Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 97
Текст из файла (страница 97)
При ййо ) 1,36 моду. ляции растут; при ййс( 1,36 они распространяются типичным гюгерболическим образом. Неустойчивость длн волн на глубокой воде впервые была установлена Бевджаыеиом И) т) при помощи рндов Фурье, указанных в 115.6. Именно тогда была понята важность эллиптнческих уравнений ыодуляций и быко вмведепо критическое значение йй = 1,36 для случая конечной глубины.
Это значение ветен было под*верждено Бенджаменом с помощью его фурье-компонснтгюго подхода. Такая последовательность событий укаэынает на ценпуго вааимосвяэь двух подходов. Следует опять отметиттч что «неустойчивый случай» указывает на рост модуляций и необязательна на хаотическое двюкепие. Чтобы оденить окончательное поведение, следует включить днсперсионные члены высшего порядка, как было списано в 1 15.5.
Ив проведенного там анализа мм заключаеы, ыо следующеи стадией будет развитие модуляций, для которых огибающей волнового пакета явится последовательность уединенных волн. 16.12. Волны Стокса на отмели Для волнового пакета, приближающегося к отмели, парвыетры модул яцяй ьюжно считать не зависжцими от 1. Тогда иэ уравнений модуляций имеем четыре соотношения ю =. сонат, — Хь = сонат, у = бонн, †.Иа = соню, определяющие й (х), Е (х), р (х), Ь (х) черен нх начальные постоянные значения иа глубине и распределение глубин Ьо (х). В низт) См.
танже следуюжво статья. "Захаров В. Ь., Об устоячнвсстн нонн н вслввейвмх средах с даснерсней, ЛГЭУСт, И (1666), нып. 1С: Об устойтвноств ноля ва понертзюстн тяжелой жвднсств, ЛМ ГЮ (1668), Ж 2.-— Нрнл. рнс. 541 16.13. Волны Стокса на поверхности патака шем порядке приблнжевяя первые два соотношения имеют вил ю=оь>=(ейсьй)а>] с =соле>, Е (16.105) — Вь — С =с нн соо Этих соотношений достаточно для определения распределений й (х) и Е (х) а терминах распределения глубин до (х). Поскольку частота соо постоянна, ооотношение для Е можно также интерпретировать как постоянства патока энергии ЕСю но, по-видимому, дая таких «адиабатических» процессов предпочтительнее формулировка в терминах волнового дейотеия. Соотнопсения 7 = сонэ», — Уа == сонэ« определяют сопутствующие малые иэменения параметров Ь вЂ” Ьо и р.
Реаультаты таковы: С >2С» > Е 64 й — й,= — — ( — 1) —, 2 о Рсао ' (16 тйб) Е (При нычислении параметра т испольеована неэначительная модификация, отмеченнал в (16.74).) Эти формулы указывают на некоторое понижение средней поверхности и ва встречное течение, компенсирующее индуцируемый волнами поток массы. На шельфе амплитуда возрастает с уменыпением глубины. При достаточна больших амплитудах, которые можно оценить лаба как аФ =- 0,142, согласно вычислениям Мичелла дчя глубокой воды, либо как аlйо =- 0,78, согласно оценкам Мак-Катана для уединенной волны, требии заостряются и теория Стокса перестает быть применииой.
16.'2(3. Волны стокса на поверхности потока Подобные рассуждения првменимы к волнам, распрастраннющимсн вдаль неоднородно>о потока, имеющего скорость (7» (х), что можно считать следствиемиаменения глубины йо (х) или подтоиа жцнкости сниэу.
