Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Вариационный принцип принимает вид Б ~ ) л.'(т, й, А) АХАТ=О. Кроме того, вааможно ватинов обобщение. В исходное форме вариация 6Фе связана с 6Ф; слеловательно, вариация БП свявана с вариацией по Ф равенством (14.53) н уравнение (14.55) является снедствнелз преобразования, а не вариационным уравнением. Однако авметим просто, что как (14.55), так в (14.56) следуют па (14.57), если Ф и П варьируются нддаелсила. Мы, следовательно, вправе сделать такое обобщение. Далее следует заметить, что (14.51)представчяет собой не что иное, как иятеграл энергии Н (П, Ф; т, й) = А (Х, Т) (14.58) для системы (14.55) — (14.56].
Более того, равенство (14.58) определяет функцию 44.6. Замечания о теории воэыуэцений Вариацнл по А — единственное, что осталось ат вариаций по Ф и П. Вариапионяые уравнения дают 6А: ЗА=О, 6О: .д л,+ д да=о, дг дХ и к ним добавляется услсвве совместности да дт — — — == О. ду дХ Вта и есть уравнения ((4.28) — ((4.30) с т =- — ю. В случае уравнения Клейна — Гордона лагранжиак о = '/г (та — йа) Фе — Р (Ф) и нреобрааованне Гамильтона дает И = — = (та — йа) Фо де джа Н=б)о ю ь= lа(т )са) И +У(Ф) дь дже Иа интеграла Н = А получаем В=(2( — йа))оа(А — р(Ф))ггэ и, следожпельно, ,о = — „2,' В АФ вЂ” А = = — „,(2( ' — 4))о'ф(А — У(Ф))'ж Ф-А, что согласуется с ((4.26).
Кстественно, преобрааоваяие Гамильтона моночо испольжжать также к в линейном иля почти линейном случаях. Выражения для у: при этом могут отличатьсн по форл~е от полученных ранее, но, конечно, реаультирующие вариационные уравнения будут аквивалевтнммн.
14.6. Замечания о теории возмущений Обычна, применяя теорию воамущевий, подставляют подходящее рааложенве по степеням е непосредственно в дифференциальные уравнения рассматриваемой аадачв, вводят цепочку уравнений для воследовательных порядков, а затем предпринимают меры по обеспечению равномерности аппроксимации. Именно тан Льюк И] впервые обосновал реддлылажм вариацианного подхода. Раа- Гл. 14. Нелинейная дисперсия ложение (14.39) лодстанляется в уравнение цля «7, приводя к урав- ненинм, которые можно схематически ааписать е виде Нэ (Ф™) = 9.' Ь«(ФЯ«, бвс) =Р«(Фш) н т.
д. Нулевое уравнение для бвэ«эквивалентно уравнению (14.49]. Оно решается относительно Ф'«', находишя дисперсионное соотношение, связывающее т, й и А, но пх аанпсимосгь от Х н 7' на атояг уровне не определена. уравнение для Язв содержит тольно проиаводные по 0 от Ф'в и фактически является обыкновенным дифференциальным уравнением.
Кто решение включает неограниченные члены, пропорциональные 9, если на Р, (Ф'и) пе наложопы опредечонные услолия. Эти «веновыс» члены должны быть устранены для обеспечения равномерности аппроксимации при болылих 9. Соответствующее условие, иалоткенное на Р'» (<7««'), приводят к дополнительному уравнению для т, 7«, А, котороо полностью. опрецсляот рея«ение нишлего порядка. В следующих уравненинх дчя Фю' ноянляются новые параметры и должны быть наложены новые «вековые* условия. Априорное условие периодичности Ф аквпвалентно устранению вековых членон.
