Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Таким образом, последовательность обрывается на 7»7» " ° (в (исчерпывающем все произведения беа повторяющихся и»щексов), и существует точное решение вида Р.=1+~',7»+ ~~ а»»)»/»+ " аг»Д»7»)»+... (-а» яЯ»...(н. Т»4» 3»»ь» Это уже достаточно поразительно, однако можно еще локааат»ч что решение можно ачписать в видо (17.19) Р = бвг)) Р..)), где ') (17.20) Этот результат впервые бьш обнаружен при более общем подходе, который будет описан в следующем параграфе, на его можно про верить непосредственной подстановкой в (17.11) (см. Хире»а (1)). Решение с )У модами 7» описывает взаимодействие )У уединенных воли. Расс»ютрнм случай Д» == 2.
Решение для Р дается формулой (17.18), а соответствующее выражение для ц, заданное фор- ») Существует ряд зквав»левтаых вырмкенна у „, нрююд»щвх к адному и тому же окоачапжьасму вираж»яви дла Ч. Гл. 17. Точные решения мулой (17.6), имеет вщ( а а,'(»+а»»(»+2(а — а»)»)» а 12 ~ (1+)»-(- »+(( — д)/( -1»)Л )») + + ((а,, — а»))(а»+ а»))» (а))()» 4- а( |Л) (»ДИП+1»+(РŠ— аббе,-(-ай)»)»)»)» (17.21) где 71 =- ехр ( — а» (я — з,) + а»»1). Уединенную волку (17.12) можво аавигать через ! в виде а (а») 12 ) (1+еж ' где ад доствгаег максимума при ( = 1.
Отметим, что максимум амплитуды о») =- За', положение максимума = з + а»1, скорость волпы = а'. (17.22) (17.23) 1. При )»гв(, !»((1, аИ» .12" =- (1+)» 2. При !» 1, !»в»1, е ((໠— а»р(а»-)-»Ч))» а*)»)'» а»» (» Щ (й-1-((໠— »Чйа»-)-а»)П.»1»)» (1+1»)» П = ( — „, „„;)'!». Последнее выражение описывает уединенную волну а», у которой параметр з» заменен яа » а»-1-а» »» з,=з,— 1л ( ); (17.24) а» ( «» — а»! зто отвечает конечному смещению профиля в л-паправленви. Аналогично, там, где ! ге 1, а !» либо велико, либо мало, имееы уединенную волну а со сдвигом (или бе»сдвига) уз. Там, где!» 1 и ! щ 1, находится область взаимодействия( там, где !» и (» обе »юлы или велики, имеем о») гк О. Теперь ясно поведение ваап»юдействующих уедипеквых волн, описываемых равенствам (17.21).
Положим дла определенности а ) а» ) О и»аметвм, что, согласно (17.23), уздияеккая волна а, болыве и двювется быстрее, чем уединенная волна а,, При 1 — т Решение (17.21) близко к уединенной волке о параметром а, в областах (х, 1)-плоскости, где !» 1 и !» либо велико, либо мало.
Чтобы проверять вто, »аыетим следующее. 17.3. Обратная задача рассеяния — ь — оо область взаимодействия, в которой У, си 1, Уе 1, отсут- ствует и выраженно (17.21) описывает уединенную волну а, на х=-е,+а,'Г, У, 1, Ут((1, с «т + «~ тэ уединенную волну а, на х= ее — — )л ) — ! +а,'г, о; «~ — «у У»1, У.=1: в осталысых точках «Ч си 0 1и Ут и Ут либо велики, либо малы). Это отвечает большей уединенной волне «т, перегоняющей меныяую уедипеннуго волну ат.
