Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Станс указал, что звано найти периодическое решение, представив о> тешив в ваде степенно>о ряда в =- в, (к) + ев> (к) + язв, (к] +.... Поскольку неприятности возникают только в третьем порядке, знвкна ааранее полежать в, = О. Цепочка теперь принимает вид (⫠— с«я) > ук~>> = О з (в — с к) (.; — укз(," = — с«к~>(,' 8 Если опять >юла>кита = соз 8, в« =- с х — уяз, то вайдеы 8«= — 'соз28.
«« зулз Правую часть уравнения для ь«можно записать твк> ю« — (юп О+ 3'жл 30) .(- о>«зЫ О. 88>я Выберем теперь 13.13. Волны Стокса и тем самым исключим резонансный член. Окончательный результат имеет вид ч, „8+,~,'„'„в26+' — ',"'„„38+.", (13И13) (13.И9) ох Второе уравнение показываех характер зависимосхи дисперсионного соотношенил от амплитуды.
Следует отметить, что парамехром равложення фактически являетсп з!(нзйь), а зто соответствует отношению и/3. Сравнивал результаты с разложением решения (13.И4) для малых т = а)о, следует учесть различные способы выбора начала отсчета длл ц и, следовательно, различные способы выбора Ьо. Использование различных систем отсчета неизбежно; длл предельного случая уединенной волны удобно поместить начало отсчета у подошвы волны, тогда как для линейного предела началом отсчета удобно считать средний уровень.
Следует таял<с отметитгь что выражение (13.И3) можно рассматривать как ряд Фурье длн периодического волнового пакета и вту общую структуру монгио считать заданной с самого начала. Слушй произвольной влубинм В общем случае цель состоит анака>аделин разложений по малой амплитуде перноднческлх решений сжтемы ф +ф„„=о, — Ц<у<ц, р„=-О, р= — йм ц +ф„Ъ-фо=о, ф+в(,ф'„+',ф),+66=О 1 "=". В яашем случае г) = ц (8), ф = ф (6, у), 6 = кл — юд где ц н ф— нернодические по 8 функции. Можно выбрать начало отсчета у .= О так, жобы ц имела нулевое среднее аначение, и тогда разложение дзя ц будет иметь вид (13.120) ц = — асозо+ р, 'сов26+ где р, — «овффнциент, который следует найти.
Согласно выбору среднего значения ц = О, из второго условия на поверхности у =- ц следует, что среднее значение ф, не может быть нулевым и функция ф в своем разлольенни должна иметь по крайней мере член с Г. Зто также можно интерпретировать как следствие поглощения постоянной интегрирования при первом выводе выражения для (Р Ро)ьр.
Гл. 13. Валлы па воде Другая возможность — сохравить ненулевое среднее зпачекие величипы ть Поскольку в физических вюгичипах фигурируют только производные от ф, члены, пропорцполальпые Г пли х, приемлемы для и. Член, пропорциональный т, указывает иа ненулевое среднее зкачегзие гориаоитальпой скорости. Здесь зто среднее магкко полои<ить равлылз пулю. В дальнейшем при пзучекии модулированных волновых пакетов наы понадобятся как ц ~= О, так и р„~ О, поскольку оии измепяюжя при иодуляшзях и их нельзя исключить. Обобщения очевидны, так что здесь мы положим ц — О, ц„=- О. Тогда разложение лля и можно записать в виде ю .— чааг! -! ча с!г к (у + Ье] з!л О + Л т,а'сЬ 2к (у -! Йа) з!и 20 -, '....
(13Л21) Чтобы снова избежать появления в третьем порядке вековых членов, ю следует также раалогкптг, в ряд го = юа (к) -! азю, (н) +.... (13Л22) Когда все шо выполнено, оказывается, что ез 1+(вщ жи — !ось'лье+в ]кзот ! (13123) гнгйхао ( Зщгвае р .— с!й й,(1+ — ) ал з З е тз =— ззьзкз„' кзькае' и «ьгььз' т~= —, тз=- —, Дисперсиоппое соотношение (13.123) является осиовиым резуль- татом. При из~а ((1 воввращаемся к (13.ИЗ), а ври кзй')) 1 получаем принадлежащую Стоксу формулу для глубокой воды гоз = ун (1+к'а' й ...). (13.124) Детали пыкладок в случае праиавольиой глубины становятся довольно громоздкими.Их можно отчасти сократить подстановкой равложеиий в виде рядов Фурье в варпациоппый принцип (1ЗЛО)— (1ЗЛ7] и иахождсиием ковффициеитов из вариациопиых уравнений (см.
Уизем (11!). Выражения, полученные Стоксом, ограничены малой амплиту- дой и ие могут опвсывать самые высокие волковые пакеты, у кото- рых, как показывают наблюдения, гребни становятся острыми. Однако Стоке, рассматривал втот случай в точной лостаповке, показал, что если острые гребли имеются у волны со стационарным лро4илмы, то угол при вершине должен быть равным 1хо . Его рассуждения существеяио опираются па предположение, что волка имеет постоянную форму и распространяется с постоягшой 457 13.182 Волны Стокса скоростью.
В атой ситуации течение стационарно в системе отсчета,. движущейся вместе с гребнем. Решения уравнения 3)епласа нвляютсн аналитическиьш функциями от х = х -'г )у, и достаточно общая сингулярная функция (при выборе вершины гребля в качестве качала отсчета) имеет вид В локальных полярных координатах (г, аО, где ы отсчитывается от направленной вина вертикали, р= — гсоаю, а= — )ге-'с, л=гюию, имеем е Сг в1и лко.
