Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Иптерпретацвя втих выражевий подробно раюмотрена в гл. 11, а свойства грувновой скорости С (й) указаны в формулах (12.4) — (12.б). Поскольку С (й)— убывающая функция от й, ваиболеедливиые волны>щутв головной части возмущения, а ва яими следушт более короткие волны. Групповые ликии постоянного й и фааовые линии иостоявной 8 приведены нз рис. 13.1; тлпичлый волновой пакет изображен на рис. 13.2. Р (к) =,—, ~ гта (г)"уе (кг) >/г.
(13.32) з Ковечяо, ети равенства можно полуппь ташке рааделевием пераменвых е полярных координатах и преобразованием Фурье — Бесселя. Для б-образного начального условия тм (г) = б (г)/(2яг) имеем Гл. 13. Волны на воде В случае навечной глубины существуег конечная максимальная групповая скорость р дйс при ййе О, так чго головная часть Рас. Сад. Грдааоеые леван (сапожные крвдые) а басовые ливии (жтрлхоеые араеые) длд «ыж аа воде. воамущения движется со скоростью дгд)се. Реакий волновой фронт существует только а прибавя<евин (13.34), во не в полном решении. В полном ршаении воамущевие аатухает акспоненциально Р с. 13.2.
Велеоеей лакее еблвен фронта еаыоыеела для волн иа воде. беа оспилшщвй впереди фронта и адесь воамущение относительно мало. Поскольку С (й) = и" (й) — ь ф' дйс и Ны (й) — ь 0 при РЦ -ь -ь О, приближение (13.34) не приемлемо в окрестности переходной области. Исследуем теперь истинное поведеяие решения. дз.6. Поведение рентеньгя вбливи фронта волнового пакета На прямой х = у уйе С правильное асимптотическое поведение можно найти при помощи обобщенного метода стационарной фаны (11.26), поскольку в нашем случае В' (0) ть О.
Вели еначевие Р (0) кенечно и отлично ат нуля, та агат метод дает убывание едпглит уды с -ссв (13.36) 13.6. Поведение решения вблиаи фронта ваамен убывания ц с г ьч вдали от фронта. Поскольку Р(0) '1 1 ц,(я)бл (13.37) ати рассуждения применимы, когда волное исходное воавышевие конечно в отлично от нуля. Однако хотелось бы иметь решение, дающее равномерное приблюкение во всей переходной области. Его мон(но получить, еаметвв, что вся переходная область соответствует малым аначеииям й.
Как вырюкение (13.34) для малых й, так и условие (13.36) для й =- 0 монсио нолучитв, равложив покааатель экспоненты в ввтеграле Фурье окала я = О, а не около стационарной точки, и сохранив члены до третьей степени по я включительно. Согласно (13.26), й'(я) с,м — ухе + ..., (13.38) се=) гййо, У= — ', ~~Убй' (13.39) Таким обрааом, вля головной части движущейся вправо волны мы полагаем ц $ Р (н) ехр ()н (я — осе) + сука)) бн. (13.40) Последний интеграл ааменой переменных а = (Зу))тл'х можно свести к обычному интегралу Эйри ~'(с)= ~'..
~ ехр(1(ю+З "))~= — '1сое(ю+ В")~. е Тогда получим (13.42) Корректно глюке рааложить в ряд Тейлора функцию Р (и) и сохранить только первый член. Еслафинтеграв(() це (х) с(т конечен и выбран равным единице, то атот первый член, Р (0), равен 1/(4я) и решение имеет вцц ц-ц,= — „~ ехр()н(х-с,с)+)ухат)сЬ. (13.41) т 1'л. 13. Волны на воде График функдии Зйри А1 (а) схематячесии ивображен иа рис. 13.2. Она имеет следующее асимптотическое поведение." =г гмехр ( — хата), х-ь+аа, 2 уй ' 3 А! (х) =)с( ' юп (-~(в( + 3-), х-ь — оо. Отсюда видно, что цг експонендиальво убывает впереди волнового фронта я = ссг н становижя осциллирующей ва нвм. На саьюй праной х = сМ вмеем цг Г гге, что согласуется с (13.36). Переходная область расположена вбливи прямой х = ссг и имеетширину, пропорциональную (у/)гге. Вдали от переходной области при (х — се/)/(Зу/) г/с -~- — оа )а!а цг — (4Я) ыа(ЗУГ(с,/ — Я)) 'ма(в( —, '~ * + — ").
