Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Эксперименты, по-зидимоыу, легче осущсстзлнются и точнее контролируются, чем это возмонтно, например, для волн на воде, где из-за многочисленности мод дзвжепия жидкости трудно выделить конкретные желаемые эффекты. Простейшие формулировки теории очень бхиаки н анализу уравнения Клейна — Гордона, и реаультаты моткно получить по аналогии с этим случаем. Мы начнем с влассической модели, з которой электричесная пояяризания среды обусловлена смещениеы свяаанных электронов алентрическим полем. В дальнейшем полученные реаультаты моятпо будет интерпретировать более широким образом. Рассмотрим основной одномерный волновой пакет и будем счятать, что волны распространяются з х-направлении, а поля имеют компоненты Е и В а з- и р-направленнях соотзстстзеняо.
Электроны смещаются в з-направлении,ямы будем описывать это смещение функцией г тх, т). Уравттенття Максвелла сводятся к следующему виду: 16.1. Основные иден вой. Тогда имеем 515 (16.7) оооо ыЧ го РУ (Р)+ —,—,—,, — 6. В линейном случае У'(Р) =. о,"Р, решение ураввоиия (16.8) скнусоидально по 6 и ны получаем диснерсвониое соотношение ггчо — —— о(ж (16.9) В полосе поглощения около резонансной частоты то становится валеним деошфнровапие, которое исключает сингулярное поведение в этой области.
Однако вдали ат реаонансной частоты этот эффект ыал, н прн первом рассмотрении им можно пренебречь. В почти линейном случае моягно полоагитьт У'(Р) =т.,"Р— ир'+..., Р.— б(соей рбгсгм36+..., (16ЛО) К=осгпй+агсоэ36+... (16.8) и вывести днсперспониое соожюшение ,оао о,", Э оооо'„ и'= — = И вЂ” „о, + — "„ао-1-.... 1(16.11) ооо г,, ы," — т„' 4 (эо — т,")о В полностью нелипевном случае уравнение (16.8) имеет осциллирующяе решения, как покавано для уравнения Елейна — Гордона (*м. (14.3)); теснан свяеь между этими двумя случалош становвтся очевиднан. Усредненный лагранжиан Вариациоошый принцип можно сформуввровать в термияах потенциала ф, т.
е. г-компоненты векторного потегщвала. Компоненты поля даиыся равенствами В= — фс, В =- — о)о, и соответствующий лагранжнан имеет впд ,гг А-- а ео(Чо — со% ) — Лдфог+Л' 1 —,тг,' — 6 (г)) = о 1 е 1 = а ео(ф) соФ) — Чор+,л ~ э Ро* — У(Р)). (16Л2) ~о. Если У' (Р) — нечетная функция от Р, то для однородного волнового пакета достаточно считать ф и Р вериодическими функциями от 6. Тогда, согласно (16.7) и (16.8), имеем од и В = авро =-— оя — осш ео — жоре ).У (Р)+ — — о — т — о Ро=-А (16Л4) Гл. 16.
Приложения нелинейной теории где второе'уравпекие было проинтегрировано и при этом в него воюла постоянная интегрирования А как амплптулный параметр. Усреднешпцг лагравжгган ватеи получаетсл подстановкой равенств (16.13) — (16Л4) в (16.12) и последующими стандартными выкладками. Результат имеет вид сг" ттк У( ( ) ьк — г"Ьз ) ) (16.15) Опять можно отметить сходство со случаем уравнения Клейна— Гордона (14.26). Если функция 1" (Р) не является нечетной, то потребуется более общее выразкение Р =- ()л — уг+Ч'(6).
(16Л6) Параягетры () и у дают ненулевые срелпие значения для В и Е, и нх сведует рассматривать как псевдоволноеое чпсво и псевдо- частоту, как было объяснено в 4 14.7. В уравнение (16.6) теперь следует ввести вторую посъшнггую интегрирования, скажем Л, и тройна (у, 6, Л) алалогвчна основной тройке (ю, й, А). В теория модуляшггй свявь изменений тройки (ы, Ь, Л) с изменениями средних полевзах параметров (у, 6, Л) приводят к чреавычайво важному эффеяту.
Рйы не будем выяснять адесь детали; они аналогичны случаю вали на воде, который будет рассмотрен янже. Основываясь иа лагранжиане (15.15) в используя описанные в предьшущит главах методы, можно вывести общие резулшаты. Однако бйншая часть результатов нелинейной оптвки связана с по пя линейным случаем. В этан конкретном контексте он обладает тем преимуществом, что хотя длв обоснования теории используетгя специальная модель, бочее широкая интерпретация формул достаточно ясна.
Почти линейную форыу лагранжнана Х легче всего получить непосредствепнои подстановкой равложевий (16.10) в (16.12), а не аппронсииацией выражения (16.15). Вычисление лагранжиана Х вплоть до четвертого порядка по а особенно просто, поскольку коэффициенты аз, Ьм которые имеют третий порядок по а, дают вклад липгь в члены шестого порядка и выше. (Ор. с выводом выражения (14.52).) Таким образом, в этоы порядке Вариационное уравнение Хь =- 0 повволяет выразить Ь через а: зэгэ л е(гэ з Ь= — — а-) —, а .