Записав ураввение свободной поверхности в виде ц = — г соа а,. яа условия ялн давления и" + з Е, + Зч) =- салаг ю получаем, что Сгшгг~"' з — бг соа юа = сонат. Сравнивая покааатсли степени г, получаем 8 Ш .= —. 2' Вторым граничным условием, определяющим свободную поверхность, является равенство д7)дю = 0 при о~ =- юа, откуда я 1г сонлив,=О, ы,= — = —. Ет 8 Полный угол 2гор равен 120". Мичелл И] численно нашел периодическую волну наибольшей высоты цля воды с бесконечной глубиной и обнаружил, что предельная высота достигаежя нри а/Л = 0,142, как уже бььго отмечена выше.
Указанный вьшод величины угла нрн вершине гребня несправедлив для нестационарвых задач. Для стоячих волн теоретические. сообрагкении, предложенные Пенни и Прайсом )1) и менее убедительиыс чем в случае, рассмотренном Стоксом, предсказывают. угол, равный 00', зта величина зксперимегпально подтверждена Тейлором [5).
Гл. 13. Волны на воде 13.14. Опрокидывание и нкоотрение волн Ранее отмечалось, что нелинейные уравнения мелкой воды, пренебрегающие дисперсией, приводят к опрокидыванию типично пшерболического характера с образованием вертикального наклона и многозначного профиля. Кая»ется ясным, что член с третьей прая»вод»юй в уравнении Кортевега — де Фрива помешает воаникновенвю этого явленвя. Но так или иначе приближение д»пшных волн, для которого были выведены оба зги уравнения, в рассматриваемой ситуации несправедливо. Верное уравнение описывает опрокидывающиеся волны, и хотелось бы учесть в этом уразлении эффекты дисперш»и. Однако добавка, соответствующая уравнению Кортевега — де Фриза, нвляется слишком сильной для коротких волн.
Это ясно из сравнении выражения (13.94) с полным цисперсионным соотношением, когда (яй»)» становится большим. С другой стороны, дисперсия, включеннал в уравнение Корте- вега — де Фриаа, приводит к появлению уединенных л периодических вали, отсутствуювзнх в теории мелкой воды. Для етнх решений, однако, уравнение Картееега — де Фриза не может описывать наблюдаемое сш»метричное»ааострение» гребней с образованием конечного угла на гребне. Опять можно утверн»дат»а что зто мелкомасштабное яюгеяие, в котором важную роль играют коротковолновые компоненты, и предположение (ий»)» (( 1 более иесправедлшю. Несомненно, ато комбивпруется с дополнительными нелинейными зфффектами.
Волны Стокса включают полные дисперсионные аффекты ы» = = би Сйкйм на, будучи ограничены малой амплитудой, не дают пи уединенных воля, ни ааострения. Хотя как оирокидыванпе, так и заострение, а также крихерий возникновения обоих явлен»ш вне всякоп» сомнения содержатся в уравнениях точной потенциальной теории, хотелось бы иметь более прашое математическое уравнение, включающее все ати явлення. В светс предыдущих замечаний,по-видимому, необходимо включить по крайней мере »опрокицывающий оператор» теории мелкой воды и колкое дисперсионное соотношение линейной теории. Далее, как было указано при выводе уравнения (13.99), з теории мелкой воды опрокидывание описывается уравнением »)» + г,ц„+ — ' цц„= 9.
х»» зч (13.123) С другой стороны, линейное уравнение, соответствующее произнольному линейному днсперсионному соотношению — =с(к), н 439 13.14. Опрокидывание и ваострение воли оогласно (11Л2), имеет вид ц,+ ~ К(* — 3) гд(З, г) В=о, (1ЗЛ26) тде (13Л29) (1злз1) однако выигрыш, по-видимому, не оправдывает доколиитеггьного усложнения. Стандартными методами легко покаватгь что функция Кг с у = 1 и Ье = 1 обладает следующими свойствами: Кс (х) = К, ( — х), К„(х) — (2пх)"'Ш при х-об„ г т г-1Ы Ке (х) ( — пах) е-""~т пРи х -г оо, ) Ке (х) Их = 1.
К(х) = — ' ~ с(к)еы*бк. (13.127) Этк дна уравнояия молвю обьедняить в следующее: ч+Ьъ+ 1 к1( — Рц а г)33=0 ((зл28) Для уравнения Кортевега — де Фриза с (к) с,-ук', К (х) = себ (х) + 76'(х).,' 1'ассмогрнм теперь уточненный вариант с (к) = ( — Вг ядр) кг(х) = г ~ ( к 1ьк)мг) еш" нк.
(13.130) Здесь полная линейная дисперсия комбинируется с длинноволновой нелвнейностью. В терминал параметров а и () на $1З.И дело обстокг так: мы сохраняем члены всех порядков по 9 и нелинейный член, пропорциональный а, пренебрегая всеми высшими степенямн и и всеми смешанными шгенами. Фактически мы могли бы сохранить члены всех порядков по а, ваяв нелинейный оператор иа (13.97) и нспольвовав комбинированное уравкение грЛ-(39'У(Ц+ц)-2)'уЯ)ц + ~ К(х — Цгй(Ц, С)44=0; 460 Гл.
13. Волны иа воде Дисяерсиоилый член теперь стал умереннее, поскольку К» (х) ие содержит б-фувкпий. Очевидно, поведение фуикдив с (к) при болыппх к определяет поведение функции К (х) при малых х; изменение поведения при больших волковых числах аамевяет б" (в) иа х гга при х О. Анализ полученного нелинейного интегрального уравнения довольно труден, я уравнение с К == К» еще полностью ке изучено. Но вопрос был поставлен в более общей формулировке: ыатематические уравнения какого вида могут описывать волны, как заостряющиеся, так в опрокидывающиеся? Можпо показать, что уравнение ((ЗЛ28) описывает такие волны для некоторых довольво простых фупкций К (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
