Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 102
Текст из файла (страница 102)
В этом случае собственные вначения составляют (Ланцау и Лифшиц (2, стр. 98)) я„= — ((1-1- 4АИ)«ы — (2л — 1)) ~)0. Для величины Б, определяемой формулой (17.50), получаем Я =- яА»!Чй Число уединенньгх волн находится иэ условия 6»=»мийон»шее целое число ( — ((Г+ — ) +1~. 1, Ы» «/» 17.5. Произвольное начальное распределение Как и ранее,при малых Н зсегла образуется по крайней мере одна уединенная волна и число таких ваап растет с увеличением 5; при Ю аа анана имеем л Н вЂ” — „, и соотношение (17.49) выполняется. 4. Не срер»алас р«определение уединен«и волн.
Когда начальное вазыущеняе велико (Я-«са), существует многа близко расположенных собственных значений, удовлетворяющих правилу Бора — Зоммерфельда (Ландау и Лифпнщ (2, стр. 200!) ф р дх =. ~Ъ' Ъ вЂ” и, (х) дх = 2п (~ + — ) . (17.51) Поэтому число уединенных волн (наиболыяее значение и для Л вЂ”.
0) составляет Н- — 1 )» ) Э~= —. с Г ссх л и « ' (17.52) Эта и есть общее обоснование результата, полученного з двух последних примерах. Наибольшее значение ) Х ) для связаспсых состояний в (17.51) равна и, где и = ) ие ),„, тан чта н леясит в интервале 0 ( ( к ( и'Г', а амплитуда — в интервале 0 ( и ( 2и (17.53) (ам. (17А5)). Числа собственных аначеннй, расположенных в интервале (К ь + с)л), приблинсенно составляет дь. )с а — «е( ) Следовательно, число уединенных волн с амплитудами из иптервала (а, а -)- дп) равно прнблиаптельно 1 (а) де, где 7 (л) —.— —, й еп е 1' )«с) щ Этот результат анерзые укааал Карпман (Карпман 11); см.
также Карпман и Соколов И)). Уедиссессные волны распределены в интер- вале 0 ( а ( 2и, и их полное число подсчитываетсн по форлсуле 2 Ф= 1 7(п)да.= — ) )ие( дх, Ъ котора» согласуетсн с соотношением (17.52). Гл. 17. 'Точные решения После первоначального вваимодействии каждая уединенная волна с амплитудой а движется со скоростью 2а, и ее можно найти в точке х = 2аг при т-ь сю. Таким обравом, амплитуды расдределяются по вакону — О.с) — *~2 „.
(17.55) Получается треугольное распределение, приведенное иа рис. 17.1 и обсуждавшееся в 4 16.16. аа,с м Рис. 17.1, Серия уедввевиьх вела е ре1веввв ураенсввв Нортевега — вс Фрваа. г)испо воля!с (а, Г) в интервале (я, а + бх) определяется ив соотношения )а)т = 1'(и)ба; поэтому й(") =-Ф й) (17.56) где функция 1 вадана формулой (17.54).
Это фиксирует проиавольную функцию, входящую в сооыюшеиия (16Л44). 17.6. Преобразование Миуры и уравнения сохранения Построение метода нахождения точных решении уравнения Корте- вега — де бтрива во многом стимулировалось существованием бесконечного числа уравнений сохранеияя. Одвим кв путей гюлучения этих уравнений является преобрааование Миуры, имеющее и самостоятельный интерес. Реаультат подстановки вырювения и.= — =ха+о ЮЪ~ В (17.57) 17.6. Преобравовавне Миуры 573 в уравнение Кортевега — де бтрнж можно ваннсать так: (2о+ д ) (ь,— бьао,+о „)= — О. Следовательно, можно научать такгке уравнение о, — бото„+ г„„„= О, (17.53) свявав его с уравнением Кортевега — де Фрнва.
Модификация этога преобравовання порождает бесконечное число ваконов сохранепня. Подстановка 1 оц=ю+амг й.—,стюс с (17.59) дает (1+)е —,'+ —,' е~ ) ~ю,+(ю+ —,' е" л) ю„1- ~=0. Пусть функция л удовлетворяет уравнению ю~+ (ю»- — „. стиг) ийфи,=0. Тогда имеем следугощее простое уравнение сохраненкя длн ит ю,+ ( —, юв+ — сею'+ю„„) — О.
