Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 75
Текст из файла (страница 75)
пч (13.11) Уравненве (13.10) нли (13.11) является кинематическим условием на гравице. Существует также динамическое условие. Поскольку поверхность раздела не обладает массой, силы,приво>кенные к обеим ее сторонам, должны быть равны. Отсюда, пренебрегая на время поверхностным натяжением, получаем, что давление в воде н давление в еовдухе у поверхности должны совпадать. Любое возмущение поверхности, очевидно, приводит к некоторому движению воздуха, но можяо считать, что свяаанное с этим изменение давления пренебрежимо мало и давланиа воздуха можно аппроксимировать его невоамущенной величвной. При атом исходим на того, что плотность воздуха очень мала по сравнешпо Гл. 13.
Волям на воде 4!3 13.2. ))арггациоииая ~орыулггропиа В свяав с общвм вспольаовапвем варнацпонньж прнвцвпов, ева девнь|х в гл. 11, важно иметь варнапвовнуто формулнровку аадачп о волнах ва воде. В явном виде ее, по-ввдвмому, до последнего времени ве было, в юпвь сраввлтельно недавно она была дана в статье Лыока (2). Конечно, хороню вавестно, что уравнение У!апласа мол<но получать ва прввдвпа Дврвхле б ~ ~ ~ — (Чр)адхбугд=о, (13ибр но Льюк покаеал, что варпацвовный прввцвп б ~ ) Ьйхбг=-о, Е= — р ~ (рг+ —,' (рр)'+уу) Уу (13.16) (13.17) с плотностью водьг в вамененвя даалеввя имеют порядок раа.
Это предположенне можно детально подтеердвть с учетом дввжеввя воадуха а твпвчных примерах (см. $13Л). Если ва указанных основаввнх пренебречь дввжевлем воадуха, то второе граничное уславле првнвмает анд р = р», где р — давление в иоде, определяемое вторым уравнением (13.7), а р,— постоявное авачевне в вевоамущенном воедухе. Таким обрыюм, два граничных условия аа свободной ловерхвоств аепнсьпаются в следующем виде: ел+ И ц» + Ч*Л* = Ч а рг+ — (ты+ И*в+те)+ Р)=О Г 1 на у =- ц (, х ° г) (1332) Обычно для уравневвл Лапласа аадается одно граничное условйе, но прв атов~ счвтаяжя, что граница нелестна. На свободмой поверхвостя пеобходвмы два условия, поскольку кроме р недо определить еще полоягевве поверхности те На твердой неладен»аной гравице нормальная компонента скорости жидкости должна обращаться в нуль, т.
е. н И~у = О. В частности, если дно аадано уравненном у = — Ье (х„х,), то имеем Иг+ м„й + И ~еж= О прв у = — Ь» (хг, хт). (13.13) Это частный случай условия на поверхности раедела (13.16) прп ! (х» *» У. Г) = У + йа (хг, хс). Для горваовтальвого плоского два й» постоянна в юг=о прлу= — йы (13. 14) 13.2. Влришгиавнля формулировка 419 дает, кроме того,и требуемые гравичвые условия.
Здесь  — проиввольвал область в (х, Г)-прострвнстве. Когда «ырежекие (13.17) подстввлено в (13.16), ивтегрировлвие проводится по облести 7)г в (х, у, Г)-пространстве, состоящей ие точек, длл которых (х, Г) р 8 7) и — й, <у <тг Входящие в выражение (13.17) члены и уу, дополнителькыо по сравнению с принципам Дирихле (13.15), вливют только на граничные условия, поскольку они ивтегрируются и дают вклад лишь на границе области )7». Для малых отклавекий бф от ф имеем — 6~ ~ — 'дх»й=~~ ( ~ (бф»-рфф.фбф) Иу~Нхдг= л -л, = — ) ~ ( — ) б~рНУ+ — „.
