Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 71
Текст из файла (страница 71)
скорость, соответствующая услови»о (12.23), яо расположение рассматриваещ»х вола определяет имепяо групповая скорость С =- Ч с. Волны, образующиеся в точке (), дол>г»иы пройти расстояние Сс —.— Ч сс. Следовательно, а направлении ф оии будут обпаружены в точке Т вЂ” средней точке отрезка Г)о. Рассмотрев все аиачеяия ф, получим, что волны, возникающие в точке Х) и дающие вклад в стационарную картину, лежат ка окружвости радиуса Ч» Ю с цевтром в точке В, причем РВ =- эl» УГ.
Наконец, фиксируя точку Р и меняя г, мы получаем ивбор окрул»во- 12.4. Корабельные волны отей, изображенныл ва рмс. 12.3. В силу построения, проведенного на рис. 12.2, каждая окружность имеет радиус, равный одной грета расстоянии от ее центра до точки Р. Следовательно, эти окружности ааполняют хлвнаобрааную область с углам полураствара агс юп Ч = 19,5'. Ю!юбопытно, что построение на рис. 12.3 соответствует сверхзвуковому обтеканию с числом Маха, равным 3; все плавающие объекты имеют эффектинное числа Маха, равное 3.
с»7ольнейсиее исследование вортинн волн Более детальное рассмотрение картины волн удобно провести в системе отсчета, в которой источник находится в пепадвюиной чочне Р, а скорость 5» однородного нотона направлена влоль аси т» (см. рис. 12.4 на стр. 397). При этом ваанвнает ряд общих вопросов описания стационарных волновых процессов, которые оказываются полезными и в иных контекстах. Дисперсионные соотношения из 4 12.1 применимы н волнам, распространяющимся по неподвижной воде, но манена перейти в онстему отсчета, движущуюся с относительной скоростью — П, заметив, что частота ю относительно движущейся системы следующим образом выражается через частоту ыс относительно поподвинсвай системы- ю П'2+о»е()с) (12.24) Это дисперсионное соотношение мюяду ы и й для волн, накладывающихся на поток со скоростью П.
Конечна, распространенно больше не нвотропно, поскольку в соотношение входнт вектор 15 В талой системе отсчета для стационарной картины волн ю = О и выражение (12.24) ставовитсн соотношением между номшспентами 5» и 5» волнового вектоРа й. Дла ю, (й) = )с(,5 имеем С(йи 1 )=-П)ч+)сей) =О. (12.25) Поскольку соз») = — й»/5 и о (5) =-)с й)й, ато сагласуетсн с (12.23). Представив вектор й в полярных координатах ()с, ф), равенство (12.25] манена переписать в виде 5'(й, »)) = И»иааф — )с уй= О.
(12.26) Тан нак частота ы равна нулю н й не зависвт от Г, нинематические соотношения (ПС43) свидятся к условию совместности — '," (12.27) Согласно (12.25), й, = с'(Ус,) и уравнение (12.27) дает — — Д (йз) — = О. иь,, аь, ив» ивз Гл. 12. Картины волн Поэтому компоненты йг и й постоннны на характеристиках ~' = — ! (ЕО. ап Для точечного источника Р характеристики, несущие возмущения, проходят через точку Р. так что имеем цснтрированную волну — '-' = — Д (й,).
(12.28) Это равепгтво определяет й «ак функцию от .. !х„и соотношение )г, —. ! (Йг) завершает нахозкдепис вектора !г. Основное соотношение (12.28) можно записать а симметричном относительно й, и 1, ниде. Если )г, =- ! (йт) тонздоственно удовлетворяет саотноптению (12.25), то ! (й,)6„+6„=.9 и (12.28) можно перопнсать в виде Оэ (хз, АО (12.29) а,,(эь Х,) ' ! ду /дф Мр=' е дуща. Уравнения (12.29) эквивалентны условняы 4 =- я — р — ф О ()г,ф) =- О. (12.39) (12.31) Решан этн уравнения, находим )г, и )г, как функции от х. Зная вцд функции й, узне магкво нарисанать нартину волн, ио ыожао найти также и фазу О (гт, г,) и получить линии гребней. Полеано отметить, что соотношения (12.29) получаются иа выражения длк нестациоварпой цевтрированной волны в пределе при ы О.
Для цевгрироваккой волны, согласно (11.49), имеем аа, — -.6,=. — — ", 6(й,ы)=О. и Взяв отношение первых двух уравневий системы, исключим ! и 6в и, перейди к пределу нри и-ь О, получим соотношения (12.29). Гйов'но считать, что воамушенне распространяется с групповой скоростью бы хотя зто но приводит к изменениям картияы волн. Данное соображение поаволяет продшгжать вспольаовать нопятие групповой скорости, хотя в формулах фигурирует толька ее вавравление 36/дйо Далее заметим, что иногда удобно польаоваться полярными координатами, кан это сделано в равенстве (12.28).
В полярных каордггг~атах градиент 36/дй имеет компоненту дл(д)г в направлении й и компоненту дб(йдф, ортогональную й. Отсюда для угла р на рис. 12.4 получаем 397 12.4. Корабельные волны Уравнения (12.2)) п (12.31) определяют й н ф (а следовательно, и й) для вадавного нанравления $. У Р Х1 Р с. 1нь. !соме рое гребнев вова в ааааче о аорабеаь па мываь. Эти построения примениыы к любой дв)жерпой стационарной картине, н теперь мы применим ит к корабельным волнам. Подставляя выражения (12.25) в соотношения (12.29).
