Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 89
Текст из файла (страница 89)
1 — простая вппа иа харюпериствве С, 2 — простая «сава в» харак- жрвстяве Ню 3 — сбвасть взааясдеастввя. ревультатом данной теории. Как было указано в 4 14.2, вто предсказывает неизбежное расщепление модуляций конечных размеров иа два независимых возыущения — результат, существенно отличающийся от линейной теории. В задачех, в которых линейная групповая скорость положительна, обе нелинейные групповые скорости обычно будут также пеложительвы. Тогда модуляции, вносимые расположенным в начале коордлнат источником, будут распрострапяхься во обовм семействам характеристик, как показано на рис.
15.1. В идеале будем считать, что источник, расположенный в точке х =- О, генерирует сильно пелияейный волновой пакет вплоть до 1 = О, затем он модулирует амплитуду и частоту в течепве конечного интервала времени 1е,посла чего опять возвращается в генерацив исходного волнового пакета. Заметим, что в точке х = О следует наложить Рл. 15. Уточнение эффектов двсперсии два граничных усдовия, твк что можно ввести независимые распределения для амплитуды а и частоты ю. Согласно обычным рассуждениям части 1, будет существовать онределенпый период вззимоцействия, ио впоследствии возмущение разделится на две простые волны, распространяющиеся пдоль С+- и С -характеристив, вак покааано на рис. 15.1. Это аналогично задаче Римана с условиями на характеристиках (см.
1 6.12). Можно оценить расстояние до точки разделения через разность характеристических скоростей. Имеем с с ге с,— с где Се — типичные значения характеристических скоростен, а г время, в течение которого источник нроизводит модуляции. Сиорости почти лииейвой теории (15.5) дают оценку сверху >!2 (15.25) В >!2 Бьшо бы чрезвычайно ценным иметь экспериментальное саиде> ельстао тако>о разцеления, поскольку опо имеет фундаыентальное вначение для проверни теории модуляцн». Другие родственнь>е нелинейные эффекты наблюдались в нелинейной оптике, но зтот, по-видимому, еще не обнаружен.
Нростые волны, образующиеся таким образом, как указано вьпае, или кан-либо иначе,мои>но найти апатитичесви,используя стандартные методы части 1. Один пнвариа>ы Римана всюду постоянен, а модулируемые переменные и, й, а остаются постоянными вдоль каягдой характеристики иа соответствующего семейства. В ликеяной теории й остается постоянным, ио а г '» вдоль характериствк. Это различие мезгду нелинейным н линейным повепениями, вероятно, пе так легко уловима,как групповое расщепление, и может частично маскироваться эффектами высшего порядка. Наьоиец, в рамках гиперболических задач имеется вопрос об опрокидывания и образовании ударных волн. Зависиыость характеристических скоростей от модулируемых переменных вводит обычное гиперболическое искажение, и модуляции пша «с>катияв в простой волне приводят к возникновению областей многозначности репюния.
Что происходит далыпе, пока еще не ясно. Вотличие от задач, рассматриваемых в части 1, теперь нет возражений против многозначных решений как таковых. Их можно интерпретировать как суперпозицню цвух или нескольких волковых пакетои с различными значениями волновых чисел й н амплитуд а. б>вктические решения ие будут корректно описываться уравнениями (15.1) — (15.3), поскольку, вти уравнения была аыведенм в предположении существования единой фавовой функ- 15еБ Нелинейная групповая скорость цвн.
По они будут, вероятно, схватываться исходным уравнением. Действительно, именно суперпозиция имеет место в линейном случае. Хотя мы и не задааалвсь этим вонросом в предыдущих обсуждениях, можно представить себе волновой навет с линейной групповой скоростью Сз(й), убывающей по яаправленню к вол. новому фронту. Тогда, поскольку значения волнового числа й распространяются со скоростью Сз (й), со временем в волновом пакете возникнут области наложения.
В линейной теории суперпозиция ле вносит каких-либо трудностей н весь процесс можно изучать при помощи точного решения в виде интеграла Фурье. Хотя в нелинейном случае атот процесс трудно прослеДить аналитичесни, качествеяно поведение каязется вполне доступным анализу. По-видимому, в области наложения пояадобитсн что-то вроде многофазоаого решенвя, упоминавшегося в 1 14.9,по ясгчедояапие переходного процесса является трудной задачей. Вторая воэможность состоит а том, по члены высшего порядка модуляционного приближения играют большую роль прн ситуации, близкой к опрокидыванию, в препятствуют развитию многозначяого решения. В общем случае легко убедиться (и ато будет достаточно подробно показано в следующем параграфе), что аа счет эффектов высшего порядка в уравнениях (15.2) и (15.3) обычно появляются дополнительные члены, содещкащне производные третьего порядка.