~ фжбф Ну~ с(хс(»в в -», -», — ($ ( $ (р„»„,+ф»„)бфау~д бг— я -», — 1 1 НЧ + Рыть» — ф„) бф) „с(хе(Г+ л +) ) ((ф.г)ф,+ф»)бф) - бхбг. (13.18) 6 ~ ~ Еа бт= — Р ~ ( ~ф»+ — '(фф)»+УУ1 бб два=о» (По повторяющимся икдексам» проводится суммирование с г = = — 1, 2.) 1!ервый член после ивтегрировевия дает вклад только ва грлввде области Л и обрвщлется в нуль, если выбрать бф рав- ной кулю на греиице области )(. Если (13.18) должио обрюцлться в нуль для всех бф, то необходимо р +,рж= о, — Ум<у<в, тл+'Ржд» ф»=О у< д (13Л9) ф.Ь, +ф„=о, у= — Д, Чтобы получить первое уравнение, выберем бф =- О при у = 8 и у = — Ь», л потом испольеуем обычные вариациовлые рассуж- дения.
Зетем после исключевил первых двух членов выреже- иия (13.18) подходящий выбор бф ~ О при у = то 6»р .= О при у = — 6» дает гравичвое условие при у = »8 еввлогичкым обра- зом выбор бф = Оприу =- то бф ) бирму =- — Ь»дает грвпичиое условие при у =- — 6. Для вариации 6») ив (13.16) — (13.17) ораву следует, что Гл. 13. Валах> на воде в обычными рассуждениями получаем, что ~И, ++(>7 р)>+ау~ = О. Уравнения (13.19) — (13.20) совпадают с уравнениями, выведенными в предыдущем параграфе, так что приведенная там формулировка содернапся в (13.16) — (13.17).
Самым существенным е функционале (13.17) является то, чю величина в скобьах раева р — рс, и наш принцип явллется принципом стациоварното давления! Свяаь атоса принципа с аривципом Гамильтона подробно обсу>вдается Селиджерам и Уиаемам (1!. Линейная теория 13.3. Линеариаованная формулировка Для малых ваамущевий первоначально покоящейся нащкости величины ц и 1> малы и уравнения при первом рассмотрении можно лияеариаовать.
Линеариаоваввые условия ва свободной поверхности (13.12) имеют еид (13.21) Ч> = >рт >р> + уц = О >ра + у>рт — — О на у =- О. Уравнение Лапласа и граничное условие ва дне (13.13) уже линей- ны и не аааисят от ц. Таким обрааом, мы имеем линейную аадачу для одной функции >р: р„,ж+ р„+ рж=о, — Ц<р<О, Ра+би„=о, Р=О, р„+а,„р +а,жр =О, р= — й Пыле того как ранение >р найдено, уравнение поверхности, сот.
ласно (13.21), определяется формулой 1 >) (ха лт, т) — — >р> (ла яа, О, 1). а Задачу (13.22) сладует дополнить подходащвми начальными условиями. (13.23) и можно провести дальвейжую линеариаацию, наложив ати условия ка поверхности р = О вместо у = те После атой дальнейжей линеариаацив >) мон>но исключит>ь что дает 13.5.
Зедече Коши 13.4. Линейные волны на воде востоннной глубины Не воде волны распространяются гориеонтельво, тек что елементарные решенвя имеют вид Ч = Асы'*-"", ф = У (у) с'ю*-'"'1 они осциллируют по к, г, но не по у. Функция ф такого вида будет рыпением уревнеяия Леплесв, есчи У" — я»У=О, х=)м)=(х,'+я,')Ы~. Для воды с постоянной глубиной Ь» должно выполняться следую. щсе греивчвое условие: У' (у) = О нри у = — Ь».
