Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 84
Текст из файла (страница 84)
(Индекс нуль добавлен теперь для того, чтобы отмечать линейные значения.) Решающее качественное влияние неливейвости состоит в аааислмости в от а, что свявывает уравнение (14.14) с уравнением (14.15). Для сравнительно небольших амплитуд можно, следуя Стовсу, представить в в виде рида (14ЛО) в = соо (й)+во (й) ао+ и тогда уравнение (14.14) примет вид ос +(во(й)+во(й)а~) о +во(й) о —— О. (14.17) — „+ й'(й) гх+ Ъ(й) —,„=О. сй, эй со Эоо , д о , о Эй а, +в,'(й) о + а(й)а* а -— -О. (14.18) (14ЛО) Согласно стандартной процедуре, онисакной в ьш 5, характеристическая форма этой системы сводится к уравнениям 1 (в")( "4(й) Гйдй~г =О (14.20) Наиболее сущоствесшым *гвеном является в, (й) даосдх, поскольку оп содержит нроиэводную от а и приводит к поправке О (а) к характеристическим скоростям.
Другой новый член в~его лишь подправляет ноэффициепт сусцествовавшегсо ранее члена с дйддх и, счедоватачьно, дает вклад только па уревне О (ао). Аналогичным обраэоы для малых амплитуд нелинейные добавки в (14.15) имеют порядом а' и приводят к поправкам норядка а' к коэффициентам существовавших ранее членов с даосах и дй/дх. Следовательно, в первом приближении нелинелнме эффекты можно учесть очень просто, ивгольэуя только ковос дискерсионное соотношение и уравнения 14.2. Начаяьньге сведения о модуляции 471 вдоль характеристик щ ='Ъ(й)~( (й)ю."(4))'" .
(14.21) Можно проверить, что дополнительные члены порндка аэ, добавленные в (14ЛЭ) — (14.19), приводят в (14.Ю) — (14.21) только к членам порядка а*. Эт» простая формулировка уже приводят к некоторым замечательным результатам. В случае ю,ю", ) О характеристики вещественны и сиглема гиперболическая. Нелинейные поправки расщепляют двойную характеристическую скорость, и мы иыеем дзе скорости, определяемые формулой (14.21).
В общем случае исходное возмущение или модуяирующвв источник ивесут возмущения в оба семейшва характеристик. Если исходное возмущение сосредоточено в конечной области, например имеет вид горба на однородном в остзяьном панете, то оно со временем распадется на два. Это совершенно пе похоже на линейное поведение, где ганой горб может искажаться вследствие зависимости С,(й) от й, но пе распадается. Второе сведствие нелинейности в гиперболическоы случае состоит в том, что модуляции типа «сжатия» будут искажаться и становиться круче характерным гиперболическим обрааом, изученным в части 1.
Здесь возникает вопрос о мгюгоаначных ршкениях я опрокидывании. Когда ы,ю, "( О, характеристики мнимы и система эллиптическая. В контексте волнового распространения зто приводит к некорректна поглавлетшым задачам. Кроме всего прочего, ато означает, что лгалые воамущеяия будут со временем расти и в этом смысле периодический волновой пакет неустойчив. Эллшгтический скучай не является чем-либо необычным, и теория модуляций дает интересный подход к некоторым аспектам теории устойчивости. Можно отметить, что для волн Стокса на глубокой воде дисперсионное соотношение (13.124) дает етг (й) = бм'йы', ю, (й) = Цэуп'й'", (14.22) так что мы имеем неустойчивый случай г. ю",аз ( О.
Удивительно, что ага неустойчивость ие была обнаружена в процессе длитезьной дискуссии о существовании периодических решений. В случае уравнения Клейна — Гордона разложение (14.12) дает ыэ(й) =(йэ+ 1)п', м,(й) = з(эп(йэ+1) '". (14.23) Знак выражения ю",ю, совпадает со вязком коаффициегыа и; уравнения модуяяций являются гиперболическими при и ) О и аячиптическвми при и ( О. Для ночти линейных жжн уравнение 8(п-Гордона имеет и ( О, так что во всех задачах, описываемых атим урезке)гнем, почти линейные яояновыв пакеты неустойчивы. Гл.
14. Нелипейеая дисперсия 472 Мьг вернемся ко всем этим вопросам после того,как уравнения модуляций будут подробно научены и обобщены па полностью велииейпый св~ шй. 14.3. Вкриндиоииый подход к теории модуляции Полные уравнения модуляций получаются в особенно простом и выраэительном виде, если нспольвовать вариациошпай подход, описание которого было начато в гл, 11. Сначала рассмотрим применение этого подхода к нелинейным вадачам на тнпи шам примере уравне1шя Клейна — Гордона. После этого станш попым, как действовать в общем случае, и мы сможем обосновать наш метод, В случае ураввения Клейна — Гордона периодический волновой пакет описывается формулами (14А) — (14.5) и содержит параметры ю, й и А.