(17.60) Если теперь вапнсать ранение уравнения (17.59) относительно ю в виде формального ряда по степеням е: и~=-Хс"ю (Ц, 5=ад, а то для юя получаются рекурревтные формулы, п которые входят функция 5 н ее производные по х. Подстаннк это раввоженне в уравнение (17 60); тогда каждый ковффнциевт при е" (л =- 1, 2,...) даст вакон сохранения. Приведем несколько первых сохраняющихся плотностей: — Р— ОР'0 + — ь54 — 5", Существование бесконечного числа сохраняющихся веггнчнн ~ и„(„") Нх определенно способствует уверенности в том, что решения можно оейтн в явном виде. Гл.
17. Точные репгеиня Кубическое уравнение Шредингера Приложения кубического уравнения Шредингера Связь уравнения яит + и„„ + т(и (зи =- О с приблюнепным описанием модулированных пучков в нелинейной оптике была объяснена в 4 16.4. Здесь мы отметим его общее значение для зависящих от времени диспергирующих волн. Общее решение для линейной диспергирующей моды имеет вид г" (й) еяя -' яяяя Вл, причем равенство и = ы (й) представллет собой дисперсионное соотношение. Для модулнронанного волнового пакета с болылсй частью энергии, сосредоточенной з гармониках с залповыми числами, близкими к некоторому значению йы функция г" (й) сконцентрирована анапа й = йз, и интеграл (17.61) можно аппроксимировать выраякением Ф = ~ Р (й) ехр ((йх — (ия+ (й — йя) ю'+ — (й — й )*и ) г) ауя где ю, — ы()яя), м', = ю'(йз),....
Эта з спою очередь можно записать в виде Ф = — яр ехр (я (йях — ызг)), (17.62) где Я7= ) Р(аз+и) ехР (Яих — Я(и(а',+ — итеЯ ) Г) г(к и произведена подстановка й = аз+ к. Фупкцив (я описывает ягодуляции в (17.62); она удовлотваряет уравнению я (и, + ы,гс„.) + —, сур ., = О (17.61) н соответствует дисперсионному соотношению (17.64) 575 17.8.
Волновые пакеты и уединенные волны Уравнение для Ф соотжтствует нсходному рааложению о> = саз+ (й — (сс) а,'+ — (й — )сз)за,, 2 т. е. имеет вид >Ф,— (а — йнз,' ф — йа,~ Ф+с (а,' — йза) Ԅ— а,"Ф == О. Преобразование (17.62) исключает дополнительные члены. Если зто приближепие к линейной дисперсии объединить с кубической наливай>>остью, то получится с (ср, + а ср„) + — а ср„„+ д ) ср (* ср = О. Поскольку д> -- аса"-стю по-прежнему явзяе>ся решенном, видим, что нелинейнаи поправка к днснерснонному соотношению модифицирует выра>кение (17.64) так: ру = жз,'+ — ксо>, — да .
> 2 Пчедователь>со, устойчивость или соответстве>псо неустойчивость модуляций в сыысло 4 14.2 и 15.3 устанавливаются следующим обрааам: да, "с' Ос устойчивость, да, ) О: неустойчивость. Уравнение (17.65) кол>по привести к каноническому веду, сначела перейдя к систелсе отсчета, движущейся с линейной групповой скоростью сз', (ато позволит исключить член с д„), а ватем лере- нормировав переменные. В результате мы получим уравнение си, -1- и„„+ т| и )>и = О, (17.66) в котором коэффициент т имеет тот же знак, что и даз. 17.8. Однородные волновые пакеты и уединенные волны Как обычно, ищем решения в движущейся системе координат Х = х — Пз, но теперь допускаелс поправочный козффициепт, т.
е. допускаем решении вида и=-ссм сии(Х), Х = х — Пй где г и з — постоинные. Это можно интерпретировать как некоторыйй произвол при вибо ро а ко по ненциальноп> множителя в (17. 62). Подстановкой получаем обыкновенное дифференциальвоо уравне- 576 Гл. 17. Точные решеяия нне для ш г" + 1 (2г — П)г' + (г — гс) о + т ) г (» и = О. Положим теперь в вх г= —,, з= — — а; 2 ' 4 первое условие поаволяет исключить ччен с гц Тонерь можно счи- тать, что с вещественно и удовлетворяет уравнению Это жши шов уравнение длн кпондальных волн.
Интегрируя один раз, получаем уравнение И< = А -)- агз — —, г", х которое решается в аллиптическнх функциях. В предельном случае уединенной волны имеем т ) О, А = О, а ) О в ( Га )ыхе ) «з( ()Г) (17.67) Это решение описывает волновой пакет л, аналогичный наобран<енпочу на рис. 15.2 в распростравшощийся бев искажении формы с постоянной скоростью. И<перес<<о, что величина ) Ч )х пропорциональна зесй ', т. е. той гне фуш<ции, которая описывает уединенныо волны для уравнения Кортевега — де Фриаа. Важное различие, однако, состоит а том, по теперь амплитуда и скорость ннляются нсзависпяыми параметрами.