В этом случае имеем равенство ы=И)„(х)+юо (1с) = И(о (х) + (Е/с»51сйо (х)) ся=-сопл>, (16.107) для определения й (х) и равенства Еь = (( о (х)+ Со (х))" салат Е ио для определения амплвтуды. В случае глубокой воды ъ=(дй), "=(-,), со=--2" Гл. 16. Приложения нелинейной теории н результаты можно предстввить в виде йео + (йй)ов =- сопвс, Есо (2ео + сс) = сопвс. Эти вырьжевин впервые были получены ЛонгшХнггннсом я Стювртом (2) после подробного непосредственного впвливв урввненнй движения. Для полн, дввжущихсв невстречу потоку, формулы двют особенпосттч предскввыввкщую, что Е-ь со, когдв величина групновой скорости приблвжвется к скорости потоке. Нв втой ствдвн следующие члены порядки йт ствновятся ршяеющнми н определнют конечный ревультвт.
Этот вопрес быт неучен Креп- вером (П и Холлидеем (1!. (16.109) ,)Раенение Кортееега — де Фриза Завершая вту главу, построим теорию модуляций дчн урввнеяий Кортевегв — де Фриза. Этот вывод имеет ряд специфтшеских черт, и для получения точных соотношеш~к нв хврвктервстиквх необходимы нетривиальные прнеыы. По-видшюму, их стоит вдесь описать, учитывая центрвльное полотненне денного урвкпения в ивучеемом предмете и вовможные свяви с дальнейшим ввелнвон его точного ршпення. 16.14.
)Зариациоииаи формулировка Удобно выбрать такую нормировку, в которой урввиенне принимает вид т), + бцц„+ 1)„= О. (16.ИО) Для етого уравнения в его нестоящем ниде ввривционный принцип отсутствует и необходимо ввести квкое-либо потеяцивлыюе предстввлепиг. Простейший способ — полотвнть т) =- рм тогда урввненяе переходит в следующее: ф„+бы,ы„„+ И „„„= О ()Г>.(И) и соответствующий лвгрвнживп таков: т т л тнр 'Р + У 2 " 2 (16З 12) Можно было бы в уравнение (16.И1) ввести 2 == ф „, рвботвть с двумя фунвциями гр и у и испольвоввть лвгрвнживя, содержещнй только первые проивводнме.
Этот способ обладает тем преимуществом, что к нему применима общая теория $14.7, но проще иметь дело с лвгрвнживном (16.И2), польвуясь некоторыми специальными приемами. 543 16.14. Варивдионпвя формулировка Необходимость в потенциальном предотавлепии хврактерна для структуры денной ввдечи и затрагивает ряд параметров адно- родного волповога пакете.
Мы должны положить р = Р+ Э (6>, Р = >)* — 21, 6 =. ) — ий Тогда ») = () + й»6»е (16. МЗ) и параметр 6 отвечает среднему внвчению переменной т). В терминах д решение уравнения (16.110) типа однородного волнового пякете получается ив оаотногоенип 2»т)оее.т 6»)де — — „Че =- О, которое, очевидна, интегрируется, давая 2»г)ее+3»)» — ») -)- — - О, е 4»ч)>+2т)» — т)» ) 2В,) 2А О. (16 114) вдеоь Л и  — постоя»пи»е интегрирования.
Для етого режепия лагренжиап (16хН2) можно сначала выравить черве тр »» 1» В- — (у — — 0) О+ —.—,д — д + — ~~Ъ. а > 2 Ь а ветем при помощи (!63114) предетавить в эквивалентной форме В=4'6„+(В+ —,(у — )()>д — Л. (16.116> Далее получаем уореднвгп»ый лагравживв »и .2=- — ' ( ВВЕ. 2л е Согласно (16.113), 1 1 646 —.,Р, о согласно (16314), 2я ( ДЕ тк»У е где ') (16.МО) )Р (Г), В, ()>=- — '$(2А 236+ВО» — 26»>»жлна (Г= )4. ') Символ 2) теперь обо»в»чает иелинееную фававу»о окораеть (в отличке «т 1 16.9 — 16.12, где он кепольвавелоя лля обо»качения скорости патока массы). Тл.
