Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Это фактически неснолыго более общий случай ситуации, отмеченной при рассмотрении равггол~ения Стокса перподических решений в 2 13.13. Рааномерная аппронсвмацпя получается вкшочением резонирующих членов третьего порядка в уравнение предыдущего приближения для тра'. Это приводпт к более определеяной точке зрения на фурье-аналиа и к групвированвю членов согласно их пкладам в различные компоненты ег *. Таким образом, мы подставляем равложелие (15.48) в уравнение (15.49) н лля каждой ив исходных коьшонент е"" имеем а з +ге гу =' и хз гу" гуай где и, такие же, как и в (15.51).
Кубичжкие члены будут также генерировать новые компоненты, которые следует добавить в (15.48), но ояи пе резониругот (по нрайнсй мере в кубвчесвои порядке), и в первом приближении ими можно пренебречь. Поэтому мы рассмотрим регпепия уравнении И5.54). Чтобы исключить главные осцнлляции, авелем (15.54) р (Г) =А„(Г) с '"', причем — и зто важпое отзгичие) от лнвевной теории — А„(г) является функцией от Г. Имеем —" — 2黄—" = — и ~ А„АаАтсг В жл„. и„ аа„-а — — )г нн " +во""т Масштаб аремени имеет теперь порядок О (и '), и каждое дифференцирование по Г увеличивает ва единицу порядок соответствующего члена по и.
Следовательно, можно опустить вторую проиевод- 15.6. Анализ Фурье и нелинейные взаимодействия 569 ную от А„, что дает ЗА и — — — — Х зг те„ е"Зе т Ревонапс возникает при. х„+ кз + язв и + не + гзт А„ЛеЛ сгж " "з '"тз, (15.55) (15.56) Самодействие (н„, х„, — х„) я„ (в его переставовьи) всегда относится к етому случаю.
Ови приводят к аффекту Стокса длл частоты. Еслгг существует только одна ыодз хе, то имеем уравнение — е= — — оА'Л", аз =(из+1)ыт, с реюением — л ~-<зюдзаев ф (15 51) и тогда — — — — (6ЛзА„"А ф ЗА,'Л",сю' 6АеЛ,"А -1 ЗА'А"), (15.59) где () =- ге+ + ю- — 2юе' (15.60) длн того чтобы получвть уравнение дл Ле, нужно поменять местами индексы плюс и минус. Тип взаимодействия легко восстанавливается по амплитудам Л, дающим вклад. Первый член в (15.58) описывает самодействие (Стокс); второй член соответ- Это сояпадает с результатом Стокса И4.12). При изучении )стойчивости Бенджамен рассматривает эффект близких «боновых частот» с волновыми числами х, * р при основвоя яолноеоы числе я,. Текля обрааоы, мяожестзо к„п =- 1,...
Л', имжт внд (ям яр -- р, я, + р), я для получения полного ыпожестза к„следует добавить их отрицательные значения. Обозначим соответствугощяе величины А„через Ам А, Л+, а сопрлжснкые им величины-- так же, нак в (15.51). Тогда уравнения (15.55) примут вяд (ЗЛ„'Л,"+ЗЛ,А,А,"+ 6АеА А*+ЗА,"Л,Л е-щ), (15.58) Гл. 15. Уточнение аффектов дисперсии 5$0 ствует резонансу (кр, кр + р,, — нр — р) — р- кр и т. д. Члены с множителем ею', строго говоря, не удовлетаорягот рееонанспому условны для частот. Но если р мало, то й тоже мало и атот множитель оставлнется для сохраяения равномерности приближения при р — ь О.
Числовые коаффициеиты перед наждмм членом соответствуют числу перестановок для кювдого конкретного нааимодействия. При апалиае устойчивости предполагается, что Ае (( Ар, и уравнения линеариауются: Р = 'с 4'Л* Лр хор — — — (6А,А;А +ЗА;А;еРг"). Эффегрты имеют второй наряден по Ае Как и а (15.57), налагаем Ар =. аре-РР', Р =— х аб 2 ар (15.6$) где ар вещественно. Для малых р а корффидиеятах уравненвй для Ае достаточло положить юе ск юр и аппроксимировать П выра- жением И вЂ” ю, "(кр) рр. Тогда линейные уравнения для Ае примут вид — =. — рр(2А + АурРю-РРРР), — '"' = — р(2Лр+АбрРР— ю). Ю (15.62) Ови имеют рсшсгпря Ае .=- аееРье', где Хе удовлетворяют уравне- нию ье + (2р — П) Л + р (р — 2П) =- О.
