Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Кэй и Мозес И), а таьже Марченко И) разработали непооредственный способ восстановления и (х, 0 по н„, с„, Ь; исчерпывающий обзор дан Фаддеевым И!. Результат состоит в том, что л и(х, С)=- — 2 — К(х, х, С), Лэ где функпин К (х, у, С) удовлетворяет линейному интегральному уравнению 'У'С)+ (Х+Р С)+ )(7((Х, З, С)В(э+р С)бэ — 0 (17.36) в котором В (х+у, С) = ~~, с„(С) етр( — н„(х+р))+ + — ~ Ь (Сб С) ехр (07 (х + и)) бй =- ~ъ 7 етр( я (х+у)+Еэхг)+ + —, ) 6()г)езр(!Ь(х+д)+Егйзг)бй; (17.37) начальнан фуннция и (х, О) определяет соответствугощие параметры э, 7„, 6 (Сс).
Вывод соотношений (17.35) — (17.37) с поэющью спектрального подхода требует более глубокого расслсотрения, чем здесь уместно. Но Баланис И) показал '), что, по крайней ыере формально, Л Эют эодход хороне известен е моран рассеевая. Обойэенла, еэлючыомне некоторые меошмервме ээдачн, можно навтв з рабою В. Е. Захарова л А.
Б. Юабата, ХвмэС. аэа и эгэ эри ээмээ, 8 (1974), емэ. 3, 48 — 58.— Прэ . рэд. Гл. 17. Точные решеявя 664 Леыгюрнвтиенвя версия Гудем считать уравнения (17.33) и (17.34) преабрааованиями Фурье уравнений ср — ф,т — иф =- О, фс+ф „— Зиф +Зф„ю — 4|р„,=-О, свяаь1вающнх функдию и (х; т) с функцией ф (х, т; 1), где ф(х, т; д)= ~ ф(х, р;!)введи. Эту систему уравнений можно написать бояее симметрично: Мф=ф„„— ф — иср = О, Лр= р, +бр — 3 дф = О; (17.38) (17Л9) при этом д д д — — —.
д* дт Олементаркые выкладки понаэываап, что (ЖМ вЂ” МЛ')ф = — (и, — 6ии + и„„„)ср + Зи„Мдь Следовательно, из уравнений (17.38) †(17.39) следует уравневне Кортевега — де Фрлэа, и мы имеем прямые оакования для их введения. Далее мы будем дейссвовать ио аналогии с предыдущим подходом.
Соглаако версии Баланиса обратной задачи рассеяния в (х, г)-плоскости, поведение функции ф при х †+со опроделяет рассеиваювгий потенциал и в (17.38). Эволюции ф при росте с определяется уравнением (17.39). Приведем рассуждения Еалагсиса вля уравнения (17.38), не выделяя пака нараметр т. Рассмотрим волну ф = 6 (х+ т), приходящую на х=+ ас, и обоэначим отраженную волну череа В (х — г), Таким обрядом, ф ср = 8 (х+ т) + В (х — с) прил — ~-+ао.
(17.40) результаты можно иолучвтгч работая с енеприведеиныме уравнением (17.28) и восстанавливая потенциал и (х, с) па ега атрюнающнм свойствам для падающей волны типа б-функдии, а не для падагощей париодвческой волны. По существу идея состоит в том, что работать следует во временной области, а яе в частотной. Этот подход ь обратной эадаче рассеяния поаволяет да некоторой степени упростить наложение метода.
17.3. Обратная задача рассеяния Предположим, что соответствующее полное решение уравнения (17.38) можно записать кан ~р(х, т)=~р (х, т)+) К(х, Е)й !з, т)3$. (17.41) (Это эквивалентно решающему шагу в методе Гельфанда — Левита- на.) Непосредственной подстановкой в (17.38) проверяем, что та- кое рюление существует прн условии, что Ктз — К„„+и(х)К=О, $)х, и (х) = — 2 — К (х, х), л Ле К, Кг'-ьО, $-ьсо.
(17.42) й (х, т)+ ~ К (х, Е) й (Е, т) с$= О, т+ т(0. Подставив это выражение для й в (17.40), получим В(х — т)+К(х, — т)9 ) К(х, $)В($ — т)од О, х+т(0, При т =- — у это совпадает с уравнениемГельфанда — Левитана (17.36). '!тобы использовать эти результаты для реюеяия уравнония Кортевега — де Фриза, заметим, что эволюция функции В при росте !определяется уравнением (17.39). Но приз - + оо, и - О, следовательнг, В удовлетворяет сеотношепиям В„.— В,„= О, В~+дэВ=О. (17.43) При ! = 0 функция В определяется по прямой задаче рассеяния для (17.38) с и (х, 0) и имеет вид В(х — т) = ~', у„ехр ( — м„(х — г))+ — ) ()()с) охр (Й(х — т))йй.