(13.43) а (атб!)2 3!о>юю праверитгч что вто согласуется с (13.34) — (13.35). Если г" (н) — Р„к", п — некоторое делое число, при к — ь О, то решение (13.40) можно выраеять черен т)п ваяв соответствующее число проиаводвых па я, если и ° О, нли соответствующее число интегралов по х, если в ~ О. Например, реглевие для ступеньки О, к)0, гв(*) ! 1, *.СО имеет асвыпотику ) ~( ) ~=Я /М() ~, (13.44) е — ар *= (Зтг)г/у' Функция Эйри обладает следующим свойствомг ) А1 (а) с/а 1.
Множитель '/, поивляется в формулах (13.42) н (13.44) потому, что они описывают только волны, движущиеся вправо; учет волн, движущихся влево, обеспечивает вынолневие полного начального условия. Зги асимптотичесиие представления можно вывести проще, наметив, чта дисперсионное соотношение (13.33) соответствует уравнению ц, (- сад» + уц О. (13.45) 13Л.
Волны на поверхности раздела Мы решаем зто уравнение лля «]с (х) = >/з б (л) в (13.42) и для цз (х) = Ч» Н ( — х) в (13.44). Решения принадлежат к семейству автомодельиых решений ц=(37>) > (з), х= ( (13.46) (ат>] После подстановки функцию 7 (а) легко связать с уравнением Эйри (13. 47) А>" (з) = а А] (х] и построить решения. Уравнение (13.45] является линеариаованным уравнением Кортевега — де Фриза, которое будет играть ван>ную роль виже. Можно отметить, что для любого дисперсиолного соотношения с разложением вида (13.38) длинные волны в линейной теории описьцаются уравнением (13.45) в применимы решения (13.42) и (13.44).
Можно указать также на однс ограничение применимости лвнеймой теории. В формчле (13.42) амплитуды первых нескольких гребней убывают как > >з, в то время каь дисперсионные эффекты (пропорциональные квадрату длины волны) убывают как Таким образом, в окончательной стадии нелинейные аффекты постепеняа становятся столь же важными, что и дисперсия. При соответствующих условиях существуют промежуточная область, в которой применима асвмптотическая линейная теория.
Из-за нелинейных аффектов в уравнение (13.45) должен войти дополнительный член,пропорциональный цц При зтам уравнение превращается в полное уравнение Нортевега — де Фриза, в мы увидим впоследствии, что затухание со временем нрекращается и образуе>ся рнд уединенных волн. Неравномерностьприближения линейной теории вблизи фронта волнового пакета аналогична общей ситуации для гиперболических уравнений, рассмотренной в гл. 2. 13.7. Волны на новерхностн равдела мен>ду двумя жмдностямн Рассмотренная выше теория игнорирует изменения давлеш>я над поверхностью воды, связанные с движением воздуха. Здесь мы подтвердим зто предполо>кение иа типичном примере.
Рассул>деаия можно с пользой объединить с рассмотрением других аффектов аа поверхности раздела между двумя >кипкостями, включая слуша сравпимых плотное>ей. Пусть жидкость с плотностью р' расзоложеиа над яощкостыо с плотностью р, и пусть для простоты >бе жидкости имеют быжонечную глубину. Течевня безвихревые Гл. 13. Волны на воде с потенциалами»р' и»р соответственно, и поверхность рендела описывается уравнением у =- тр Давленвя в жидкостях удовлетворяют соотношениям Р' —, = — Р" (( У'+ 1 (Г(У')'+ УУ)~, Р = Р [Ч» + (Ч»»Р) +УУ( ° где ря — общее невоемущенное давление, а условия ва свободной поверхности имеют ввд Р =Р Ч»+Ч»„»Ч„,+Ч»у — ЧЬ=О, при Р=Ч Ч +Ч' Ч*+»Р Ч Ч»»»=О 1 Интересно рассмотреть воемущенвя стационарных течений со ско- ростями В', У в обеих жидкостях.