Следует особо отметить, что решения (17.67) веаможны только при т ) О, т. о, в случае неустойчивости. Это опять указывает на то, что в результате воздействия малых модуляций неустойчивый волновой пакет переходит в серн<о уединенных волн. Такое зак<поченне подтверждается аналваом Захарова и 1Пабата, приведенным в следующем параграфе. 1<7.9. Обратная задача рассеяния В одной на наиболее интересных работ, относящихся к »той области, Захаров н (Пабат (1) показали, как, следуя Лексу (1)„можно применить обратную вадачу рассенния по аналогии с методом решения уравнения Кортевега — де (бриза.
Этот метод годится чля любого уравнении и< =Ям, 577 17.9. Обратная аалача рассеяпян которое можно представить в виде — =«(Ь. А) =-г(ЛА — Аь), зь (17.68) где й и А — линейные дифференциальные операторы с ковффициевтами, содержащими функцию и (л, Г), а д! (дс отвечает диффергпцирозавию и по Г з выра>ковки для Ь. Как только такое представление получено (весьма нетривиальный шаг), решение строится следующлм образом. Рассмотрим задачу па собственные зпачевия (17.69) Дифференцирование по Г дает .,а.. дй ..
дб бф — -'г(о — = айфор+1 —.' ф = и дг дг = 1Ьф — (бА — АЦ 9 = = — Е (19~ — Аф)+ХАф. Следовзтельва, тф — = (6 — Х) ((1З вЂ” Аф). р и Если в начальный момент функция ф удовлетворвет уравнению 7 ф = )о) и ее зволюция зо времени описьжается уравкевиеы ~Ф =- Аф, (17.70) то ола продолжает удовлетворять уравнению 7 ф = )з) с тем же зпачепвеи Е Ураввевие(17.69) связывает фупкцию и (х, г) с задачей рассеяния, а ураавевие (РК70) дает аависимость давших рассезкия от времеви. Решение аатем строится так же, как и выше.
Ураввекке (17.68)при атом ляпнется условием совместности уравнений (17.69) и (17.70). Репжюшвй в~ах состоит в выделении оператора (е входящего в чравпезие (17.68). Захаров и 10абат зая~етили (по-видимому, нужно было просчитать мвого вариантов), что л~атричшзе операт ~ры осуществляют требуемое представление (17.68). 578 Гл. 17. Токные решения Начинан с этого места, их аналиа аналагичон исследованию уравнения Кортовега — де Фриза, хотя существенное иамекение вносится необходимостью рааса~стрелил обратной аадачи рассеяния для уравнения (17.69), поскольку оператор Б нсгамосопря>пенный. Была разработана соответствующая техника сингулярных интегральных уравнений, несколько отэичазощаяся от подхода Гельфанда — Левитана. Захаров и Рйабат использовали ааолюцию ф, описываемую уравнением (17.70), длн получапия информации о поведении матрицы рассеянны, а затем по атой информации построили и (к, г).
Здесь также окааывастся полезной альтернативная версия, основанная на уравнениях, аналогичных уравпенияы (17.38) — (17.39). Качостаешю результаты аналоги шы результатам для уравнения Кортовега — де Фриаа. Решения, описывающие взаимодейстэуюитие уединенные волны, получаются з янном энде и отвечают случаю, когда вклад даат только ~очечный спектр. Выражение для )и )э снова имеет вид )и)эс —,)п)Р), где ) Р ) — определитель иа экспонент, на этот раа свяаанный с оператором д И г — + —. дс дгз Зто решение опять подтверждает, что уединенные волны сохраняют свою структуру и выходят иэ области вааимодействпя в своем первоначальнол1 виде с возлюжными аадаржкамн, вызэанныьзи азаимодействиеы.
Решение задачи с началыгыми авачениями находится так же, как и выше,и кажется ясным, чтопрн больших значениях времени домипирует вклад точечного спектра. Ото означает,что воамущания стремятся иерейти в серию уединенных волн. Анализ ограничен решенинми, для которых )и ) О при )х ). со, но кажется справедливым предположение, что серии уединенных вали авляются конечным результатом рааактин волновых пакетов, неустойчивых по отношению к модуляцияль Уравнение Ьф) д-д ардона 7жэическиэ аадачн, в которых астречаетан уравнение 8)а-Гордона, )ыли перечислены в 5 14.1. Там гае был описан класс решений ч, териодически аспиллируюшнх около к = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