Поэтому последозательныо приближения условии периодичности (14.43) буцут пронзляться как вековые условия в более трацициониой схеме. Мы види««, что, даже следуя традиционной схеме, выгодно исходить нз уравнений (14.42) и (14.43). По, поскольку уравнения (14.42) и (14.43) эквизачентвы вариационному принципу (14.44), еще лу иле подставить раэло«кенис непосредственно е (14.44) и испольаовать вариацпоииьлг пргпщнп для получеяия как уравнений для Ф'"', так и для вековых условий. Таким образом, вариационный подход не следует рассматривать как независимый метод. Он включает обычную теорию возмущений, выделяя основные моменты и поаволяя формулиронать реаультаты в более общем виде.
Вариациолный подход имеет и другие преп«существа. Вариационный принцип (14.44) установлен независимо от какой-лабо конкретной формы зависимости от е. Более того, функция 6 также ыожет аазиссть от е; мы считали, что она пе зависит от е, только ради простоты исходного изложения. Можно испольаовать разложения по степеням е длн Ф, или для В, пли для обеих этих функций, но мы вправе выбрать н разложения другого вида. Например. а почтл линейном случае «южно использоватл раалажеиия ло степеням амплитуды, или, что то же самое, ряд Фурье для Ф. Это и будет сделано прн рассмотрении приближений высшего порядка в $15.5. 14.7. Обобщевия яа болыпее число переменныт 14.7. Обобщения на большее число переменных Полученный при их помощи усредненный лагранжнан являетсн функцией от двух наборов а, Ь„, а также от ы и й. Соответствую- щий вариационный пригщнп б ~ ~ Х(бя О и а„, Ь„) Охи= О (14.60) привопит к вариацианньгм уравнениям Х,„=О, Х „=О, д д —,и — —.В„д = О, дс атт дд; дм да~ ддт — '+ — =-О, — — —.=О.
дс + дю ' дат ОЮ Система уравяеяий л „=. юь„= О линейна и однородна (по- скольку Х кнадратичен по л„и Ь„), и л общем случае ее можно решить, вырааив а„л Ь„черев единую аьшлитуду а. Зтн выражения можно снова подставить в лагранжиан и представить л в ваде функции ьг (ю, й, а), так что уравнения модуляций будут такими же, как и в случае одной переменная. Данная подстановка допустима, поскольку ограничения, наложенные на выбор величин а.,„' и Ь„, удовлетворяют условиям стационарности.
Ъгу энвива- (14.61) Обобщение на большее число пространственных намерений очевлдно. Для плоской нериодической волны решение имеет вид Ч == = тр (О), где О = О (х, 1) аависит от вектора х, н распространение происходит в направленпи волнового вектора й =- О„. Усредненный лагранжиан переходит в Х (ю, 1с, А), в становятся воамоне ными модувяцяи в пространстве (т.
е. метлинна изгибающиеся фааовые поверхности). Уравнения модуляций имеют епд (ПСОО)— (11.62). В обоснованна, проведенном в предылущем параграфе, потребуются только оченидные наменения, состоящие в вамене х, Х, й на хо Хо Ь, и — в случае необходимости — соответатвуюппгх суммированиях. Случай одного уравнения высшего порядка рассматривается аналогично,лишь снеаначительными обабгценвямн.
В вариаплонном принцвпе (14.31) и на всех последующих этапах понвятся пропаводиые высшпх порядков,но необходимые обобщения очевидны. Случай большего числа зависимых переыенныь требует подробного рассмотрения. Прежде всего для линейной системы относительна неиввестяых фуннтшй чю>(х, 1) периодические волвавые пакеты моя:по описывать выра>пениями Чсю =- а„сов О+ Ь„а!и О. Гл. 14. Нелинейная днсперсия лентность можно проверить и непосредственно, там как .Вы= —.В „+ — Хь =-0, аы аь„ да дь„ У, =Х„+ — "Х + —," ХЬ„=-Х н анавогкчно Хть, = Уьз В результате подстанавок в аависпмости от конкретного выбора соотяопюннй могут получиться различные ныражения для Хн ко окончательные уравнении будут одни и те же.