получаем ьг Очевидно, удобнее перемти к представленаю (й, ф) вектора 11 в полярных координатах п запигать эту формулу так1 (12.32) П- — !.! 2,Л1,1- ° С с,ар. Если предпочтительнее подлод (12.30) — (12.31), то ш1есм !р р = — 2 !д1Р, (12. 33) откуда следуют соотношения (12.32). ТепеРть ивменнЯ Угол ф, мы можем наРисовать типнчнУ1о линиго гребня. Согласно (12.25) нли (12.26), 51 < О и сов ф ) О, так что допустим лш1п интервал — и!2(ф (п12.
Картина волн, очевидно, симметрична, и достаточно рассмотреть интервал О ( ф ( ( я12. Перван иа формул (12.32) нокавывает, что при 1) О и ф и/2 пою!учаем 3 О, и, следовательно, на интервале (О, я!2) переменная 5 должна иметь максиыум. Легка проверить. что этот максимул1 равен й„=-агсгд -19,5 для ф — ага!9 — =35,3', ! ! 21 т Ка Полученное вначение совпадает с углом полураствора клина, найденным раньше, и покавывает, что все волны сосредоточены внутри этого клина. В точке максимума 11 Ф п(2, и поэтому линия гребня не может повернуть навад гладко; на границе клина нри ф == ф эта линии имеет ваострение. Таким обравом, видим, Гл. 12.
Картины волн что линия гребня имеет форму, изображенную на рис. 12.5; в целом картина волн представлена на рис. 12.6. Выражение для фазы 0 (х) можно найти как х 6=12.Ь, (12.34) Ъ интегрируя по любой удобной крпвоя, поскольку (г — безвнхревой вектор. Очевидно, удобны лучи 5 = сонэк поскочьку на ннх вектор й остаетсв постоянным. Инеем 6 = (й соз р) г, (12.35) тле г — (х ( — расстояяне от начала координат. Здесь й и р— Функции от $, определяемые Формулами (12.32) и (12.33).
Кривая Рвг. 1а.а. Лакая гребла е аалэче Рве. 12.В. Паанэв картина о корабельных зоввах. корэбельвых вола. постоянной фазы 0 --- сопят в параметрическолэ виде с углом ф в качестве параметра описывается уравнениями г= =- — — соээф(1+ 4збзф)' а созе та 1' г+т!аэф ' так что фаза 0 отрицательна. Зги саотнсапения можно переписать и в декартовых координатах: Ого яг= — созф (1+ыпзф), (12.36) я = — соээфып а $2.5. Капилляриме волны иа тонком слое воды Аналогичным образом можно изучать стакионарныв хартвк ы капиллярных волн.
В этой связи особенно жзтересно исследование Тейлора (6) воли иа тонких слонх воды. Поверхностное йатяпэение 12.5. Капиллярные волны на тонком слое вовы 399 доминирует, и слой настолько тонок, что приближение й)ь (( 1 удовлетворительно. Для орной моды слой деформируется как целое, сохраняя вримерво постоянную толщину, и для этой моды (антисимметричиое возмущение обеих поверхностей) волны не диспергируют.
Однако длн симметричяой моды, в которой абе поверхности симметрично осциллируют относительно центральной плоскости, >с>сеется дисперсия. )йожнп применить саатяошевне (12.7), положив 26 равным толщине невоамущенвого слоя, так яак длл на>клад половины слоя плоскость симметрии эквивалентна твердой иоверхкостн.
Носьачьку слой очень тонок, доиустимо испольвовать приблюкения (12.11). Картину волн от тачечнша источнина в потоке со скоростыа 11 можно анализировать при помощи общей теории, иэложеяной в предыдущем параграфе, нспользуи днсперсяонное соотно>пение С=-Псс —,' ( ™ ) !се=0. (12. 37) Длн однородного слон в однпродвом потоке величины С и й постоянлы.
В атом случас из (12.29) сразу следует, чта Согласно (12.37), для вектора й, ваш>санного в полярных координатах (й, ф), имеем 1с -= 11 саэ 91п и характеристическое соотношение (12.38) дает 19 3 = я", т.е. 3=- я — 29. свэт- т ' (12.39) Далее, иэ (12.31) следует, что угол р равен э>. на этот раэ 9 >сеня ется от 0 до я12, 3 меняется от — я до О, и мы приходим к выводу, что линии гребней ныеют примерно параболическую форму, как пока*вин на рис. 12.7. Для фазы имеем спи ЫЭ 0=-(йсоэр) г=- с — ) гз1пс-;, — 'г гс.! (12.40) н пс>следоважльность линий гребня описывается кривыми гэш*(312) =.
солж. Тейлор провел также эксперименты и развил соответствующую теории> для волн на радиально растягивающеыся слое. Для невовмущеннога состояния слоя радиальную скорость (с можно считать иастоянной, поскольку грациенты давления не превосходят 0 (Ь] и ими можно пренебречь. Вследствие втого полутолщина слоя Ь является фунндией расстанния М пт цеатра симметрии (источника течения), заданной в виде йоо Гл. 12.
Картины волн где б! — султлюрная мащносю источника. Поскольку Ь аависит ат Л, мы имеем пример воли на неоднородной среде. Достаточно р =и/г Рвс. 12.7. Бертене грсавеа ев тоавовт слое воды. далеко ат дентра Л вЂ” О параметры среды мало ивменяютск на расстоянии порядка характерной длины волны, и мощно применить Рве. 12.2. 1'еокетр о вовк вв редвеллво рвот твввющелкв свое. 1 — астюшвк тсчсввя, г -- исто вшк вола, Х вЂ” хвректрвстввв. н проиллюсхрировать идеи $ ййб и 11.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
