Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 96
Текст из файла (страница 96)
е. через линейные значения Лля волн, распространяющихся по спокойной воде глубиной йе. Имееи у РЯ 1 уй+ ( г 1) 4 О(Ег) (16 81) 16.8. Уравнения сохранения (16. ай(н — ра) т н(е — ра)з сагьы + 2 (загнан)г и = — '(8+С,)+О(Е~.
В терминах плотности энергии Е они принимают обычный нид. (16.88) Сагранение моееы Аналогичные (16.82) и (16.83) величины, входящие н (16.79), имеют вид (16.84) ,Н, = р)я — ХС = раб+ — + О(Ет) а ег Таггим образом, ясно, что первое уравнение в (16.79)представляет собой уравнение сохранения массы и что полны вносят в массу течения суммарный внлад Е/ег. Поэтому следует выделать в явном виде снорасть потока массы ~+ „е (16.85) Энергия и импульс Плотность платок внергии, определенные в(14.74), оназываются равными аьНе+Унт — У= з РЬОз+ з Рбй'+Е+О(Е'), (16.86) (~~ + „+ Етое Г1Е+ +(С+С,) Е+О(Ь ).
(16.87) Плотность и поток волнового действия в (16.77) равны соответственна 82) Гл. 16. Приложения келвнейной теории Плотность и поток ямпульса (см. (14.75)) выражаются форыулами АВ„+Ох,=.958+ л =Ой((+О(Е), (16.88) сс — 1сВ» — ()Ма+Е=рйОэ (- — ррйс+ ( — с — — ) Е (-О(Еэ). (16.89) Следует особо отметить простоту этих формул, достигнутую аа счет введения (7 вместо 6.
Легко рааличимы вклады среднего течения, волн и их вааимодействия. Выражение (16.86) подтверждает, что Š— плотность энергии волн. Воляовсй иыпульс Е)сэ в (16.88) имеет обычную форму, но суммарную величину удобно ааписывать и как рйС. Выражение для потока импульса (16.89) содержит интересное слагаемое ~ тсс т ) Е. (16.90) это впервые было эаыечено и испольэовано Лонге-Хиггинсом и Споартом И, 2), которые наввали его напряжением ивлучеиия. Следует отметить, что в потоке анергии (16.87) выражение (ГЯ соответствует работе; этот член описывает добавку аа счет волнового вааимодайствия к обычному потоку внергии (Ю+ Ср)Е. Если механическая система описывается в системе отсчета, движущейся вместе с ее центром ыагс, то полная энергия составляет — ~ ш(И+о)а= — Рг ~ ю+О 7 то+ — ~,'тна, где средний член равен проиаведеяию относительного импульса на ЕЛ три первые члена в форыуле (16.87) являются аналогом этого простого рааложения.
Учитывая полученные выше аыражения, исходнью уравнения (16.77) — (16.79) можно эаписать так: — ( — )+ — ((6+ Сс) — ~ =0 — + — = О (16 91) а (РД)+ — (Рйф+ — ) =О, — "+ л — — О, (16.92) где ю и 7 даются соотношениями (16.80) — (16.81), а члены поридка О (Еа) опущеньь Алыернативная система, вводящая уравнения сохранения энергии и импульса вместо уравнения сохранения волнового дежтвия и уравнения совместности, связывающего р и 7, 53T 16.9. Индуцнровенное среднее течение имеет вид (16.93) (16.94) (16.95) 7г, + ю„= О, (р)г), 7. (рМ7)„= О, (9577) + (рд(я+ чррй +Е) ( — 957Р+ — рубэ+Е) + +(РМ7 ( — Се+95)+СЕ+(Н+Сэ) Е) =О. (16.96) 16.9.
Индуциронанное среднее течение Уравнения (16.92) илн вквнвелентную систему (16.94) — (16.95) можно рессмэтриветь квк уравнения, описывающие нндуцируемые волнами ивменения гюрвметров Ь и С. Это длинноволновые урввнепия (см. (13Л9]) с дополнительным волновым членом Е. Мы интсресуеыся вдесь ивменениями переметров 5 и П, индуцнроввнными волновым пвкетом. Для воли, движущихся по спокойной воде глубиной дм можно предположить, что Г и Ь = 5 — Аэ мелы, и линевривоветь уравнения; жо дает Ь,+5 и„=о, 8„ (16.
98) С, + дЬ„=- —" . рес В первых реботвх, посвященных валком нв поверхности потоке, стоял вопрос о превильной форме урэвнепня сахрвпення <волновой энергии» Е. Один ив способов выводе правильного выражения состоит в вовмажна более полном исключении А и Н ив уравнения (16.96) при поьющи предыдущих уравнений. Легко проверить, что уревневие Е, + (((7+С )Е)„+ Л7„=- О (16.97) правильна. Необходимость в дополнительном члене ЯС„ была отыечене Лонге-Хиггинсон н Стювртом [2).
Конечно, уравнение (16.97) эквввелентно уревяепню сохрвнення волнового действия в (16.91), которое представляется в данном подходе более естественным. Чтобы установить эту вквиввлептностгч веметим,что уревнение сохранения волнового действия можно переписать в виде Е Р ((Р+Сэ)Е),+~ — э, + —, эь ~ ЕР .=О. Коэффициент в «ввдрвтных скобках равен (2С,)сэ — 172), е Р =- = 77+ О (С), тек что ети двв уравнения совпедеют.