Это доказывается использованием двух масппабов времеви так же, как н ньнпе. В нелинейном случае обычмо имеется система уравнений с соответствующнль чагранжпаном б (дьь">, сь~,"~, ~р'ю), содержащим только функции рЮЬ н их первые производные. Однако характерно, что для некоторых функций ф в лагранльване б фигурируют только проваводные; такие функции яюьяются «потенцналамяь в том смысле, что лшпь производные фо ф„явдяются фвэлческнми величинами.
Это требует далеко нетривиального обобщения с важньжн математическиын и физнческвмн следствиями. Для реюения е виде однородного волнового пакета любую потенциальную переменную Ч следует представить в виде 0=6. — ТЬ-РФ(0), Э.—.=й. — г (14.60) дчя того, чтобы обеспечить полную общность. Фиаические велнчв- ны содержат только % = — 7 — оЛ~Ь та = ()+ йФа, (14.63) где — у н р являются средниыи аначениями. Это важные физические величины; яапрвмер, з случае жидкости онн дают среднюю снорость жидкости и срелнюю высоту.
Более того, наиболее важный нелинейный эффект состоит ло взаимодействии модуляций волнового пакета с аналогичными медленными измеяениями этих средних величин. Таким обрааом, в теории модуляций обобщением члена р х — ус следует считать функцию 0 (х, г), а у, р определить равенствами (14.64) — б- + —.б- =0 а э ЬЬ е, Вс (14.65) Функции 0 аналогична функции 0 я играет в аадаче роль псевдо- фаэы. Величины у и ()являются псевдочастотой и псевдоволновым вектором. Далее, для каждого потенциала р в соответствующем уравнении Эйлера 14.7.
Обобщения на болыпее число переменяых отсутствует член Ь„-, н в процессе аналиаа ато всегда приводит к дополнительному интегралу и к дополнительяоиу параыетру В, аналогичному А. Тройки (7, (1, В), хотя и вспомогательные, подобны основной тройке (ы, й, А). Аналог форыулы [14.34) для функции (14.62) имеет вид С»(х, 2) =:е»6(Х, Т)+Ф(6, Х, Т; а), где 7(Х Т)= — В», ()(Х, Т)=-Вю Х= — ех, Т=е» и Ф выбирается периодической по 6.
Для лагранжпана о(»д»»дх 'Р»д»»д*) можно покааатго что уравнения с двуыя маснпабами времени и усвоена 2л-огриедичиости яа 6 д)уньций Ф и Ф аяаиеалеитиы точному вариационному принципу, аналогичному (И.44). В ниажем порядке он имеет вид 2» б~~ —,' ~ б< — Ф„ХФе, Ф, — 7 — Ф., б,йФе)АОАХАТ=О. а (14.66) Вариациож»ые уравнения, соответствующие варкацпям бФ н бФ, определяем функции Ф и Ф, и мы имеем два»п»тетрада ( — об»+й.й» вЂ” е»б»+й'Ь»)Фе — А=А(Х.
Т) (1467) — оба+1» 6»=В(Х, Т). (14.68) Варющии 60 и бВ приводят к двум вековым условиям д — д д д — 6 — ба=о, — à — — па=о. д» " дХ ' ' ду дХ (14.70) (14.71) Вв=О, д д — У вЂ” — В =О дт» дд, > .Т =О, д д —. — — Х =О, дт дХ» ' » Наконец, в»он»но, как и ранее, ввести преобрааоваяие Гамильтона, основанное на обобщеняих импульсах дб<д»Ре, дб<Ие, и, исполы ауя равенства (14.67) — (14.68), исключить лвиую аавксимость вариапнонного принципа от Ф и Ф в польау параметров А и В.
Тогда получим б ~ ~ 2,'(»е, 3», А, у, (), В) АХАТ вЂ” О. (14.69) Соответствующие аариациовяые уравнения Гл. 14. Нелинейная диоперсия дополняются условиями совместности (14Л2) (14.73) Дальнейшие детали и примеры привЕдены в статьях автора (Уввем ИО, И, 13)). Приложение к волнам на воде конечной глубины, где дополнительные параметры являются определяющими, будет дано в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