Впепше эти уравнения становятся подобныии уравнениям Буссинеска и Кортевега — де Фриза. По аналогии можно ожидать, что опрокзгдываяяе подавляется этямп дополнительными членами. Конечно, как и з случае толп на поде, дополнитедьные члены вводятся как малые поправки к крупномасштабным процессам п являются первыми члепамв бесконечного ряда высших пропзводвыю Было бы непоследовательно счгпатгч что ст них во всех случаях зависит, произойдет ли опрокидывание. Похоже на то, что это имеет место для ыалых симметрпчяыл модуляций, которые развиваются в сернго уединенных волн, тогда взк существенно асиыметрнчпые модуляции в некотором смысле опрокидываются. Теперь к вопросу об ударных воллах. Формально а решениях уравнений (15.2) и (15.3) разрывы переменных гс, )г, А допустимы. Их следует интерпретировать как слабые ршпепня, и условия на разрыве доплаты определяться соответствующими уравнениями сохранения, как описано в 1 5.3.
Теоретически ато наиболее привлекательная ситуация, но а данном коякретном контексте она, вероятно, менее всего соОтветствует действительности. Неувереияость в внтерпрягацня делает менее ясным в выбор подходящих условий па разрыве. Уравнения (15.2) и (15.3) уже имеют форму законов сохранения, во столь гке очевидными кандидатами являются уравнения сохранения энергии и сохранения Гл. 15.
Уточнение аффектов джперсии щтульса. Последние имеют вид — (юӄ— У) — — (юХь) =. О, а д ю кт — „(йд в) — „(йу:, — Х) =- О. а з 502 (15.26) (15.27) В действительности существует бесконечно много уравнений сохранения. Однако только уравнения (15.2), (15.3), (15.26) и (15.27) имеют очевидный смысл. Паша система, по существу,— система второго порядка (равенство (15.1) не являежя дифферезциальныи уравнением), так что два уравнения сохранения должны быть выбраны для обеспечения двух условий па разрыве.
Этот выбор связан с тем, что по нашему мнению яредставлнют из себя ударные волны. Коли они рассматриваются как приближения к решениям, еще охватываемым исходяыы подробным уравнением для ф, то следует выбрать условия па разрыве, исходя вз уравнений (15.26) и (15.27).
Причина состоит в тоы, что анергия и импульс сохраняются при более подробном описании ю и, следовательно, поля<им сохраняться в приближении, основанном на предполоизении о медленном изменении. При этом условия па разрыве записываются так„ П, (ю2 — Х] Ф ]ыУ,„] — О, (15.28) П,(5.2 ]+(5,2 — Х] — О, (15. 20) где (7, — скорость ударной волны.
Сохранение фааы (15.3) и сохранение волнового действия (15.2) при переходе через разрыв обеспечить нельзя. Они были выведены для решений специального вида в предположении медленных нзыеяений, так что нет возралзений против их нарушения в области резких ныаененкй, соответствугощей ударной волне. Эти ударные волны, следовательно, будут являться источником осцилляпий и содержать скачки адиабатических инвариантов; последяее напоминает квантовме сначки адиабатических инвариантов в квантовой теории( ' Следует снова подчеркнутгч что все зто просто формализм без позитивной точки зрении на структуру этих ударных волн или даже на необходимость ит возникновения.
Более тогс, зги разрывы будут иметь необратимые свойства, в то время как исходное ураннепие для ю обратимо. Здесь имееюя связь с классвческими примерами задач о системах, обратимых на некотором точном уровне описания и окааывеющнхся необратимыми в макроскопическях приближениях. С другой стороны, если предположитгч что разрывы соответствуют явлениям, ие описываемым исходным уравнением, но учитываемым некоторым еще более полроб ным описанием, соле ржащим какого-либо рода диссипацию, то выбор булет другим.
Импульс, вероятно, будет сохраняться, а аиергия, по-видимому, иет. Не похо- 15.5. Приближение бочее высокого порядка 503 же, чтобы уравнение (15.2) было правильной альтернативой, но уравнением (15.3) можно заняться. Как локаааяо в $13.15, при наличии диссипации в диспергирующих моделях ыо>кно построить гладкие осниллируазцие изменения меящу двумя различными посто»»явили состояниями. В этом случае концевые состояния постоянны, посвольку диссипация гасит осцикл>щии по обеим сторонам переходной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