Зто корректно поставленная задача, и, следовательно, К существует. В силу гиперболичности вочнового уравнения (17.38), р должна обращатгся в нуль при х + т ( О. Отшода Гл. 17. Точные резсения Рылепием уравнений (17.43) при 1)0 является В (л — с, С) = ~„'у„ехр ( — к„(* — с) + 8яП) + + —, ~ ()(й) ехр (сй (х — т)-( 8сй'1) сУс. 1" При т —.- — у это опять совпадает с (17.37).
Эта версия не толька позволяет быстрее получить конечный результат. Она замениет довольно неуклюжее уравнение (17.34) более симметришпсм уравнением (17.39) и более четко приводит к простой лияейной задаче (17.43). Основной дисперсиолный оператор фигурирует и в (17.39), и в (17.43),но только в более общей форме Эта обобщенная форма позволяет понитсч откуда поваляется мнояситель 8 в содерясащем с члене вырансения (17.37).
Мы будем называть выражении [17.35) — (17.37) репсением, хотя в общем случае с линейным интегральным уравнением (17.36) трудно иметь дело. Однако иэ нега лсожно получить некоторые результаты. Во-первых, в частном случае 8 ()с) .. 0 уравнение Решается в явном виде н дает взаимодействие уединенных воля, обсуждаашееся в предыдущем параграфе; каждое дискретное собственное значение отвечает уединенной волне. Во-вторых, набор уединенных волн, в конце кокцов возникающих иэ проиавольного начального распределения и (г, О), можно определить по его спектру. В-третьих, можно показать (Сегюр (П) '), что при 1-г со вклад непрерывного спектра в и (л, 1) убывает кан с ссс. Первые два вопроса будут рассматриваться а следующих параграфах.
') См. песке Шабат А. Б., Об уржвевви Кортсжга — де Фркаа, ДАП, ЗИ (1073), вяп. 3. Наиболее ивтерссиые результаты ло этому вовросу содержатся в статье В. Е. Вахарова я С. В. Манапова «Асвмлтстичеовое поведение нсливейаих залповых сясссм, интегрируемых методом обрэтвса задачи рассеанляэ, Жлгю, 71 (1073), вин. 1.— Прим. С д. 567 17лй Случай чисто дискретного спектра 17.4. Частный случай чисто дискретного спектра В етом случае соотношение (17.37) можно ваписать в виде где не укавана явная вависимость от 1. Множитель елр (3 к„'1) мол<но либо включить в у„или Ь„, либо распределить между втими сомвояштелями. Тогда решение уравнения (17.36) можно искать в видо К (х' у) Хю (х) Ь (у) что дает л' (х)+у (х) ( ~' ш„(х) ~ у (л)Ь„(л)лх=-о. Пусть матрица Р (х) определена равенствалги (х) — 3, -~- ~ у (х)Ь (х)Нл и пусть Е у и Ь вЂ” векторы-столбцы с компонентами и Ь; тогда имеем и~(х) †.
— Р ' (х) Ю (х) К (х, х) = Ьт (х) и (х) .=- — Ьт (х) Рл (х)д (х). Поскольку решение К (х, х) можно представить как где ) Р ) — определитель матрицы Р, а У, — алгебраическое дополнение элелшнта Р о Следовательно, и = — 2 — К (х, х) == — 2 — !п ) Р (. и . вь л. ' яа Так каки = — ац!6, это совладаете (17.6), и осталось проверить, что ) Р ) соипадает с функцией Р, определенной в (17.19) — (17. 20). Сугдествуют рааличные способы получить одно и то ясе выражение для и.
Если мы в формуле (17.37) для В положиы йм(х).— тмелр( — х х+Знвс), Ь„(х)=-елр( — х т), Гл. 17. Точные решения 558 то получим т тхр( — ( -~-к„)х-'гак>>) Р „= „+ к -~-к„ Экспоненциальные ыножители можно вносить в определитель (нли не вносить в него), так нак вто не влияет па окончательное выран>ение длн и; !л ~ Р ) преобрааует их в аддитивные члены, линейные по х, которые исключакл:ся двунратным дифференцированием, фигурирующим в определении и. Следовательно, если каждый столбец матрицы Р умножить на е""", а кая>дую строку — на е ' ', то пол учвтса эквивалентное выражение )Р, )б Умехр( — ак тк 8н" >) ! которое с>пласуется с (17.20) прн условии, что а =2я, у ==о ехр(п э ).