(15.63) Малые ьоамущенкя амплитуд боковых частот растут, если корни уравнения (15.63) комплексии, т. е. если (р+ —,) П(0. (15.64) Для напето конкретного примера ыр =- (я,' + 1)М', ю,, = ы,, тав что (15.64) приводит к условию ( — аа,'+ ",, ) <О. Данный реаультат согласуется с (15.39) и (15.40), если при сопоставлении положить р =. ер. При а)0 амнлнтуды боковых частот всегда остаются малыми. Прд а (0 имеется неустойчивость 15.6. Анализ Фурье и нелинейные вааимодействия 51! в области р» (6 (а (ы',а„'. Опять зто леустойчнвость по линейному приближению; нелинейные уравнения (15.58) — (15.59) сохраняют суммарлую знергию. Зто согласуется с предположонием, что окончательным реаультатом явлнстсн ржпение с вонечвыми амплитудными осцилляцияыи. Должно быть достаточно лспо, что предыдущий анализ, хотя и проведенный на нопкретном примере, выест общий характер.
Действительно, вз (15.61) видно, что р всегда является поправкой Стокса н часто~с, обоаначеввой в 1 14.2 череа ы,а». Выражевке (15.62) для П имеет общий вид. Таким образом, критерий (15.64) можно записать в виде ( '" + 4»е."р'-) ы,"рз (О' Э»о вырая<еяие сведует сравнить с радикалом в хари»теристнческой снорости (14.21); донолпвтельпый члене р» связал с дисперсноннымн аффектами выси»его порндка. Подходы, основанные на взаимодействинх и модующиях, можно сопоставить, заметив, что модуляцию й = /сн' + )»а», а = = а'а' + а'»», использовапвую прн выводе (15.39), можно аппроксимировать следующими раапожепиями: (а~»» ь а<»») ехр, (6»а» ( бс») ( 1 2 -~- комплекспо сопряя»енное выражение — аи' ехр»бра» + — аа' ехр»6"» + —, ййна с' ехр»би» -~- 4-комплексно совряжевпое ж»ражепие.
(15.65) Если теперь для основного волнового пакета положить а'о» = аа 6<»» = ксх — (ыа .~- р) с и выразить возмущоння ан', 6'»' через соответствующие линейные комбинации звспоневт с**в', то получитсн описание н термина» боковых частот. Теория ваавмодействий оназывается аффективной только в почти линейном случае и толы»о длн модуляций, содеря»ащвх вонечное число фурье-компонент. Даже в этом случае выкладки оказываются аначнтельво сложнее, чем в модулядионноы подходе.
Их можно до некоторой степени упростить, слова обративюись и вариационному принципу. Если влаграпжиан подставить выражение »р = — ~~ А„(С) см.™т', Гл. 15. Уточнение аффеьтов дисперсии то все члены, аа всключевием реао~ансшах, будут осциллировать по х. Исключив их усредвепием, можно при полющи вариационного принципа получить уравнения для А„. В простейших случаях, подобных рассмотреввому выше, упрощение не очень велико. Довольна левко попутаем усредвевный лаграяжиан Х = — А', 1А„А„* — ио„А„А,",+Де„А„А )— — —.
(6 ~', А',А"„'+24 ~,'~ А .4" А„А„")— — о. 112А," 4„"А*е'"'+ 12АтмАзА а-'о'), 115.66) где суммирования проводятся по А, Аз, А . Но дальнейший аяалиа вариациоппых уравяевпй, по существу, таков же. Главков преимущество даипой формы ааписп лаграожпана аашпочается в кавоничлоств формы. Теория вааимодействий пе ограничена «саседпимиа волновыми числами.
При достаточно общих дпсперсиокпых соотношениях мозкпо рассматривать реаолансы, удовлетворяющие равенству П5.56), лля сильно отличающихся волновых чисел н . В этоы случае существует аначвтельный обмен еваргяей между раалпч~ымп модалзи. Такие случаи истлел звал Филлипс П), который приводит и ссылки ва другие работы. Иллюстративный пример можно найти в паквяейпой оптике (сьь 1 16.5). Этот тип взаимодействия между сильно отличающиыися волковыми числами тесло свяааи с ьзяогофаэавыьззз решениями, укааалными в 4 14.9. Глава 16 ПРИЛОЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ Нелиней ал оптика 16.1. Основные идеи В,— Е„=О, Е, + — г, =- с,В„, тя ее Нби) Одной иа наиболее интересных для иаучения нелинейных дисперсионных аффектов областеи является нелинейная оптика.
Теоретические идеи здесь естественно свнэываются с результатами эвспериментоз и аспользутотся при конструировании физических приборов. Теория модуляций дает естественный подход к ряду явленийй, а силу высоких частот и волновых чисел основных волновых пакетов. Этим способом иаучатотся самофокусировка и устойчивость пужтов. Пелннейные взаимодействия,приводящие к возникновению в усилению суммарных и раапостных частот, имеют важное значение и наглядно демонстрируются изменением цвета лааерного луча при его проховтденни через нелинейный кристалл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
