Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Энергия осциллнрует между взаимодействующими модами. На последующих стадиях необходимо учитывать затраты энергии на образоваяие гармоник еысглих порядков, а также диссипацию энергии. Рассмотрим генерацию второй гармоники. Вторая гармоника образуется за счет самодейстеия, для которого ю, = ге» вЂ” — е», ге» = 2о»». В нормальных условиях, однако, Лй = й (2»е) — 2й (а») ~ 0 вследствие дисперсии, в амплитуда второй гармоники мала.
Чтобы улучшить положение дел и нолучнть истинный резонанс, Джорд- мейн И! и Мейкер с соавторами !1) предло»кили остроумный способ использования двоякопреломляющих кристаллов (описанных в т 12.8) длн согласования обыкновенного луча с частотой го с необыкновенным лучом с частотой 2ю. Условие согласования до(Ь» — 2/Ге(ю) = О эквивалентно условию ли'(2ю) — л'е(ы) = О, где индексы (е) и (0) отвечают необыкновенному и обыкновенному лучам соответственно. Изменение коэффициентов яю (2ы) и л'в(м) при изменении угла между волновым вектором и оптической осью показано на рис.
16.1. Вектор )г изображен в положения, обеспе- 16.6. Усредненный варнацнонный прннцгш чнванвцем требуемый резонанс. Для лучи рубинового лазера (в = 6940 тг) в кристалле днпщрофосфата калия угол равен 50,4'. Все детали, а таюне возможные альтернативы прнводятся в кинге Ярнвз П!. л"'(ш Рве. 16.1. Схем» гогзасоззюы обыкновенного в веобмкзезеввоге лучей. Прн таких улучшениях условия резонанса зкспернменты прекрасно подтвервщжот теорнго.
Замечательная фотографня, сделанная Торкуновы воспронзведена на фронтнспнсе нннгн Ярнва. Волны на воде 16.6. Усредненный вариацнонцый нрннцнц для волн Стокса П рнменгпз ттжерь зарнацнонный подход к некоторьв~ задачам теория волн па воде. Варвацновный прнвцнп дается равенствамн (13 16) — (13 17) нч т 13 2, а прнблнн сивый аналнз Стокса к Корте- вега — де Фрнза, подгверждаеыый последующими доказательствамн матоматнческнх теорем существовавня, убеждает в существованнп периодических днспергнругощнх волновых налетом Поскольну й — потенцнал н в лзгранжнане фнгурнруют только его производные, наиболее общая форма пернодвческого волнового пакета такова: щ = О* —,г + Ф(6, р), 6 = й — ыг, ц = Н (О); (П963) здесь Ф (6, у) н Н (6) — перноднческне функции от О.
Паржзетр Π— средняя горнзоптальная скорость йы а велнчнпа у связана со средней высотой волн. В однерощюм случае мои|но выбрать спетому отсчета, в которой О = 0 н средняя высота равна нулю„что делалось н ранее (см. (13.120) н (13.121)). Заметны, что у ~ 0 даже прн таком выборе. Гл. 16. Привоя~ения нелинейной теории к=Я 666 е (16.69) где Я(е> Р (7+звРз З (аг+)Кйе) — ~ Фг — УУ) г(У= с з =Р(7 з Р ) й — а Рбгр +(ю 6йг)Р ) Фебр— е я — Р) (зЬФеб ~Фт)су. е (16.70) Поскольну точные выражения лля Ф (О, у) и Л (6) неиввестиы, для дальнейшего исследования необходимо принять либо почти линейные равложения Стокса, либо дливноволновув> теорию Буссинеска и Кортевега — де Фриаа. Мы воспользуемся аяализоы Стонов. Периодические функции Ф (О, у) и Л' (6)предстазлнются в виде рядо» Фурье Ф(О, у)= ~ — сЬпйуз1спО, и ! (16.71) ЬГ (О) = Ь+ а сгв 6+ ~', а„соз яб. (16.72) 2 Основными параметрами н конце концов будут триады (ю, Ь, а) и (у, (), Ь); здесь а — амплитудный параметр, а Ь вЂ” средняя высота поверхности воды.
Можно заранее предположить, что козффициенты а„н А „для малых амплитуд будут иметь порядок О (а"). Поде валяя разложения (16 71) и (16 72) в (16 69) и(16 70), получв- В теории модуляций ивменения средней скорости и средней высоты связаны с изменениями амплитуды. Вследствие етого 6, у и соответствующий параметр для средней выыты следует оставить свободными. Нелинейная связь амплитудных модуляций со средней скоростью и высотой является важным физическим аффектом и допускает естественное математическое описание. Это первый пример ситуация, введенной формулами (14г.62) и обсуждавшейся в 4 14.7. В низгпеы порядке модуляционного прибли>кеггия усредневный лаграггкиаи находится подстановкой периодического рептения (16.68) в вырагкениз (13.17).