Рассматривая талька одномер- ные во»шы и линеаривуя граничные условии, полагаем р Цл Х((Ч+ф»р (( 2 ВЧ+Ф и сохраняем только члене» первого порядка по Ф', Ф и тр Гранич- яые условия переходят в следующее: Р'(Ф(+б»Ф'+уЧ)=Р(Ф +((Ф +уЧ), ) ту+О"Ч вЂ” Ф'„=О, при у=о. (13А8) ч,+((ч„— Ф„=О Лоскольку функдии Ф' и Ф удовлетворяют уравнению Лапласа и стремятся к нулю при у + оо, у-»- — оа соответственно, елемеытарные решения имеют ввд Ф' = В'е»<"*- »»>- е, Ф = Вема — »~Н-»т, Ч=Ае»ом-е»Ч Тогда гранвчные условия (13А8) лают дисперсиовное соотношение ~1 — — —, (((-(() (~ .
(13АО) и РС+Р~ Г Х Р вЂ” Р РР~ ъгы н р+р' [ и р+р' [р+р')» Д у ((=-и'=О =( "(~+"'))'". Этот ревультат в пределе при р'(р -и О подтверждает элементарное решение, в котором не учитывается движевве вовдуха, и дает малую поправку. Интересно, однако, что, когда ы имеет мнимую юсть, полу- ченные вырюкенвя свидетельствуют о рааличных случаях неустой- чивости. Можно выделить следующие случаи. !3.8.
Поверхностное натювеяве 1. Ю = П' = О. Этот случай неустойчив, если р') р, как и следовало ожидать. 2. б = О, П~'(>'. Этот случай всегда неустойчив (неустой чивость Гельмгольца). 3. р = р', П чь П'. Этот случай аналогичен случаю 2, поскольку гравитационные аффекты могут военикать только при рааличных плотностях. 4. р ча р', Р Жь б". Решение всегда неустойчиво для достаточно коротких волн, но этот ревультат можно уточвитзч учитывая стабилизирующее влияние поверхностного натяжения для самих коротких волн.
Эффекты поверхностного натяжения легко включить в рассмотрение при помощи соответствующего граничного условия. 13.8. Поверхностное патин>ение Поверхностное натяжение действует подобно растянутой мембране на поверхности воды. Дли малых отклонений р = ц (х„я, 1) от плоской поверхяости вто суммарное действие сводится к нормальной силе Тц„„на единицу площади. Когда этот аффект учи- "3 з тмвается, то условие для давления на поверхности принимает вид р+ГЧ * =р (13.50) н линеариаованиые условия (13.21) выписываются так: цз=йы зрз+бц — з)„ш,=О при р=О. (13.51) т б>ункциональньзе аависимости для ц нзр танис же, как и прежде, но пересмотренные граничные условия на поверхности приводит к дисперсионному соотношению ха=ух>Ьхаы(1+ „~ хы) (13.52) Дисперсионнме соотношения такого вида уяю обсуждались вьпне (см.
гл. 12). Как было укаааюз, групповая скорость достигает минимальном> аначенияприх = й . В точке минимума И'" (й ) = О, понять существует переходная областгч в которой выражение (13.34) иеприменизю. Поведение решения в втой переходной облагяи можно выяснить способом, аналогичным испольаованному в $ 13.6. Рвало>кение И'=И>(йн)+(х — й )И" (й )+ — (х — й )>И'"(й )+... Гл.
13. Волны «а воде подставляется в полученное прн помощи преобравовання Фурье решение, н ревультат выражается черве фуняцню Эйрн. Детали приведены, напрнмер, в ванге Джеффрнса н Джеффрис (Саврас) Н, 1 17.00). 13.9. Волны на поверхности стационарного потока ~е =)(я„х>)еы, с)0. Р Это о>вечает нсточннну, ннтенснвность ноторого прантвчеснв равна нулю прн 1, блнвяом я — о>, а вечем нарастает н в рассматрнваемом нвтервале вреыевн блнава н ) (х„х ).
Талая нон- ((З.ЗЗ) Геометрня равлнчных стацнонарных волновых движений была найдена в гх. 12. Изменения амплитуды вдоль на>адой групповой линии можно определить, основываясь ва общих нонцепцнях групповой сноростн. Однако, кан уяааывалось выюе, походное распределение амплнтуды вдоль равлнчпых грунповых линий мо>вно получнть тольно на более полного решения. Теперь мы научнм полученное прн помощи преобрааовання Фурье решенне для случая однородного потока, попая>ем, яан простое яннематнчесное опнсанне свнанваегся с полнь>м ре>пеняем н апределнм амплнтуды. Мы будем рассматрнвать нсточннн вовмушеннй не яан ваданное походное смещенве, а вав стацнонарное внешнее давленне, прнложенное н поверхвостн потопа, поснольну вто точнее описывает влияние плавающего тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
