Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Еслв опустить все члены с () и продифференцировать второе урав- нение по х, то получатся нелинейные уравнения мелкой воды цг -Р ((1+ ад) пф„= О, и~+пило +0„=-0, ю=(ю Если сохранить члены первой степени по (), но для упрощения опустить члены порядка 0 (ар), то получим Ч~+((1+ад) ) — 1 р +0(а(), ())=О (13301) юв+аилг„+ц„— — ))и„м+0(а(),(Р)=О, ю=(. Это вариант уравнений Буссинеска. Величина ю является первым членом рааложевия скорости ф„, имеющего вип 1 2 ф„= ю — б — и,„+ 0 0)х). г Усреднение по глубине дает Рпд для функции р теперь является равложением по степеням (), но ва уравнеяия Ланласа и условия кг = 0 при У = 0 снова сле- дует, что Гл.
13. Волны на воде или, что то же самое, = и+ ~ р + О ( (), й~. Подставив атн выражения в уравнения (13.101), получам ту + ((1 -)- ац) и)„-1- О (аб, бэ) = О, й, + айй„+ т~„— ()й э -1- О (сф, йэ) = О. ю=ц Чэ+Ч*=О. Будем искать решение, подправленное членами первого порядка по а и 3, в виде ю = — О + аА + ОВ + 0 (а' + 9~), где А и  — функции от ц и ее производных по х. Тогда уравнения (13.101) принимают вид цг+ц,-~-а(А„+2тр~)+3 („— — цг )+0(аэ+йэ) =О, тн+ц„ф (А,+цтй)+0(В,— 21 ц )+0(аз+из)=0. поскольку т1, = — ц„+ 0 (а, ()), все производные по г в членах нервого зарядка монэно ааменить производными по х с противо- положным знаком.
Тогда этк два уравнения совместны, если 1 э т А=- — дэ, В= — ц „. 4 ' 3 Отсюда инеем и'= ц — 4 ац'+ З йц + 0(~'+Я 4 та+0.+ — ацц.+-ейц. +О(а+(Р)=О. э (13Л02) Второе уравнение является нормированной формой уравнения Кортевега — де Фриза (13.99). Первое аналогично инварианту Римана. Паковец, подставив справедливое в пишпек порядке. выражение и„= — ти -~- О (а, р) из первого уравнения в член с и„„п придем к ураввеюши Вуссияеска (13.92] в нормированной форме.
Уравненве Кортевега — де Фриза выводится ив любой из этих систем рассьютрением тслько волн, движущихся вправо. В низшюг приближении (беа учета членов первого порядка по а и б) такое решение системы (13Л01) дает 13Л2. Уединенные н кнондальные волны 13.12. Уединенные и нноидальные волны Уравнение Кортевега — де Фриаа было выведено в 1895 г. Еще до зтога Стоке [11 в 1847 г, нашел приближенные выражеяия для нелинейных периодических волн в случае беоконечно глубокой воды или воды умеренной глубины, а Вуссинеск [11 в 1871 г.
и Репей [2] в 1876 г.нашли приближенные выражения для уединенной волны, т. е. волны, состоящей иа одиночного возвышения и распространяющейся без изменения формы и скорости. Такую вовну впервые наблгодал зкспернментально Скотт Рассел [11 в 1844 г. Уединенную волну проще всего получить как частное решение уравнения, найденного Картевегом и де Фризом; ати же авторы докааали возмогкность существования периодических решений. Хотя приближение Стокса не применимо, когда [) сравнимо с а, решения Стокса переходят в решения Кортевега и де Фрнаа при сг (([1.
Мы рассмотрим сначала решения уравнения Кортевега и де Фриза, поскольку онн проще (хотя н были найдены гораздо позже). Как уединенные, так н периодические волны (все они описываются уравнением (13.99)) были найдены как решения с постоянной формой, движущиеся с постоянной скоростью.
Поэтому их ыожно представить в виде г) р- йсь (Х), Х = х — Пс. Тогда, согласно (13.99), имеем Ь'г + з((' (л 1)( 0 Интегрируя, получаем После умножения па Ь' еще одно интегрирование дает -'Ь;,"'+ (з — 2 ( ~ — 1) Р+ 406+К = 0, (13И03) где С и Н вЂ” постоянные интегрирования.