Для начала мы рассъютрим случай, когда дно горивоптально, и выберем начало отсчета у = 0 у дна, тан что Ье = О. Имеем 2 16.6. Усредпегшый вариадионвый принцип ем выражение для Х в любом желаемом порядке по а. Основной интерес представляют первые нелинейные члены Т, которые имеют порядок аь, так что удобно вычислить Ж до членов этого порядка внлючительно. В соответствующее вырюкение кроме двух основных триад войдут коэффициенты Ам Аз и ам по их можно исключить, решив вариационные уравнения йбл,=О, .'Эл,=О, Х,,=О относительно Аь Аз, а, и подставн» результаты в Х. Эти выкладки утомительны, но неизбежны, какой бы подход не использовался.
В целом получить соотношения для Аг, Аа и ат прв помощи вариационного пршп1ипа нескольво проще, чем непосредственно иа уравнений, как в 1 13.13. Этот способ обладает и тем преимуществом, что Е определяется раз и навсегда, а все остальные величины, такие, как масса, иыпульс и поток ввергни, просто выводятся ив него без повторения аналогичных алгебраических вьн<ладок. Окончательное вырюкение для Х имеет вид Х=р (у — фз! Ь вЂ” рй)р-1- —, Е 1 — 1)— 1 с 1 1 г (м — 3ЗР з ! г ' з '1 хасзгь 1 азлт 1 Зтт — 1О~+З т х ра 1 зт (16.73) где Е = — руаз, Т:= 16 ЬЬ.
2 Нюке будет показано, что Š— плотность энергии для линейных волы, распространяющихся по снокойной воде. Эту величину удобно использовать в какстве амплитудного параметра (вместо а). В общем слу шала ивменения средних значений (7, (), Ь) свнзаны с волновым движением, и будет видно, что зти изменения имеют порядок О (аз]. (шедоватсльно, в члене с а" корректна заменить Ь ва невозмущенпую глубину Ь„, а 7' — на 1'с = 1)! "Ьс.
В членах нижних порядков важно, однако, сохранить Ь. В первоначальном выводе выражения для Т (Уизем (11)]предполагалось, что 7 и 6 имеют порядок О (аз),поскольку изучался случай рнспростракенин волн по спокойной воде. На выражение (16.73) в действишльности верно и без такого ограничения. Это расширение позволяет изучатть например, волны на потоках, где изменения параметра )), обусловлюшые волнами, ил~сыт порядок О (аз), но сам параметр 6 включает ненулевое невовмущеиное значение скорости потока. Принятая выше форма лагравжиана 2,'зависит от выборанулевого уронпя потенциальной энергии. При яыводе вырюкения (16.73) ив (13Л7) пулевой уровень принимался у дна, которое счи- Гл.
16. Приложения яеливейвой теорвк телось горизонтальным. В более общем случае положим, что ыа средяев поверхности воды у = Ь, а у дяа у =- — Ь„; тогда в выраясеяии (16.73) член «/трубе заменяется яа Н 1 2 Рб 2 РУ~' (16.74) а прочие члены остаются прежними, ио Ь замеяяется яа Ь, -1- Ь. Эту модификацию следует использовать а том случае, когда дио яе является горизоптельяым и, следовательло, больше яе ыоькет служить уровнем отсчета потеициальвой ввергни.
Мы будем считать дяо горизоятзльяым и использовать выражение (16.73), если явно ые оговорено противное. 16.7. Уравнения модуляций — '"+ — =- О Дисперсвоввсе соотяошеиие хх = О даст — +е з з +ьь(Е~) (16 86) де ьь аь ьт( дд что согласуется с формулой (13.123). Родствевяое соотяошевие Х =Од 7= — бз+бЬ+ ( — ) — +О(6 ). 1 Ь вЂ” Х,' Ььа Поскольку у = — ьр„() = ьр„, зто уравнение типа Бернулли для котеицивла усредиеииого течеявя ф, модвфвцироваьшое воляовым вкладом, проворциоиалькым аз.
В тавих соотлошевиях, по- Для модулироваяяога волнового пакета член ()х — 72 в (16.68) следует замеяить яа псевдофазу ьр (х, 1), а у, 6 определить ра- веястваыи 7 = — чь 6 =-ьр, точно так же, как Ьх — ьеь аамеяяется яа фазу 6 (х, Г) (сы. $14.7). Усредненный вариациояяый прияцшь б ) ) х (ю, )г, Еь 7,(1, Ь) дхьй = О (16.75) для вариаций 6Е, 66, 6Ь, бь)ь дает 6Е: Хв=О, (16. 76) ббь — Š— —.'3 =-О, д д И д» (16. 77) бьь Х =О, (16.78) бфь — Хт — — ха =- О. (16.79) 16.8. Уравнения сохранения видиьюму, удобна выразить козффициенты, зависящие ат Тг, через ыз(й) = (841Ыйг) ~", ее ()е) = (Рй 'СЬЖН)О~, Сс(й) =- —,' .(4) (1+-гааза ), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
