Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Это позволяет рассчитывать па положительный ответ для К =- К». Решепвя со стационарными профилями уравнения (13.128) получаются, как обычно, рассмотрением решевий вида ц = В (Х), Х = х — (?г. В нормированных переыеявых, соответствующих выбору д = Й = 1, имеем (у=4 — (?Г) ((? — ' — ц)ц'(Х) — ~ К(Х вЂ” у)ц'(у)г)у. (1ЗЛ32) Возможность ааостренвя свяаана с вовиикновеиием раарыва производной г)' прв ц = 2Г?/3 и зто, по существу, дает соотношение между скоростью и амплитудой для волны наибольшей высоты.
Интегрируя уравнение, получаем 1+ПО ад =- ) К(Х вЂ” у)ц(р)гй (13ЛЗЗ) Волны Стокса для случая малой амплитуды можко найти, исходя из ликейвого решения, и кажется разумвым предпологкпть, что критическая высота действительно достигается при») = 2(?13. Если К (Х) ведет себя как (Х (" при Х О, а ц (Х) имеет яри Х О зил 2(ПЗ вЂ” )Х (г, то исследование урзвпекия (13.132) показывает, что (13.134) 2д — 1 = р -~- д, откуда д = р + 1.
В соответствии с атим прл К = К» гребень будет ааостряться с г) 9, П вЂ” ~ Х ~ггз. Конечно, было бьг наивно падеяться, что в этой упрощенной модели получится тонкий результат Стокса — угол, равиый 1Ю'. Хотя ато все, что можно получить для случая К = — К», мовзяо продвинуться дальше, если рассмотреть приблшвеиное ядро- Прием, часто используемый в интегральных уравяевкях такого вяда, состоит в аппроксиыации данного ядра функпией Ке(я)=ре- ~ж, 13Л4. Опрокидывание и ваострение вовы или рядом таках экспонент. Ядро К» (х) является функцией Грина для оператора Л'/Ихз — т», поэтому, применяя этот оператор к обеим частям равенства (1ЗЛЗЗ), можно исключить интеграл. Мы не можем уловить поведение функции Кз(х) при х О, но, положив т =- я)2, достаточно хорошо ошппем поведение при и — ь о», а затем выберем р ~аким образом, чтобы 1 К»(з)А = — '" =1, т.
е. О==я»4», т=я)2. Поскольку шк»(*) ~г т К»(х) т 3(х)' уравнение (13.133) переходит в следующее: ( — тз) (А+ Из~ — »!» ц») = — тзц. После элемевтарното интегрирования получаем ( » (( — — ц ( т~м= — полипом четвертого порядка по тв 2 Периодические решения соответствуют осцилляциям функции ц между двумя простыми нулями получнвшетося полинома.
Уединенные волны соответствуют предельному случаю, когда два нуля сливаются в точке ц = 0; тогда ц возрастает от это»о двойвото нуля (соответствующего Х = — +»о) до простого яуля ц = — ц» и убывает снова до ц = 0 при Х = — ао. Все вто верно при условии, что точка ц = 2(03 находвтся вне атосе интервала. Можно тюказать, что гребни заостряютсл с конечным утлом, когда точка ц = 2((/3 в точности совпадает с верхним нулем.
Все зти детали мы приводить ке будем. Заметим лишь, что уединенная волна максимальной высоты имеет следующий вид! з / з ' а (в единицах длины Ь» и скорости с»). Мав-Карэн И) при помощи приближенного рассмотрения задачи об уединенной волне получил значения ц» = 0,78 и Ю = 1,249. Согласование можно назвать неплохим. Гребень имеет конечный утоп, равный 110'. Конечный угол согласуется с равенством (1ЗЛ34), поскольку для ядра К р = О, д = 1; близость к результату Стоиса 120'чисто случайна.
Оставляя в стороне вопрос, можно ли принимать всерьеа полученные значения, видим, что уравненве вида (1ЗЛ28) может описывать периодические и уединенные волны с в»елаемым заострением. 562 Гл. 13. Волны на воде Обращаясь теперь к другому виду раврушения решений, заметим, по Селиджер (1! при помощи довольно тонких рассуждений смог покавать, что для ядер вида Ке (х) достаточно асимметричный горб апрокгщывается тшшчно пшерболическим способом. Он„ однако, требовал, чтобы К (0) было конечным (а также, чтобы К 00 Х,(0 Рис 13.5. Обовначелвв е аадаче об овроьванеаеан волны. К (х) монотонного убывало при х оо), и не смог распространитг свои рассуждении на( Кг. Коротко говоря, его способ состоит в следугощем. Пусть т,(с) =- ппв0„при х = Х,(г), тг (Г) =- шаг ц„при х = Х, (с) (см.
рис. 13.5), где т, < 0 и т, ) О. Дифференцируя уравнение (13.128) и полагая х =- Х, (1), имеем —,'+ — и, '+ ) К($)О„„(Х,— Е, 1)ос=О, г=.1, 2. Интегралм ьгол(но оценить черве т, и т„нспольвуя соответствующую теорему о среднем, и получать — '",' ~ — Е ш,'+(,— ПК(О), — е ( — ш~+ (та лгг) К (0).