Когда à — ь + со, имеем 1 / «т-)-а~ ~е уединенную волну а, на х=-е,— )в ~) ) +«',г, щ т«т — а~! У, ся 1, У, » 1, уединенную волну а, на х=-е,+а,'Г, У,((1, У, 1; в остальных точках от) 0 Замечательный результат состоит в том, что уединенные волны выходят иа области вэаимодейетвия беэ иэменения формы е перво- начальными параметраии а, и аю более быстрая уединенная вол- на ае теперь находится впереди. Единственным напоминанием о процессе соударения является сдвиг вперед на — )п ) ~ ') у уединенной волны а, «э — «т и сдвиг наэад на — )п ~ ! у уединенной вечны ао а, 1ая-а! Вэаиыодейогвие происходит в окрестности точки ае — Н ай~ — «тт ет «т «у «т «т В етой области Ут ос 1, У» сх 1, и г17.21) описывает, кан две волны сливаются, а затем расходятся, поменявтпиоь местами.
Аналогичные результаты можно вывести иэ выражений 117. 19)— г17.20) для случая А" уединенных вали. В конечной стадии при à — ь оо существует )у уединенных волн, амплитуда и скорости которых воврастакп при приближении к фронту и которые уда- ляются друг от друга по мере увеличения Г. чл7.3. Обратная задача рассеяния Для согласования с оригинальными работами при вале~кении теории мы временно полоисим и = — т); 6 117.25) Гл.
17. Точные регневия тогда уравнение примет вид и~ — бии„+ и„„„= О. (17.26) По аналогии с уравнением Бюргерса популярньвч первым шагом при построении решений лвляется подстановка и во одна опа далеко ке уведет. Гарднер, Грин, Крускэл и Миура [1! продвинулись дальше, положив и= — "+) Фю ф и заметив, что ато равенствО можно записать как приведенное уравнение Шредингера + (й — и) з) = О. (17.27) Предположителыш в этот молгепт акцещы сместились и (17.27) стали рассматривать ве как преобразование, упров~ающео уравнение для ф, а скорее как ассоциированпуто задачу рассенння, при помощи которой информацию о ф ыожзо использовать для иредскааания свойств функции и.
С атой точки эрепил волновой профиль и (з, г) представляет собой рассеивающий потенциал. Время г фигурирует кан параметр) для каждого значении Г существует своя задача рассеяния. Этот временнбй параметр совершенно отдичен от времени т, которое мов;ко бпас бы восстановить в приведенном волновом уравнении (17.27)подстановкой й (з, т, г) †. ф (х, г) х Х ехр (с)').т), получив — ~Є— и (х, Г) гр = О. (17.26) В дальнейшем мы вернемсн к уравнению (17.28), а пока примем приведенный вариант (17.27).
Для использования равенства (17.27) необходимо при помощи (17.26) найти уравнение длн ф. Поскольку значения параметра Х должны принадлежать спектру задачи рассеяния (17.27], а задача люеплется с изменениелг Г, первоначально следует считать й функцией от г.
Подставив (17.27) в (17.26), после ряда хитроумных преобразований находим, что уравнение можно ааписать в виде ф зх»- — „" (ф()„— ф())=О, (17.29) О=-ф 6 ф — з(и+)')ф . (17.30) Ограничиьюя теперь рассмотрением решенвй уравнения (17.26), которые при ) х ) сс достаточно быстро стремятся к нулю. При втих условиях спектр задачи (17.27) дискретен при з ( О 17.3. Обратная задача рассеяния и непрерывен прн Х ) О. Для дискретных собственных значений Х„=.
— я'„соотзетстзу»ощие собственные функции ф„удовлетворнют соотношениям )ф„) †»-О, )л)-»-0 О< ~ 4;",а-< Следовательно, интегрируя (17.29) от †до сс, устанавливаем, что )ч не аависзт от г. Для непрерывного спектра будем считать а ) 0 не зависящим от си рассмотрим поведение ф при изменении г. В любом случае нз (17.29) с»0.(»(г =- 0 находим, что (» = »Р» +»У„„— 3 (и + 1)»ц = С»Р, (17.31) где С не зависят от л. Мы теперь знаем, чш аволюция л»абаго решения»р уравнения (17.27) при фиксированном параметре 1 описывается уравнением (17.31). При исследовании задачи на собственные значения (17.27) удобно поло»кита Х = р» н работать с функцией у, удовлетворя»ошей уравпешпо (17.27) и условию 7 е»з", (шр)О при л-».-(-со. (17.32) Для того чтобы ага функция, введенная, скаже»», вля г = О, сохраняла одну и ту же нормировку (17.32) для всех г, потребуем, чтобы выражение (17.32) было асимптотическии регпением уравнения (17.31) для всех г.
