Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Введем а= 1' ч, Ф= Р ч, р:яд) г; (16.127) адесь а — аршлитудяая переменная, е 2 — модуль алляптических яитегралов. Тогда можно покаеать, что — О (2) 6=ц=р — 2а —, К (2) ' где О (2), К (2) — полные аллвптические иитегралы в стаидартпых обоаяачеииях (Яике и Эмке И)). Если в качестве основных перемеяяых мы предпочтем испольеовать 6, а, 2, то получим р=6+2а —, 1.=6+2а( — — 1), О 1О (16. 126) ==6+2. ( —,— ). О 4 Волновое число и фааоеая скорость равны соответствеяяо 1 рм212 )2= — = —. '"а 2К () = — = 2 (р + д -~- г) = 66+ 4а ( — —— 21 1 ЗО 1-)-У 1 4 (К 22 ).
(16.129) (16ЛЗО) Инварианты Римана и характеристические скорости окааываются следующими. Х2Р ЯЮЕ К Е РЮРЕЕ2 Р—.— и —— 42 К 22О 42 (1 — 22) К вЂ” 12(К О) 4 () — О)К 22 (226 — К) плюс аналогичяые уравнеяия для г+ р и р + д, получаемые циклической перестановкой. Таким обреаом,иивариавты Римана равны просто 16.15. Харантернстячесггис уравнения В общем саучае скоростя Р, О, Л рааличны, причем Р ( 11 м ( К. Таким обрааогг, система является гтшерболнчсской Оба предела Р— ь О и Р-г- 1 дают особенность в том смысле, что две иа скоростей становятся равными. Предельные уравнения не будут строго гиперболическими, но поскольку одна иа них отщепляется, их все еще можно решать интегрированием влоль характеристик.
С отой ситуацией мы улге встречались ранее в лвнейной теории, соответствугсщей пределу Р-ь О. Случай гюлей амвлшиуди В пределе а — ь О, Р -ь О, сохраняя волновое чнсло й, определенное формулой (16.129), конечным и ненулевым, имеем т г/г ь Вычисление пределов при г» -т О дает РД вЂ” ь 6() — Зй', л) -ь 6(). В линейной теории иаменениями параметра 6 мок<но пренебречь, так что линейная групповая скорость — Зй' булет двойной характеристической скоростью. С поправками следующего порядка, т. е. в почти линейной теории, найдем Р - 6() — Зйг — За + О ( — ), 0-66 — Зй+3 -)-О( — „), К вЂ” 66+О( — "„,').
(16.131) В соответствующем приблюкении исходные уравнения вмеют вик 6,+633„+~3 а'! =О. ц-'-(6))у: — йг+ ~ 3 — 1) =О, (ог) ) ((6() — Зйг) аг) (-ба'(1 . = О. (16.132) Члены в квадратных скобках являются почти линейными поправками к линейной теории. В линейной теория уравнение для р отщепляется и его можно ревглть неаависимо; оно дает харантеристическую скорость В = 66.
Как правило, однако, ш>дходит решение 3 = О, и мы имеем обычные уравнения модуляций для а и Е Почти линейньге поправки приводят к важным качественньна иеменениям, делающим систему строго гиперболичесной и расщепляющин остаешнеся грулгювые скорости. Гл. 16. Приложения нелинейной теории После подстановки атого выражения ао второе уравнение лахо- дим зффектнвное иамененне частоты 3 аз 3 аз () =.6()й-~- — — = — — —.
2 З 2 З ' Теперь уравнения для о и й являются гяперболичеокимн, а харак- теристические скорости равяы — Зй» ~ Зо, что согласуется с фор- муламн (16.1366 26.'26. последовательность уединенных волн В другом пределе зз -а 1 еоляозой пакет переходит в последова- тельность волн, близких к уединенным. В зтоы случае К и О имеют асимптотику О=Л вЂ” О(1 — зт), Л=1п — (1,)1 К=Л+0(1 — аз) В пределе уединенных волн естественно считать амплитуду равной зысоте от подошвы до гребня и волновое число определить как число волн яа единицу длины (а не число волн на длияу 2я). В соответствии с чтим ь а,=.:2я, й,= —, тя ' з, в силу (16.129), имеем ( )1/т Л =- — ' лч (16.133) Решаю1цее значение имеет модификация уравнения для 6.
если бы вводилась только поправка к частоте (во втором уравнении), то система двух уравнений имела бы мнимые характеристика и случай представлялся бы неустойчивым. В обозначениях 1 14.2 имеем юа — — — йа, ю =- «1 й, ю",юз ( О. Но наличие связи с () стабилизирует модуляции, и полная система оказываетгя гиперболической.
Можно было бы просто яайти характеристики скоте. мы (16 132) и проверить формулы (16.131), но опять целесообразнее испольаоаать подход, раавитын в 1 16.11. Если параметр 3 полностью иядуцирован волновым движением, то можно яспользозать второе и третье уравкения системы (16.132) и покааать в низшем порядке, что (оа)„= (от/(3)га))о Тогда, в силу первого уравнения, 16.16. Последовательность уединенных волн (16.134) (16Л35) р ал, д,г О, П 2ал, 0 В 2ал.