В частном случае, когда ф и ее проиаводные стремятся к нулю нз со, мьг имеем С = П =- О. Тогда последнее уравнение можно за~исать так: (13. 104) и а — =!+ —. го Гл. 13. Волны на воде Качественно ясно, что 4 воарастает ст ь =- О прп Х =- оо, достигает некоторого максимума ь = а и затни симметричным образом возвращается к значению 4 = 0 при Х = — ос (сы. рис, 13.4).
Рнс. 13.4. Уедааенвэя эслва. Это уединенная волна. Максимум функцки 1) равея цэ = Аэп, так что а играет ту же роль, что и в предыдущем параграфе. Скорость уединенной волны вависит от амплитудап Н= ар (1+ — — ) ° (13.105» Точное решение уравнения (13.104) имеет вид й'((ф)"'Х '(;1 ч тлэшьа((зле)ыз( (н)) (13.106) отсюда„ (13.107) Ото решение уравнения Кортеэега — де Фризе пригодяо для любых ц,йе; однако сама ето уравнение выведено э предположении цс)де (( 1 н фактически оказалось,что для уединенных волн отношение це)йс ограничено сверху", вкспериментальное максимальное эначенце ц,)йэяе 0,7, а теоретическое да%еж 0,73. Рщльный вредельный профиль волны имеет' иа гребне утловую точку.
В общем случае С, Н ть О, Гэ=-й(4), где 6 (ь) — кубический полипом с простыми нулями. Для отраниченпых решений нули должны быть вещественными, и ограниченные решеная должны периодически осциллировать между двумя нулями полинома 6. Не теряя общности, положим эти два нуля равными 4 = 0 (что фиксирует Ьэ) и ь =- а (что равно удвоеннрй амплитуде). Тогда третий нуль должен быть отрицательным; если полаивать его равным а — (), то окажется, по р = Ьэ/)э, где 1 — характерная горвэоисаэьная длина, а параметры и и () 13.12. Уединенные к кяоидельвьге волны играют те же роли, что и в предыдущем параграфе. При таком выборе уравкевие для ь (Х) приввмает следующиа ввд: ~ й-;(говд() =ф( — ф)(( — +()) 0<и<3 (13.108) (13.100) гг 2а — б — =10 —. ев 2 Длина волвы сасмшляет Ж (13.ИО) "г 2 е г' ((а — ()(ь — а-гб) =() = (1+ га,„б ) я (13.И1) 2л л =- —.
я ' Согласно (13.ИО), 3 является фувкппей от Д п сс. Паетовгу и дяс персионное соотношение (13.1И) принимает вид го = ю (л, и). (13. И2) Здесь мы впервые сталкиваемся с самым важным свойствам нелинейвых диспергирующих волн: в диелерсионное еоотношелие, евлтылюигее частоту и и волновое число к, влодит амплитуда. Длл вали с бесконечио малой амплитудой (и-ь О) соотиоше' яил (13.108) и (13.109) сводятся к следующим: —,'д;( щ)'=б( — 3))), — 1 — —,.
и 3 ее 2 Решением является 2+2 (~ ~ )' ы д — =1 — —.„ се В атой иеликейиой задаче (à — фааовая скороглгч поскольку любая точка профиля движется с атой скоростью. Решение можно еаписать в виде ь ()() =- 1 (0) = ) ( — мг)* где 1 имеет период 2л по О. Тогда Гл. 13. Волны на воде 452 Введеы н =) г3()гтбч; тогда ь = — + — соз (кл — оя), 2 2 1 ю = кбг=- г,п (1 — изй'), Е з) что согласуется с линейной теорией (см.
(13.94) и (13.95)). В мпам пределе аыплитуда выпадает иа дисптрсианпоаа соотношения. В другом пределе п — () длина волны Л, даваемая равеяством (13.ИО), стремится к бесконечности, и мы имеем уединенную волну. Ретпитпе уравнения (13.103) можно выразить черев аллиптиче- ские функции Якоби.
При этом получаем (13.113) (=исаа(( — „, ) Х), (13Л14) Причелг модуль т аллиптнческой функции равен (13Л15) и длв длины волны имеем формулу Л = = К (т), зье Ф'чч (13.116) где К(т) — полный зллиптнческий ввтеграл первого рода. Каза того, что в (13.114) входит сп, Кортевег и де Фриз назвали зтп решения иноидальпыми юлками. Из (13Л14) следует, что 6 характеризует отношение Ь,"Вз. Ясно также, что модуль т дает сравнительную оцеяку аффектов нелинейности и дисперсии. В линейном пределе т О, сп 4 — ь соз $; з другом пределе т — 1, мответстаующем уединенной волне, сп $ -ь аесй $. Опять следует отметить, что кноидальные волны являются решением уравяеяня Кортевега — де Фриза дл» всех а и (), ограниченных только условием 0 ( и ( 3, но сами уравнения справедливы лишь тогда, когда и и () малы. Подобно уединенным волнам, кноидальные залпы ограничены по высоте и в пределе имеют острые гребни.
