю в остальных точках, получим проти-.
воречие с требованием обращения в нуль выражения (И.73).) Зги рассуждения естественным образом обобщаются на случай, когда й содержит проивводные функции р второго или более И.7. Вариационпый подход 5 = — г фф„+ —, аф„— —,))фь ь Для изучения медленно меняющихся волковых сгакетов, для которых ф асов(6+6), (И. 77) вычислим *еперь лагранжиан 5 в точности таким же образом, как в предыдущем нараграфе вычислялись плотность и поток энергии. Это значит, что в лагранжиан подставляется выражение (И.77), проиаводными от а, гь ю„й пренебрегают как ьсалыми и осущест- вляете» усреднение по периоду.
Резулжат в каждом случае будет функцией 8 (ю, ]с, а); в частности, для примеров (И.76) имеем Х = — (юе — пз)са — (]з) аа, 4 л = — (оР— пайз+ бгоРйе) а", 4 М = — (оР— угйа) аз. 1 с) Обычно это граавевве паанаают ураввеввек Эйлера.— Пр . вср р. (И.78)с высокого порядка. Соответствующее вариационнсе уравнение '] имеет вид А — —. 5 — — Ьн. + — А + о а са Ыа 'ра в котором легко узнать результат повторного интегрирования по частям. Уравнения (И.74) и (И.75) являются уравнениями в частных производных длп сг (х, 1), причем уравнениям такого вида ыожно дать эквивалентную вариационную формулировку. Вариацновный принцип в случае нескольких функций фсо>(х, 1) приведет к уравнению (и.75) для каждой сгсю(х, 1) (поскольку их можно варьировать независимо) и, следовательно, к системе уравнений.
Воярос о нахождении вариационного принципа для данной системы уравнений мовсет окаваться трудным, но обычно тривиален,когда имеется только одно уравнение. Отметиы, чго лагранжиаиы В для примеров (И.б) — (И.8) соответственно равны 5=..— рс — —,сс р„— — (] бз, 1 с 1 2,2 1 3 г г ". г 5=- — гй — г "ЦР,+ г(Рфм; (И.76) ! с 1 с г "' а пример (И.Э] включается в ету схему подстановкой ф =- ф„ и выбором Гл. И. Линейка>е диспергирующие волны 378 Пастулируем теперь «усредненный вариационный принципе б ) ) Х ( — Оо О„, а) «(гаях =-0 (И.79) для функций а (х, г), О (х, г). й!ы поступили аналогичным образом, рассматривая аакап сохранения (И.59), но предложевный принцип гораздо менее нагляден и его еще нужно детально научить. Однако, припав этот принцип, мы пемодленяо увидим, что он дает обп!ий и чрезвычайно мощный подход.
1!оснольку проиаводпые от а отсутствукк, вариациошюе уравнение (И.75) для вариации функция и сводится к следующему: бгл> л, О. Варнациопное уравнение для 0 нмсет вид э д 80> —.Хе + — 2>а, --О. дг 'г дг г В оти внрюнения входят только проязводные от О.
Вследствие этого, наале того хал полрвям вараайааааие рраа>илия, обычно удобно работать снова с в, й и а, ваяв за основу систему уравнений ,У, — О, (И .80) (И.81) (И Вй) Уравнения (И,82) валяются условиями совместности и необходимы для существования фамл О. Уравнение (И.80) является фуакцаопальпым соотношением между в, й, а и не мвнет быть ничем, кроме дисперсиапного соотноп>епвя. Для примеров (И.78) легко проверить, что это действительно так. Для любой линейной аадачи лаграпжиан й пвляется ввадратячпой функцией от й и ее производных, и как следствие Х выглядит так> л",=-6 (в, )«) а'. (И.83) Тогда, согласно (И.80), дисперсионкое соотношение должно иметь впд (И.84) С(в, й).
О, и функция 6 (в, 1«) в Х есть ие что иное, как дисперснонная функция. 1(е нужно даже вычислять Х в каждом случае! Это все неожиданные выгоды. Основная цель — найти общий способ вывода амплитудного уравнении, и фактнчески мы уже включилн кинематичесвую теорию, предложенную в $ И.б для аш>сания геометрии волнового процеаса. Уравнения (И.80) и (И 82) дани в точности *акую же теорию. 379 И.7. Вариациокный подход Заметим, что стационарное значение для Х, как мы показали, равно нулю. Для тех простых случаев, когда лагранз<пап В равен равности «инетической и потенциальной энергий, ато доказывает (с учетом последующего обоснования принципа (И.79]), что их средние значения совпадают. Зто хоров<о известное равнораспределенне энергии для линейных задач. Нереходя теперь к амплитудному ураенепею (И.81), заь<ечаеь<, что его можно записжь в виде а (С «) з (аз о)=-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
