Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Это уравнение имеет репгеиие с разделяющимися переменными Ф = (Ьагг + т рг ) 1Ь т, воторое и описывает пасюк. В исгодиыг перемепшгх решение вы- ражается череа параметры р и д следующим обрааом: г =- о = — — „1Ь вЂ” „, а = т = (а + — „р ) аесЬг — „, — у= -гу. Р 'Р т' т На начальной нлоскости х = О нивен сз —— - О, ог.—.— а,', вес)гг (угй) В начале пуюк состоит иа лучей, параллельныл оси х, и имеет бливкое к действительности распределение амплгтузь Можно заказать, что пучок фокусируется в точке (16.49) с)тобы анг решеяие согласовывалось около оси с формулой (16.42), шедует положить Ь = ге, и мм видим, что формула (16.47) для фокусного расстояиня дает хорошее приблюкение. 525 16.4. Дисперсиониые зффеггты 16.4. Дисперсионные эффекты в приблизкеник более высокого порядка Временно вериеькв к частной модели с лагранжианом (16.12), чтобы оценить влияние членов следующего порядка в модуляционном приблизкении.
В папи линейной теории исходными, кюг и ранее, являются разложения (16.10), но теперь после подстано»- ки сохраннются производные коэффициентов а, аз,..., Ь, Ьэ, как было объяснено в $ 15.5. Для стационарных пучков зти параметры модуляций нвлнются функциями только от х, и из (16.12) видно, что производныа по х возникщот только в члене — с,'Ц„* (обобщенном на болыпее число пространственных намерений). Подставлня разлозкение а . иэ ф=.— мп О+ —,эщ38+ .. а За эквивалентное (16.10), видим, что э усредненном лагракжиане (16.17) появляется дополнительщай член — —," а', 4 аз 'Г Исклгсчеггие нараметра Ь с помощью (16.18) не затрагивает этого члена; следовательно, он добавюзетси и к (16.19).
Паконед, обобщив выравзение (16.19), нак и выше, имеел1 (( гз (ы) у а а + гзэ (ы) ггз (гс) гэа — а 1 зэ) 41" аэ 1 З 4 аз 'з' (16. 50) Вариационные уравнения теперь имеют вид ба: (гф — ~ !а Ьнэагаэ+ — а,, =.0 (16.51) (16.52) 60: — (йзаз) = О, а ураннение совмесжюстн — вид ЭЗ, ааг — — '=-.О. (16.53) дэг дэ1 Дополнительный член в (16.51) носит дисперсконпый характер и противодействует фокусировке. Для того чтобы пучок начал фокусироваться, нелинейный член пэнзаэ должен доминировать над диснерсионнмм членом сэа„„ /ыз.
Если начальный радиус пуч1н Гл. 16. Приложении нелинейной теории, на равен г„, то ато дает оценку е ас а ~ —— атт„' (16.54) для требуемой критичесной интенсивности. По мере того кав пучок фокусируется, воарастает (аа счет сокращения поперечного масштаба) влвяпие члена а „и появление осебенности предотвращается. В общем случае можно огяидатгч чтб ширина пучка будет осциллировать в соответствии с осциллирующим алиянием пелинейности и диспеРсии. В качестве частного случая следует ожидатгч что имеется репюние, представляющее однородный пучои, все Параметры которого пе аависят от ресстоявия вдоль оси. Для плоского или осесимметричного пучка уравнения имеот аид йг= (Ь Ьы Обоюючии черве ию аашлитуду, для которой' (16.55) тогда н + — "' а,— 27Кай(а*а — наГ ''"' ' " (16.56) где, нан и ранее, у .— ла!(2яс), К' =- ю„'л;,'(стВ В 'плоском случае т = 0 и уравнения интегрируются, давал, а„* = уКеат (аа — ат), ' ' (16.57) где а, =-- а*) 2 — максимальная аыплитуда (ае — аыплнтуда в точне перегиба профиля).