Поэтому У с» сй х (Ц + у). В силу (13.23), для амплитуды функции т) имеем А= — У(О) я и соответственно У( ) Н 1 сва(Ь»+И о аь яьр Тогда т)=А»е'"-ж, — А се я уьг+ и) (13.21) сь яь, Оставшееся условие ф»г + уфт — — О при у = О дает дисперсиои- ное соотношение ю* = уя 15»»Ь». (13.25) В $11.1 было унесено, что дифференциальные уреевенвя должны приводить к палиномиельным дисперсиапным ыютнашениям при условии, что еевжимасть от всех веееввсимых переменных сивусандельне. В денном случае получилось трансцендентное уравнение (13.25),поскольку еевнсимость от у ве снвусоидельие. Можно считать, что все волны распространяются е (к, Г)-праотреногве и что еевисимость от у укееывеет ве сеяеь мен'ду волновыми движениями ве рееличных глубивек.
13.5. Задача коши Дисперсиовное состношевве (13.25) имеет дее моды ы = ~И'(и), где И'(и)=) укктйяде. (13.25) Точке х = О ве являеюя точкой ветвления, поскольку ух 15 яܻ— уЬ,ме ври х)»»-ь О. Функция И; выбранная таким айресом, что Гл. 13. Волны на воде И' мфтубэ вблиаи пуля, одноаначна и аналитична на веществен.
ной осн к. Она имеет точки ветеленвя а других нулях и полгжлх спкйэ, т. е. кй — -- -~-ппЦ -~- (л — '/ )нц п = — 1, 2, 3,.... Функция И'(и) является одновначной аналитической функдией переменкой к в комплексной к-плоскости с раэреаами от — со( до — я//(2Ь ) и от и//(2йэ) до со 1. Общее решение получается преобразованием Фурьеисуперповицией алемежарных решений (13.24) для двух мод ю =- -ЕИг (м). Для нахождения пронааольвых функций Г (к), входящих в решение, необходимы два начальных условия. Конечно, функция ф в начальных условных должна удовлетворять уралистого Лапласа, вначе в игру вступят эффекты сжимаемости п быстро преобраауют исходное распрсделеяие в некоторое новое эфФективное исходное распределение. Длл простоты рассмотрим жидкость,первоначально находившуюся в состоянии покоя с ф =- О. Тогда, согласно (13.21), в на (алыптйг момент тп — — О.
К этому мы лобавим ваданвую исходную поверхность ц (х,б) /- йэ(х), Г = О. (13.27) Решение этой аадачн имеет вид ц(х, О= ~ У(к)еы'"-тнчс(к-(- ~ Р(к)с~ '*+от'с/к, (1328) где г" (х) — преобрааованне Фурье функции г/ ты (х). Для одномерной задачи переменные и и х в (13.28) являются скалярамн и Р(к) — ) тв(х)е-г с)х.
(13.29) Общее решение можно восстановить ло частному случаю де (л) = = 6 (х), г (к) = 1/(4я), иавестному в теории волн на воде как аадача Коши — Пуассона. Ке решение можно представить в виде ц(х, Г) = — ~ соа нхсоя,(УУ(к) Г) с(м, (13.30) е как уже было укаэано в [11.19). При величии осевой симметрии отвосигельно вертикали двумерное выражение (13.28) сводится к следующему: ц(г, Г)=2) ~ и/г(м)ючэс асов(И'(м)1)ймпс, э э 13.5. Задача Ксали где г = (х (, к = )м )и 5 — угол между х и м.
Учитывая интегральное представление для функции Бесселп Хз Х~ (кг) = — ) ево'"(Ч>/5,,' > а его решение можно записать в виде', ц((г, С) = 4я ) хр (х)уз (хг) сов (И'(х)1) >(х. о Азылогичвым обрааом, формулу обращения преобразования Фурье можно >ааписать в виде одномерного интеграла ц (г, В/=- —, ~ кУз(кг) соа (И'(к)',т)У(к. з К етнм решениям можно применить асямвтотяческие методы, описанные в гл. БК В частности, согласно (11.24) — (11.25), асимптотическое поведение одномерного решении таково." ,'>) 2>Ке>(Р(й) )/ . „ехр(/йх — >И'(й) С++~), т- м, —,>О, (13.34) (13.33) где й (я,йт)1 — положительный корень уравнения '*1 И" (Уг) =- —, (13.35) а(г (/г) определяется формулой (13.29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