ьд — тез 4 (ев — тй)г 16Л. Основные идеи 517 Подставляя этот ревультат в вмрюкеняе для У, получасы В качестве проверки отметим, шо днсперсионное соотношение У„= 0 совпадает с (16.11), кан и должно быть. Первый член в (16.12), который мо:нно ваписать в виде х)зза (Е" — с,'В'), яю~яется основным волновым оператором для электромагнитных волн в свободном пространстве. Он всегда привалит к члену —,' (1 — — ") езаз в латранжиане Х, где а — аыплнтуда электрического поля. Друэне члены в выражении (16Л0) описывают отилия среды на осциллпрующее электрическое псие.
Для других моделей, а таня;е для учета заданных свойств среды можно, но-ввдкмому, предположить во аналотвк, что 2 =ф(1, +)Ваз1 Р,( )Ы «+б,(ы)еэ', (В626) где рз(ы) и у (ы) — некоторые функции. Тогда дисперсиопное соопюшение Х„ =- 0 позволит свазать фУш;цив бы Рз с поведением показателя преломления.
Если потребоватто побы дисперсяопкое соотношение имело вид я = — = иэ (ы) + — из (ы) аз, сзэ - — 1 3 (16.21) то мы должны положим, Х= — (яэз(ю) — „" ) еоаз+ — щ(ю) я,(ю) ссай (16.22) Коэффнциевт пз (ы) — это линейный покааатель преломления, и теперь его можно задать выражением, более блнаким к действительностя, чем (16.0).
Навример, включив болыпее число реаоиансных частот тн будем иметь л,'(ы) = 1-таз'~„' к, ~з, ~ )э=1, э 3 тде )т =- )ут/Ю вЂ” относительное число электролов с резонансной частотой тя Вто согласуется и с нвантовотеоретическим описанием, для которого тх — частоты перехода, в )с — вероятности аерехода.
Аналогичным обрезом, нелинейный коэффициент я, (ю) можно выбрать так, чтобы описать другие модели или известные физические свойства среды. Однако всегда следует помнить о том,что мы ограничиваемся случаями, в которых отсутствуют квадратичные средние полей. Гл. 16. Приложения иелииейнои теории 518 16.2. Одномерные модуляции Б почти лкнейвой теории можпо поступать точно так яге, как и в 4 14.2.
Б оптике более принято, чтобы дисперсионное соотпопгение выражало Ы или к как фупкцию от в, таи что в теории модуляций мы примем ва основные переменные в па. Дисперсиокное соотношение можно ваписать в виде г) Ы = Ы» (в) + Ы, (в)а', (16.23) тле вэ„(в) Ы ) еэз(в) э ' " Зса (16.24) Б пившем порядке уравнения модуляшгрд соответствующие уравнениям (14Л8] — (14.19), имеют вид а,г э — +~ (Ы;(в)аэ)=О, Ев .
дв аээ д +Ыэ( ) э +Ы„(в) ш =-О. Характеристические скорости олредедяются равенствами — —.— Ы; (в) ~ (Ы„(в) Ыэ (в)) н ' а. (16.26) Уравнения являются гиперболическими, если Ы,Ы, ") О, и эллпптвчеснвми, если Ы„Ы; ( О. Б силу двсперсионлого соотпошевия (16.И), знак Ы,", совпадает со знаком т,' — в», а знак Ы„совпадает со знаком а. Отсюда видим, что уравнения пшерболическпе: а (т„' — в') ) О, (16.27) эллиптические: а (т„' — в') ( Оф Этп результаты впервые были получены Островским [1). Обмчио в оптике вэ ( т,', а ) О, так что уравнения оназываются гиперболпчеснпми. Однако Островский (2) сообщает об экспериментах на радиочастотах с ферритамн и полупроводниковыми диодами, где можно получить оба случая. Обнаружены иак гиперболическое искажелие, так и аллиптическая неустовчпвость, и, по-видамому, в результате образуются устойчивые модуляции (ср.
с обсуждением эффектов более высокого порядка в 4 15.5). Эффекты следующего порядка приводят к тому, что в выражении (16.17) для ю" появляются квадратичные ло проиаводиым от а и Ь члены. Тогда уравнения модуляций оказываются по структу- ') длэ обозначений келлвейяого коэффэцлэнта мы испольэуеи г„змеею аэ, посколькУ а, потРебУетса з Лазьпешлеи Дэа обозпачэвиа;колноивпы векшра Ы. 16.3.
Саыофокусировка светового пучка ре подобиыыв уравнениям, рассмотренным в 1 15.5. Качествевио явления одинаковы, так что детали для атого случая приводить ие будем. Осиовпые результаты были получены Островским [1[, а Смолл [1] покааал, как можно испош,вовать вариациоишай подход. Мы, однако, иэучгпг в следующем параграфе аналогичную задачу о пространственных модулэщиях и саыофокугировке пучка. Дчя ких важны эффекты высшего порядка, так 'по ыы кратко обрисуем теорвю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