Нужно найти уравнения, которым удовлетворяют эти параметры для медленно меняющихся волновых пакетов. Уравнение (14.1) является уравнением Эйлера лля вариационного прин- ципа 5 ~ ( ( Г р,' — 1 р„' — у (р) ) А Аг=-о; (14.24) это легко проверить с помощью (11.74). Элементарное регпепие, соответствующее решению н = псов (8 + Ч), испальвуемому в ли- нейных эадачах, имеет вид |р = Ч'(5). (К (14.5) можно добавить сдвиг фавы Ч, но е уравнениях модуляций он сокращается.) Теперь нужна вычислить лаграгпкиан и его средаее аначенне для и = = Ч' (В), считая при атом м, й и А постоянными. Имеем Х = (э (гэ* — йэ) Ч'е — У(Ч~), и среднее екачение по одному периоду по О равно Х=, )1 ( — (ыэ — йэ) Ч~а — 1 (Ч~) ~ Ае (14.25) е В приштине функция гу полностью иввжтяа ив вырви<ения (14.5).
Однако лучше не лольвоваться иитегральным выражением, а обра- титься непосредственно к уравнению (14.4) и вырааить Ь череа м, й и А. Выделим последовательные шаги: Ь = — ( (ыэ — йэ) Чг445 — А = тя д а эя = — (ыэ — йэ) )( туе гРУ вЂ” А = 1 тп О = — (2(ыэ — йэ))' ф(А — У (Чг)) Агу — А, (14.26) 14.4. Обоснование вариационпото подхода 473 Последний интеграл по замкнутому контуру предстанляет собой вполне определенную функцию от А, в которую Ч' входит люль как переменная интегрирования.
Обозначение Х (ю, й, А) мы сохраняем для этой окончательной формы усредненного латранжиана Е. Когда <з, й, А являются медленно меняюпржнся функциями от х в С, мы, как и ранее, постулируем усредненный еариационный принцип б ~ ~ Х(., й, А)А*Аз=0. (14.27) В качестве независимых фувиций следует рассматривать 0 (х, 1) и А (я„ с), причем ы =. — 0о й = 0 . Вариациопные уравнения имеют вид 6А., .2 =0, (14.28) (14.29) После того как вариации найдены,мы опять возвращаемся и переменным ю, й и А и добавллем уравнение совместности (14.30) 14.4. Обоснование иарнацнонного подхода Для иппих целей достаточно подробно рассмотреть случай одно- мерных волн, описываемых вариациоиным првнцином б ~~В(е„е„,,)б,бт=о.
(14.31) получаемое исключением фазыа. Урапнепив и их вывод иа (14.27), коне пю, такие же, как и з линейном случае с неаначительным намепением, связанным с переходом от амплитудной переменной а к А. Единственвий новый алемент в велиаейной теории— вычисление усрелневното лагратж;иана Х (и, й, А). Уравнение (14.28) приводит к функциопалыюй аависвмости между ы, й и А,которая не мотает быть ничем иным, кроме дисперсионвото сооткожения. Для уравнения Клеупта — Гордона с б, заданным формулой (14.26), мы убеждаемся, что ово действительно приводит к правильному реэулщату (14.7). Синема (14.28)— (14.30) является точной нелинейной формой уравнений л~одуляций (14.18) — (14.19).
Прежде чем обсудить свойства этих ураанепий и их рааличпые обобщения, обратимся теперь к обоснованию вариационпото подхода. Гл. 14. Нелинейная дисперсия 474 Случаи бочыпего числа намерений, бочьшего числа вависимых переменвых и неоднородной среды рассматриваются аналогично. Уравнение Эйлера дпя (14.31) имеет вид — Тч -,' — А, — Тч = О, д, а (1 да 32) где ЕГ оэначюот нроиаводные аь дь вб — 1 э -= ° йз =- др~ ' дт ' дт (14.33) (14.34) (14.35) Ф = Ф (О, Х, Т; е), О=а%(Х, Т), Х=сл, Т=ес.
Определил т (Х, Т) = — ы (Х. Т).= От й (Х Т) = Ох (14 38) как отрицательную частоту и волновое число. (В атом общем случае мы предпочитаем ч = — Ф длн сохранения симметрии между л и 1.) В салу дриведенкых вылив формул, др дФ дФ др (дФ дп — =т — +е —, — =)с — +е —, дг дб дт ') да да ~дл ' так что члены, свяаанные с асцяаляциями и медленными модуля- циями, фигурируют по отдельности. Уравнение (14.32) — это уравнение в частньп проиаводных второго порядка Ш~я функции р (х, Г), и мы преппалагаем, что опо имеет решения виде периодических волновых напетое соответствующего типа. В аадачах о медленных модуляциях параметр е вводит~я при помощи начальных или граничных условий (как это было в раахнчпых случаях, рассмотренных а И.О); е хараятериэует отношение типичной длины волны или периода к типичной длине или интервалу нремени для модуляций.
Предполагается, что е мяло, но мы побудем ограничивать амплитуду и потребуем только, чтобм она менялась медленно. Сначача следует точно описать модулировагшый волновой пакет. Если х и Г иамеряются в едияицах типичных длины волны и периода, то медленно менятащиеся величины будут фунпциями от ел и ш; параметры модуляций, такие, кек й и ~а, будут функциями такого типа. Одьгако сама функция ю, кроме того, быстро осциллирует. Чтобы учесть все эти требования, р рассматривается как функция от трех переменных: фаны О, ах н сг. При этом О ааписывается в виде а ЦО (ел, ебд что обеспечивает сравнительно быстрые осцилляции и надлежащую еавнсимость й =- О, и ы = — О, от ах и ед 'Гаким обрааам, полагаем 14.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