16. Приложения нелинейной теории Наконец, .2 = йит (А, В, В) + 6В+ — бу — — бт(Р— А. (16л17) .Бариацяонные уравнения для тройки (у, 6, В) имеют вид бВ: 6= — йи'„ бй: — '~ — '6)+ — (Цз — — у — В) =о, совместность: — + — = О. дб ат и да Б силу последних двух уравнений, бев потери общности можно положмсь у = бтб — В, тек что имеем () = — й)ра М = -й())ув — В и — '(й)ра)+ —,' (й()И а+В) =О. (16.116) Для трожсн (ю, й, А) вариеционнае уравнение лля 66 удобно ваменить уравневием сохранения импульса — „(йу. + бмт)+ —,. ~х — йуь — Ьхд) = о.
д д Имеем бА: йИ'„=1, импульс: — (й)ро) й — (йо)рл — А) =-О, д д ж де совместнсстте — + — (й()) —.. О, и = Ыт. да д ж де (16.119) (16Л20) (16Л21) В терминах в*их переменных волновое число, частота и среднее аначеняе т) = (1 определяются равенствами й= — ', = — ", 6= — ф. (16.122) Уравнения (16.Н8), (16.120) и (16.121) можно рассматривать как три уравнения для А, В, С с переменной й, аадаинай уравпепием (16.119). Более симметричная аквивалентлая система имеет виц — + (т — + и — =- о, ""в ди'в дя дт де да (16.122) — +г — — и„— =.о.
дяь дна дп ж де л да 16.15. Характеристические уравнения Лмялитула а опрецеляется из формул, свяаывающвх нули кубического по И' выражения с коэффицнеитаии А, В, (Г. В физических аадачах в качестве основных параметров естественно вь|брать й, Р, а; тройка А, В, () является экяивалентным набором. Дисперсианное соотношение ы †- ы (Й, 6, а) неявно эалается вторым иа уравнений (16.123). Уравнения (16.122) имеют разумна снмметрнчный вид, в то вреыя как исходные вариационные уравнения лля 6 и у выглядят неуклявке.
Это,по-видимому, свяаано с гибридной природой уравнения Кортевега — де Фриза как приближенна к исходной теории волн на золе. При выволе этого приближения скорость жидкости выражается череа глубину (см. (13.102)), так что тройв* у, Р, В перемешивается несимметричным образом. Например, параметр 6 вводится как средняя высота в выражении (10.113), однако з своей естественной роли он равен средней скорости жихкости. В более ситиэетричной системе (16.122) такая кзойствепность сглаживается. Кроме того, из-аа потенциального представления нач сначала пргпзлось иметь дело с системой четвертого порядка, и более удобное выражение восстановилось только после того, как мы вернулись к системе третьего порядка. 16.15..ьарактеристичесггие уравнения Система (10.122) з общем случае нвляется гилерболичесноя, и мы теперь рассмотрим характеристические уразнеяия.
Фуякцито И и ее проиввоцные И'„, И'», И'о можно выразить через полине зллнптичжкие интегралы и мшкно непосредственяо вывести уравнения в характеристической форме, но при атом прядется изрядно потрудитжя. Удивительно, однако, что если вместо А, В, Г в качестве переменных использовать нули р, д, г кубического уравнения т)' — — (Газ+ Вц — А = О 1 г (16.124) и если учесть равлнчные (нотривиальягзе) тождестве мюнцу вторыми проиаводными функции И», то уравнения моягяо прелстазить в простой форме, длн которой характеристические соотношения и скорое~и очевидны. Оказывается, что уравнения можно аанисать как (д+ г)г -1- Р (д+ г) „= О, 1 =21(Р+д+г) , (к и'„....
д (гг — мв)+г (и в — и д) т (16А25) Гл. 16. Ирило;асиля иелвяейиой теории 1 + г " + Р Р + 1 (16. 126) а соответствующие характеристические скорости Р, цр, В равны коеффициеяту в (16.125) и соответствующим циклическим перестановкам. В атом месте палеева выраавть ивтерегуюп(ие вао величины череа эллиптические интегралы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