Это отвечает выбору С = — 4»р», н наша система уравнений принимает вид ф +(р — )9..—.0,! (17.33) ф» )-ф — 3 (и+ 0')»Г„-)-41р»ф =.О. (17.34) Тг»»ерь мы даля»ны обьяснить, как эта любопытная формулировка позволяет вычислить и (г, Г). Метод опирается на утверждение, что рассеивающий потенциал и в (17.33) можно построит»о зная коэффициент отражения длп волн, приход»пцих иэ л —.— + со, и располагая некоторой информацией о точечном спектре.
Это обратная вадача рассеяния; в первоначальной поетавовке задача состояла в определении неизвестного рассеивателя по его отражательным свойствам. В даялам ко»пекете иеобходимап информация о решениях ф определяется не из эксперя»»энта, а иа второго уравнения (17.34).
Для определенности рассмотрю» задачу о нахождении и (з, г), г ) 0 по ээланной функции и (л, 0). Процедура состоит в следующем. Для данной функпии и (л, 0) сначала решаем задачу на собственные значения (17.33) и определнем дискретные собственные значения р =- гх„, соответствующие собственные функции ф„и коэффициент отражения () для падающих волн. Собственные функции Гл. 17. Точные решения можно выбрать в виде Ф, ( ) = Х (н, х), где у копкретизируе*си условием (17.32); кроме того, вводятся нормировочные коэффициенты у„=.
( ~ ф,',бх~ Рассмотрим теперь коэффициент отражения (). Лусть Ч' — решение уравнения (17.33) с начальным распределениеы и (х, О), имеющее следующее поведение на ~ос: е *' -Ьй(й)ез, х +со, Ч'(й, х)— а (й) е-'зз, х — ь — со, где й — положнтольное число: Отсюда определяются коэффи- циент отршкеиин й (й) и ковффицпент провождения а (!с), В этом состоит прямал задача рассеяяия: найти ~, у„и () (!с) для дан- ного потегщиала и (х, О). Обратнан задача состоит в определении и (х, О) по навестньлз х„, у„и 3 ()с).
Обратимся теперь к эволюдни этих рошений во времени. Мы внаем, что величины н„остаются неизменными. В силу (17.34) и (17.33), имеем Ш ~ 2'Нх==. < — 222 +42'.+брЪ')~" — 81р' ~ узгйт. Для собственных фуггьчСий р =. гя„и ф„(х, т) =- у (х, 1, Нс„] — ь 0 при х ~ со; следовательно, нормировочные коэффициенты равны ь О) -- ( ~ фф й*)т ' = у.е'""".
Решение Ч" (й, х, т) задачи рассенния будет вести себя как Ч' (й, х, т) 7 ()с, 1)е *"" + у (й, т)еи", х со, причем это выражение должно быть аснгппотическим регпением уравнения (17.34) с р = й. Подстановка убеждает, что ((й, т) =- е-зтьй, у(й, т) =(). Коэффициент отрюнения равен Ь (й, С) = " ( ' ) = (1 (й) ези ' . = т(ь, г) 17.3. Обратная задача рассеяния Обратная теория рассеяния позволяет восстановить и (х, с) до я„, с„(С), Ь(Ь,С). Короче говоря, прямая залача рассеяния для и (х, О) определяет и„, с„(0), Ь (Ь, О); уравнение (17.34) определяет эволюцию во времени; обратная задача определяет по етим величинам и (х, С).
Основнан трудность, несомненно, состоят в решении обратной задачи. Вто позволяет сделать известная статья Гельфанда и Левитана И)и ее рвали шые обобщении. Ит статья написана в терминал определении рассеивагащего потенциала и по спектральной фунсщии р (х), имеющей разрывы со скачками с„в дискретных собственных аяаченият Х = — н„' и непрерывный спектр 0 < Ь < < со, связаннын с Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