Симметричная форма Р получается при д (х) =- Йм (х) = у'>' ехр ( — к,т -~- 4я' г) и приводит к 17.5. Уединенные волны, образованные напальным распределением проиавольного вада Для определения уединенных волн, обраэу>ощихся иа начального распределения >) =- >)„(х), нужно всего лишь найти дискретные собственные влечении уравнении Шредингера ф„„ + (й — и„ (х)) ф = О, (17.44) где ооа( ) 6 После выхода иэ области вэаимодействия уединенная волна, соот- петствующая ь = — к„', согласно форыуле (17.12), имеет пид — и =- — Ч = а„эесйэ (к„х — 4кэс+ сопэ1), а = 2к*„. (17.45) Приведем здесь несколько конкретных примеров, испольэуя результаты решения эадачи на собственные эначепия, которые можно яайти в болыпинстве учебников по квантовой теории.
17.6. Произвольное начальное распределение Е и (к) = — 4)6 (х). Если 4) ) О, то существует одно собственное вначение к = 4)(2. Следовательно, образуется единственная уединенная волна. Амплитуда функции и в (17.45) равна 4)з)2. Если () ( О, то дискретных собственныь значений, а значит и уединенвых волн, нет Е Прялюуголанал лла. Если и (х) — прямоугольяая яма гпирины ( и глубины А, та собственные значения долнзны удовлетворять соотн шенням (Ландау и Лифшиц (2, стр. 90!) ып4= ~ —, 16Ц(0, (17.46) (17.47) где Число собственных значений опредовяется параметром 5.
Когда Б возрастает, что соответствует более сильныы начальным вовмущеяиям, число уединегппзх волн растет. При любом Б ) 0 существует по крайней мере одно решение задачи на собствегпгые значения, так что всегда образуется хотя бы одна уединенная волна. Для палых Б существует решение уравнения (17.47) о асимптотикой г 2 ' 2 При возрастаяии Я вторая уединенная волна образуется, когда 5 достигает и, а решением уравнения (17А6) является $ =-я/2. При етом Ег=0,964, я,.—.. 0,604АЫг, а,=(,ЗОА, 1 ' ~б=-я. 4т-=я)2, к,=О, а =.0 Число усцикепных волн Л' растет с унеличениелз Я и выражается формулой Б )У = наиболызее целое число ( — + 1. к Зависимость о от А и ( для прямоугольной ямы наводит на мысль, что вообще величина я= ) (и(м Нз будет в етом случае своеобразной мерой возмущения и формы волн.
Действнтельно, если вычислить вту величину для одной 570 Гл. 17. Точные решения уединенной волны (17.45), то параметр я сократится и получится Я,—. ~ )и(««» Ах —.-2«г»п (17.48) в«за«поило от амплитуды. Следовательно, эта мера приписывает уединенной волне единичный равмер.
Для цуга ив Дг уединенных волн У = 2»г»лд». Итак, обнаружена постоянная Планка для уединенных волн( Параметр 8 равен величине этого вктеграла для начального воэмущевия. Для больших 8, в силу предыдущих реаультатов, 8 пЛ", так что при болыпих апачениях времени величина Я для цуга уединенных волн равна 7 — 20»яур 2»»»8. (17.49) Это укавывает на тесную свааь »гея«ду начальным вначепием Ь и конечным вначением Х. По ясно также, что «действие» ~ ~ и ~»г» Ыс не сохраняется. Это верно и для малых Я: всегда обраауется хотя бы одна усдя»«егп«ая волна, даже в том случае, когда Я меньше величины, опрелелясмой ив соотнопгения (17.48). Это следует, ло-видимому, интерпретировать как перекачку ив непрерывной части спектра.
Однако ниже будет пояаэано, что соотношение Д' 8)я для болылих Я носит общий характер и справедливо для начальных вовмущений и, (л), имеющих форму опиночной потенциальной ямы, н вели п«ны уц опрелеляемон формулой 8 — ~ (к»(м»)л. (17.50) Для случая 6-функции ив первого примера и» можно считать пределом выражения — () (ж!я)И»е-""» при т со. Поэтому Я вЂ” »-0 при т оо; обраеование только одной уединенной волны согласуется с ревувьтатами других примеров. У. и» = — А аесЬ' хП.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