Саответстаующеб'р(айе(гид"ймеет внд а = ае весй (уытКару).. г, (16.58) Это аналог уединенной волны нестационарной теории. Если в равенство (16.57) ввести постоянную ицтегрвровцрия, то можно получить осдиллирующие периодичссние по Крешепия. Они аналогичны нцоидальным воллан. Дяя осесимметричного пучка с т =- 1 решения уравнения (16.56) были получены численно Кьяо, Гармайром и ТаунсомИ), а таки~а Хаусом И!. Первые вычислили решение, соответствугащее решению (16.56), и окааалось, что оро монотонно убывает от ар при г =- О до г(уля п()и Ь -т со.
Хаус йашел ойцллй)))1)Жщие решения с постелена(Ь аатулаюЩей амйлвтудой, онйеьшающие пучок, окруженный дифрвйциояпыми иольцамв: Смолл [11. Каметил, что уравнение" (16.56) в беараамйрной 'форме 'с' а'=' в/еч и 16.4. Дисоерсионные эффекты г = гКаэ (27)л'э ассоциируется с вариациопным принципом б ) г (ае~-аэ-- — ал) Нг ==О, е и, используя метод Рэлея — Рнтца, показал, что а =. 0,8488 ехр ( — 0,2495г') + 1,3156 ехр ( — 1,1810гл) является хорошим яриблвжениелг к решению Кьяо, Гармайра и Таунса. В втих безразмерных переменных требуемаяиатенсивность равна Р=- ~ аэл.л(г — 1,86. с Узкие пучки В приближении узких пучков уравнения (16.51) — (16.52) преобразуются при тех аге предположениях, что нривелн к (16.39) — (16.40).
Теперь имеется дополнительный член со второй производной, включенньлй в ((бл.39), так что имеем Лл(2д„+л„')а=- — "' Клал+ (а„+ — "' а,), (16.59) (16.60). дг " дг Положим Ч' =- аелл". тогла вти два уравнения объединяются в одно 2лК вЂ” -~-улЧ" + — л Кл) Ч'~э Ч"== О, д '- лл (16.61) где * дл ад : — —,+ — —. да г дг' Это нелинейное уравнение 10редшпера, встречающееся в ряде.
раэлвчнпх задач, имеет некуал каноническую структуру в том же смысле, что и уравнение Кортевега — де Фриза. Удивительно,что. длн плоских пучков (т -= 0) можно получить широкий класс точяых решений, используя метод, развитый Гарднеролг, Гринам, Крускалом и Миурой (П для уравнения Кортевега — де Фриза. Это было указано Захаровым и Шабатом (1!, которые пошли дальше и дали исчерпывающий анализ этого уравнения. Реаультаты будут наложены в гл. 17. К настоящему моменту было сделано столько различных приближений, что проще вывести уравнение (16.61) пепосредствеино.
Гл. 16. Приложения нелинейной теории нэ уравнении Максвелла, предположив, что Р н Е связаны некоторой нелинейной зависимостью. Для плоского пучка имеем т Ез+ — Ре =с,'(Ев тЕзз) ге и, добавив соотноп|ение )' = (лз — 1) геЕ + пзпзззо'Е получил~ (с достаточной точностью) щз Ен Р яея,азйл = с,' (Е„-~- Е „) Тогда жли Е.=-.— 'У(з, у) с'и"-1ж.~- — Ч" (з, у) с-'и е т 1 'ч Кз(Ч«)з Р— 21КЧг„— Р,з — Ч'„„.
Пренебрегая Ч',„, получаем (16.61). 16.5. )'енерация второй гармоники Одним из наиболее впечатляющих экспериментов нелинейной оптики явзяетсн превращение красного луча в синий прв прохождении через нелинейный кристалл. Вто хараптерный пример образования второй гармоники аа счет нелинейных зффекто»; его теории строится в духе общих идей Ч 15.6. Такай энспериыент впервые поставили Франкен, Хилл, Петерс в Вайнрайх (1).