Гл. 16. Приложения нелинейной теории Для ьшотнх целей достаточно считать Я иавестным силовым полем, уже определенным о помощью линейной дисперсионной теории для распределений Ь и Е. Поскольку в втой теории Ь, + С, (й) Ь„=- О, Е, + (С„С)„= 0 и Е имеет форму 1 (Ь) Е, получаем, что (а (ь) е), + (д (ь)с,е) „= о для любой функции у (Ь). Тогда леско проверить, что решением системы (16.98) являются ь — — ь — )и=— ьс я хь,— с,*(ь) ' рь, ' С.=()+ Е Сс(Щ Я р„.ь, = хь,— с,'(ь) сь, ' (16.99) 16.10. ь лубокан вода ДлЯ глУбокой воДы, когДа Ййе >) 1, инДУЦиРоваиные измекениЯ параметров Ь и 6 пренебреясимо малы. Этого следовало ожидать заранее, но зто подтверждается и явно формулами (16.99). Усредненный лагранжиан (16.73) принимает вид Хм= — ( — 1) Š— — +0(Еь) (16 100) Взаимодейстзне меткду средним течением и волнами, описыввеиыьти лаграижианом Мм, отсутствуе:с.
Что касается волн, то можно работать исключительно с латранжиаиом И,т. Он согласуется * простым выражением из предидущих аадач, где псевдачастоты ме возникали и ю, Ь, Е били единственными волновыми параметра- К зтим выраисениям можно добавить решения однородных уравнений, т, е.
функции от я ~ 'у' дйот. Иа (16.99) видно, что разность групповой скорости и длиняоволновой скорости У удо не должна быть слишком мала по сравнению с с'. Но именно ато требуется для справедливости разложения Стокса; в пределе С' дйс мы приходим к уравнению Кортевега — де Фриза. При образовании волнозото пакета неустановившиеся длинные волны распространяются со скоростями ~~/ уйс, но (опять пред- полагаЯ, что Со и )~УЬо Достаточно хорошо РааДелены) суелнсе течение и средняя высота, сопутоялуюцие волновому пакету, даются равенствами (16.99). Неустаяовизшиеся волны, возникающие за двюнущимся в воде препятствием, подробно изучены Бенджаменом (2).
16Л1. Устойчивость волн Стокса ыи. Дисперсионное соотношение Вл — — 0 имеет кид ма=уй (1+ — +... ) =бй(1+бал*+...), (16101) что согласуется с прелыдущими результатами. Уравнения модуляций для Е и й даются рааенстаами (16.77). Для заданного потока со скоростью Пе предыдущие доводы отяосятся скорее к () — (7„чем к самому параметру 6, и а пределе глубокой лолы усредненный лагранжиан Яж модифицируется: '16.И.. Устойчивость волн Стокса Для аочя аа глубокой коде применима простая теория $1ть2.
Согласно (16.101), имеем 2 (б ) Величина ы",ы, ( 0 и, следовательно, модуляции со ареыенеы растут, Для конечной глубины станоаится важной саяаь с иидуцироаанным средним течением, носящая стабилиаирующнй характер. Устойчивость определяется типом полной системы ураанепий (16.91) — (16.92), которая яаляется системои четаертого порядиа для пеиааестных функций )с, Е, 6, Ь. Тип а свою очередь апределяетсн характчристииами. Характеристические скорости ыожно найти непосредстаеняыми вычислениями, но последние довольно громоадки. Лналиа можно упростить и придать ему бодее аыраантельную форму, раабиа переменные яа лае части. Прежде всего формулы (16.99) с достаточной точностью аыражают А и 9 череа Е. В то же время этот персий шаг лает величины двух характеристических скорсотей, а именно ~Ь бйе.
Теперь выражения для Ь и (1 можно подстааить н ураанеаня (16.91) для й и Е и определить дае остальные характеристические скорости. Считая, что Ь = Ь вЂ” йс и 6 имеют порядок О Щ, дисперсиояиое соотношение (16.60) можно аппроксимировать рааенстаом 1 ~ ь ет — 1971+9 г к -- ые+ )ф+ Ь (С» — — сс) — + — ', ' — -~-0 (йч) 2 ) Ье 87с В силу (16.99), ато дает ы=о1с(й]+Р,(й) — (-0(Ет), (16ЛОЗ) где () 971 — 197*„+ 9 1 1 (2СЬ вЂ” Ор се)а ) 871 м'а 1 гьа — с; +1 540 Гл.
16. Приложения нелинешюй теории Поскольку Ь и 6 исключены, тют теперь имеем ддя й и Е простые уравнения модуляций рассмотренного в $14.2 типа и можем выписать характеристические скорости без дальнейпптх выкладок) Искомые характериотические скорости равны (16Л04) здесь юс = (уй 15 ййт) от и ы, всегда отрицательна. таким образом, характеристики являются мнимыми при Пт ) 0 и вещественными при П,(0. Формуле для П ноно укавывает на стабилизирующий аффект среднего течения по мере убывания величины ййс от предела глубокой воды. Критическое виачение определяешься величиной ййт, для которой Пт = О. Это аначение было найдена численно и окаввлось равныы й)то = 1,36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