Соответствующие приблюкенкые уравнения, как можно покатать, имеют вид йл, -)- (2алйл)„=- О, (16.138) аи + 2а,а,. = О. В этом приближенян система не является строга гиперболической, во можно сначала интегрированием вдоль характеристик т(хЯт ==. — 2а, найти ал, а вашем интегрированием вдоль эпи же хврактелистик найти й,. Такая структура аналогична структуре, имевпей хлеста э линейной теории.
Однако на атот раа ал остается тостоянной на характеристиках, а й, убывает как 106 Как и в случае линейного предела, следующий эа (16Л37)— 16.138) порядок приближения модифицирует структуру уравнелий; характеристики разделяются, и система становвтся строго иперболической. Уравнения (16.138) стали теперь эастолько простыли, что можю предположить, что существует их прямой вывод, пе требующий Ошибки порядка 1 — лл акспоненциальяо малы, и мы ограничвмся члепами порядка (2ал)ллл/йл. Тогда Р 6-1- а,— 2й, (2ал)~л~, д, г 6 — 2й, (2ал) г~, 0 — 66 .~- 2ал — 12й, (2а,) ыт, т — за та Р 66 — 16й,(2ал)™ ( '( '), л ), ' 1 — ыч(влй ы' О, В 66 ) 2а,— 12й,(2а,)ыл. (16Л36) Заметим, что д:= г-)-0 (ехр ( — „' ) ), О.=- В+ 0 (ехр ( — „) ) .
В почти линейном пределе иаменення пвраметра 6 переносят- ся в основном по быстрейплей характеристике (со скоростью В], а параметры а и й переносятся в основяом по лвум болев медлен- ным. Наоборот, в данком пределе 6 переносятся в основном по самой медленной характеристике (Р), а а,и й,распространяются быстрее. В головной области монлно интегрировать вдоль Р- характеристики и получитьь что величина д + г остается равной своему порвоначальному эначевию.
Но в атом пределе д г всю- ду, так что д и г по отдельности также остаютса равными своим первоначальным значениям. В обычной пормлровке д = г = О; следовательно, оян и остаются нулевыми. Тогда ив (16.134)имеем 2й, (2аД ллл (16. 137) Рл. 16. Приложения яелинейной теории предварительного изучения общего случая. Это, несомненно, так. Уравнение Кортевега — де Фриза можно записать в форме ураврения сохранения пг + (3т)з+ т)*) = О. (16.139) и, усредннв его, получить ( ),+(39)„=О. (16.140) Далее, уединенная волна с д = г — — 0 и р = аг дается выражением 6=а,шсйр(( — ') х — 4(~ ) с).
(16.141) Если, используя зто решение, вычислить средние вначения О=Й, ) дат, т)з=Й, ) цайт, то будем иметь Уравнение (16Л40) принимает вид ыз + (2Й згз) 0 (16Л42) В силу (16.141), фававая скорость (( = 2аг; следовательно, уравнение совместности Йг, + (Й,(7) = 0 ваписываетсн как Й„+ (2згй,)„= О. (16. 143) Система уравнений, полученная для Йг и аг, вквивалентна систеые (16 138). Заиетвм, что в зтом выводе неявно предполагалослч что р и г при модуляциях остаются равными нулю. Эти уравнения имеют важное частное решение Й = —,' «( — *), (16 144) где 7 — произвольная функция.
Такой ревультат легко интерпретировать. Уедгшеиная волна с амплитудой а, движется со скоростью 2аг. Следовательно, равенства (16.144) описывают последовательность уединенных волН, сохраняющих постоянные амплитуды и движущихся па траектории х = 2а,г. Убывание волнового числа Й» свивало с тем, что уединенные волны, имеющие различные амплитуды, разбегаются. Решение изображено на рис.
17.1 (см. стр. 572), где оно получено при обсуждении точных решений. Однако там оно завершается разрывами у а, и Йг. Рассмотрим поатому, как выглядят для наших уравнений условия на разрыве. Снова вовникает обычный вопрос. "какие уравнения сохранения должны оставаться справедливыми при переходе через разрыИ 16.16. Последовательность уединенных волн Если принять систему (16.142) — (16.143), то условия на раврыве имеют вид У Вг,а,'Р] -]- ]2йга,'и] = О, .у ]й,] + ]2агйг! =- О, е р — ° рость разрыва. Скачкообразный переход от ат = О до яекоторого ненулевого значения а,'в будет, следовательно, распространяться со сноростью У =.
2а',". Это — фазовая скорость, н полученный результат укааывавт на то, что решевив (16.144) может быть оборвано на любой ив последовательных уединенных волн. Именно такой выбор 1годтвергкдается точным решением, которое будет приведено в $17.5. Фуняцшо 1 и амплитуду аа' можно определить только ив начальных условий, также приведенных в 4 17.6. Конечно, в случае уравнения Кортевега — де Фриза точнын анална дает болев сильные результаты, чем теория модуляций уединенных волн. Но подтверждение реаультатов в атом случае оправдывает аналогичное использование теории модуляций в аадачах, где точные решения неизвестны. Наконец, можно отметить, что если уединенную волну записать в виде н испальвовать вто выражение для вычисления усреднеяного лаг- рашниана то найдем Я с [юга, †, й,а, тш в шз Вариационяые уравнении имеют вид ба: юг = 2а,йа бб: (а,™),-]- (-а~и) =О, совместность: й1~ + ю~„=- О Эти уравнения вквивалентны системе (16.142) — (16.143).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