Складывая, нагоним — (шг-ст,)((т,— т)(2К(0)-р — (т,-)-т )) — Зт';, отсюда, если первоначально (т, + ша) ( — 4К (0)/3, то вто неравенство останется справедливым и в дальнейшем, так что + ~ ЗК(0) (13Л35) 46й 13.15. Модель структуры боры для всех <. Тогда з ' ( — з,' — зж,к (0) — 4 К (0)=- в г з = — — < ж -<- — К(0) т — —,К'(О). з ) з (13.136) Правая часть атого выражении отринатегп,на, и из наличия члеьи с т,' вытекает, что т, -1- †за конечный интервал времени; детали видны иа следующих рассунгденпй. Пусть М = — з/з т, — К (О); тогда М = Мз ) 0 первоначально (в силу (13А35) и условия тз .ь О); более того, — )~Мз, НМ щ согласно (13.136).
Следовательно, < зга откуда ЛХ сс, когда г достигает 1!Мз. Таким образоы приходим к выводу, что если условие (13.135] выполнено первоначально„ т. е. если горб достаточно асимметричен, то он постепенно стано- вижн все асимметричнее и опрокидывается при тг — ое аа интер- вал времени, меныпий, чем < 1 Ыз =1-(з<змг<О)-Ел <О)) Снова оставлял в стороне вопрос о справедливости лгодели, мы показали, что уравнезпзя вида (13.128) действительно ыогут описывать симметричные волны, распространпющиеся бев изме- нения форыы и заостряющиеся при критической высоте, а также- опрокидыаающиесп асшзлзетричные волны.
13Л5. Модель структуры боры В тех случаях, когда волны опрокидывавшая, а не заостряются результирующая бора принимает две различные формы. Онп набчюдались в приливных борах н могут быть воспроизведены зкспоримегыально с помощью аналога ударной трубы, используемой в газовой динамике. В экспериментах, впервые описанных 6<авром М], заслонка, разделяющая воду с равличкымк уровними, вневалио выдергивается и образуются боры различной силы, аависящей от разности уровней. Более слабые боры имеют гладкую,но осциллирующую структуру, кзк показано на рис. 13.6, тогда как более сильнме характеризуются быстрым турбулентным изменением без видимой оспил- Гл. 13.
Волны на воле лицин. В обоих случаях конечные состояния удовлетворяют условиям на разрыве (13.81). Изменение типа, по-видимому, ыроисходит резко лрп отношении глубин йИй, ж 1,28, что соответствует числу Фруда >Л$ дй> яв 1,21. Рве. >3.6. Модель шруктуры бары. Реыепве >развевал (>3.139) вае в> = О . Общее рассмотрение полного баланса массы, импульса и ввергни, учитьгаающее излучение энергки, связанное с волновым пакетам, дава Венджамепом и Лайтхиллом П). Действительная структура, очевидно, сложна, но опять можно спраснгь, какого рода описание будет охватывать обе формы.
Уравнение Нортевега— де Фриза является естественным отиравшая пунктом, но оно не имеет решений, подобных изображенным на рис. 13.8 и распространяющихся без изменения формы. Поскольку имеется диссипация энергии, естественно добашпь член со второй ироизвадной н рассмотреть ц> +се( 1 Р 3 †) ц + 6 с~еде,„ — рца -= О.
(13.137) Воэмо>кно, эта модель не слишком хорошо описывает аффекты трения в волнах на воде, но в любам случае предатавляет интерес, поскольку уравнение Кортевега — де Фриза являетсв канопическвм для общей теории двспергирующиг волн. Стационарные решения ищем в виде ц =йт',(Х), Х =я — ((С и, шпегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение для ь, получаем — й~ — — ~ +-~ — ( — 1)~=О; г р з, гп 6 е ее а Г ее (13.138) при атом учитывается, что ь — >- О при Х со. После нормировки уравнение имеет вид зн — шва+за — в=О, (13Л39) 13Л5. Модель структуры боры где Ь=(6(Р— 1))~т —, в= (13И40> В фааовой плоскости с и = ха иыееы а а щ — =ти — х -(-в, — ..ю, Ц л( (13.141) регпепня с конечными сошояниями а =- О, и~ =- 0 — О.
Эти состояния являются особыми точками в (х, и+ Интегральная кривая ае ам — тт -1- т в' Воаможны их = 1,ю плоскости. должна соединять эти точки. В окрестности точки (О, 0) имеем ю иех, хс и тг, пе — (т — ~Ги~Р+4), 1 е — т *. е. акспонешшальное ватуханне к нулю при 3 со. В окрестности точки (1, 0) имеем т иг (» — 1), (с — 1) «Ф"г, и, =- От (т ~ Ьгир — 4). Поведение решения при х 1 (Ь вЂ” ос) определяется внаком неравенства т < 2 или т > 2; первое ив них приводит к осцил- ляцияль Итак, мы имеем даа типа структуры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