Полное изложение теории дано Я ривом (1, гл. 21). Отметим кратко основные моменты. В этом случае соответствующим нелинейным эффектом является сзадрюяичязя зависимость Р от Е и предполагается, что компоненты Р задаются соотноюеяиями Р. — (н~ — 1)ззЕ~ -)- ечьЕтЕ' (16.62) Гаков поведение (с ненулевыми Нп„при неравных между собой ц ) з й) демонстрирует, наприыер, днгюцюфоо(мт аммопия. Апизотроптя этого соотво~сення соответствует анизотропин кристалла. Для трехмерного варианта уравнении (16.4) оно моделируется весимие~ричной потенциальной ямой )' (Р) Релиз. В общее| случае вследствие дисперсии величина и, зависит от тастоты ю, но ковффвциенты Йыз, как правило, от ы яе ваэисят.
Уравнения Максвелла можно привести к одному. уравнепию МД; 1 Ззе; (16.63) 529 16.5. Генерация второй гармоники Однако, в случае когда существует несколько взаимодействующих мол с равличпымн частотами, необходилж известная осторожность прн непосредственном использовании соотяошеяия (16.62), поскольку и, зависит от ы. В то же время если Р, расщепляется ва две части Р, = Р(+ Р(, где Р; ошюсится к линейной части, а Р;. — к нелинейной, мы внаем, что для любой отдельной частоты , Езд, т д*р; г взвг ( + — ) = — Е = — йзЕь (16.64) сзз 1 ди зз ди ! сз где й (ы) — соответствующее волновое число для линейных волн. Рассмотрим теперь ряд взаимодействующих плоскшс воли, ри з-компоненты иоторых соответственно равны Ез = — ~ А(ю (л) ехр (сй„— ио„)); а вдесь а = ~1, ~ 2, ..., /с „=)с„, ю = — ы, А' ' =А'"» и й„, ю„удовлетворяют линейному дисперсионноыу соотношению. Подставив зги выражения в (16.63), получим ЛА( > изида> ~~ (15 —,+ —,— ) ехр()й„л — Из Г)=рз Ро Нелинейный член Р приводит и модуляпиям амплитуд Аз»6 Предполагается, что зги модуляции медленные по сравнению с перыодом волны и что вторыми производными по х можно пренебречь.
Полагая Р;..= АызЕсЕ„, имеем СА,'.ю ~ Ж вЂ” ехр(гй и — ио с)= Лз Рз А~ (ма 4 ю )збн 4!сзАззтз ехр(1 (Усе+)с„)л — 1(меля юг) 1). с. т (16.65) Для трех взаимодействующих полн с частотами, удовлетворяющими условию резонанса ец+ыз=озз, (16.66) члены, пропорциональные с~в'з, дают — — — мс)мзА А), ехр (1 (йз — йз — ~) л). 447' Сюяз,в з» !'л. 16. Прило»кения нелинейной теории Аналогичным образом лз(о — = — Ю//~г»г/» 'А» ' ехр (г (/у — й» вЂ” /г,) я), /ры» !» ш /Ы хв» лл'о =- ""'" ы,Н»/»А»о'г(Р ехр( — /(й» вЂ” й» вЂ” й») х). твр Если предполо»»<нть, что первоначально при х = 0 амплитуда А'»' — - 0 и что первичные волны Ал' и А'»' очень мало ослабляются взаимодействием, то в уравнении для ЭА'»'/бл»»он<»»о считать Аш и А'»' постолнными и получить (/ -»*м) ~р~ Раг» / Ае)да> 0 Лй йг й» вЂ” й» Амплитуда пропорциональна (зш (Ч, гйй))/('/»Лй), Если взаимодействующие волны удовлетворяют условию резонанса Л/с =й — й,— й =-0 (16.67) точяо, то сначала а»шлитуда А'»' возрастает линейно по г, но аатем следует включить в рассмотрение другие уравненил еааииодействия (иа которых оледугт, что А'л и А'»' уленылаются по мере возрастания А'в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