Теоретический анализ не дает здесь полной картины. Чтобы дополнить сведения о уединенных волнах, заметим, что, согласно численным расчетам, периодичжкие волны на глубокой воде обраауап острые гребни при о)Л == 0,142 (Мичелл (1)). Строго говоря, вто вне области применимоаги теории Кортевега — де Фриза, но, возможно, она дает примерный порядок величин. Считая а ж г)» ий», Л ж (2пйе)/(33)г1з (формулы линейной теории), мы должны ивтерыретнровать это как сс(Р1'ав 1.
Критическое 13.13. Волны Стокса значение для уедвненных волн сг ш Е лк 0,7 — 0,8 согласуется с этой грубой оценкой. В конце 4 13.6 бшла указано, что решения линеариэованяой теории (п(6 (( 1) перестагот быть справедливыми вблиаи фронта волнового пакета, так как аффективное значение отношения пГ() возрастает вместе с спрн г -л-са. Поскольку приведенные выше периодические решения переходят в уединенные волны, когда и(!) стремится к 1, люжно ожидать, чта в результате появится серия уединенных воли. Зту н другие задачи теперь можно изучать аналитически благодаря замечательным исследованиям Крускала, Грина, Гарднера, Миуры и их ютрудннков.
Они разработали метод нахождения общего решения уравненнл Кортезега — де Фриза, и вто решение описывает основные черты распада проиэвольного конечного исходною распределения па сериал уединенньж волн. Можно также привести явное решение для столкновения двух или более уединенных волн. Эта работа связана с аналщнчными резулг татами для других уравнений н другими физичесшлми приложенивмн, и поатаму ее изложение перенесено з гл. 17.
Продолл<им теперь рассмотрение пеаиодических волн. 13.13. Воггггы Стокса Исследования Стокса волн на воде (первая публикация П! в 1847 г.) положилв начало нелинейной теории диспергирующих волн. Именно в атой работе, намного онередив другие исследования в данной области, он получил следующие фундаментальные реэуль. таты: ао-первых, в геликейных системах могут существовать периодические волновые пакеты и, во-вторых, днсперсионное соотношение содержит амплитуду. Зависимость от амплитуды приводит к запалам качественным изменениям в поведении решения и вводит новые явяепия, а не только численные поправки. Проще всего изложить подход Стокса на примере уравнении Кортезега — де Фриза и затем сформулировать более общие реаупьтаты беэ детальиога исследования полных уравнений для случая пронзвольнав глубины.
Цель Стокса состояла в нахонлдении следугащего приближения к линейному волновому пакету. Пля уравнения Кортевега — де Фриаа это соответствует разложению по степеням сл при сг (( (). Такое разложение ллолг<на получить иэ точного решения (13.114), но проще и паучительяее обратиться непа- средственно к исходному уравнению.
Будем искать решение уравнения (13.99) в виде ряда " =(=<,(Е)+э*(,(Е)+е фл(Е)+..., (13,117) е= — г, Гл. 13. Волны ва воде тде е — малый параметр, равный а>Ь» (пропорциональный а). Прн етом мы получим целочку уравненнй: (в — с,к) (; — уя«ь"," = О, (в с«к) К ук~( с«кбД (а> — с,к) (; — ун>(," = —, с«к (~Д«)', > ° 8 и т. д. Первое уравнение имеет решение (, =- .яб, . = .,(я), тде в«(х) — линейная днсперсионяая функция «««(к) = с«(я) — ухз. Подставив зти значения з правую часть второго уравнения для ь„ получим вырюкеане, проварциаиальное зш 20, и можно найти решение ь«о> соз 20.
Тогда в третьем уравнении правая часть будет линейной комбинацией я(п 0 и з(в 38. Член с з>п 38 можно согласовать с решением ьз «с соз 30, но член с з!и 0 резонирует с оператором в левой части, поскольку подстановка ьз соя 0 обращает лезу>о часть в нуль. Имеется решение ья 0 юп О, во втат «вековой член» неатравичен по 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
