Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 93
Текст из файла (страница 93)
! [олкостью келинекпые результатм, соответствующпе выражениям (16.26) — (16.27), можно получить па [ 15.2, испольауя подходящий ааграижиан. Для простой модели, расслэотреииой выше, такой лаграижиав дается равенством (16.15). 16.3. Самофокусировка светового пучка Гсви пелииейвый члоя в дисперсяоином соотиошеиии (16.21) положителен (и, (ы) ) О), то фааоаая скорость с = оьй -= са/и возрастает при убывагпш амплитуды по мере удаления от оси пучка.
Интуитивно это указывает иа стремление пучка сфокусиро- ватьгя. 1(онечно, это весьма примитивный довод, в лэы теперь рас- сыотрим подобные вопросы более детально. Для пространственных модуляций мы предположим, что ло- кальяо волку моиэво описать как периодический волповой пакет, распространяющийся в ваправлеикп волкового вектора [г. Ото определяет усредиетпшй лагранэииав, и в простейших случаях, когда отсутствуют псевдочастоты, ов принимает вид Ж (м, й, а), где м — частота, а а — амплитуда электрического поля. В почти хияейиом случае У (м, й, а) дается равенством (16.22) с й =- [ й [. 7[ля решениЯ, в которых м, й, а не аависят от 1, имеем ю = == соим, в уравнения модуляций, полученные из усредпепиого аариациоивого привципа, имеют следугощий ввд: Х =О, (16.28) Ш; дат — У =::О, — ' — — '=:О.
(16.29) д, Э ' дгт д, [".ели среда иаотропна, так что Х зависит только от модуля й вектора й, то уравяевия (16.20) сводятся в таким: д да; да, — (й,р) = О, †' †. = О, (16.30) д, ' ' д, дя; где р = -й 'Хь. (16.31) Дисперсиовное соотношение (16.28) устанавливает свяаь междуа в й; отсюда в принципе р можно выраавть как функцию от й (хотя ва практике не всегда удобно действительно.исключать а). Гл. 16.
Приложения нелиненной теории Интересно, что уравнения (16.36) союгадают с уравнениямв сжимаемого безвихревого течения жидкости, в которых волновой вектор )г завял место вектора скорости, а р — место плотности. Соотношение между р и й, заданное равенством (16.31), соответствует уравнению Бернулли, связывающему плотность и скорость в задаче о течении нпшкости. Б этой аналогии снеговой пучок соответствует струе жидкости. Но при выводекачественных результатов непосредственно иа задачи о течении жидкости необходима осторожность, поскольку в оптике р обышо является возрастающей функцией от (г, тогда как в жидкоспг плотность и скорость менлютсяпротивоположныы обраэоы.
Б то же время ьюэкно с успехом испольаовать известные методы нахождеппя решении. Тяп уравнений (ББЗО) †(16.31) опредмяет их математическую структуру. Это не связано с вопросом об эллиптичиости исходных аавнсящих от вреыени уравнений. Более того, оллнптичность стационарньпг уравнений пе укааызает на неустойчивость; их тип впаяет толыэо на свовстза репгевпя и вид граничных условий. Для плоских или осесомметрячных пучков направиы х вдоль оси пучка и г в поперечном или радиальном направлении. Волновой ленгор будет соответственно иметь компоненты (йг, й,), и уравнения (16.%) — (16.31) аанишутся в вцце ш, аз, — —.= О, д дг (16.32) —,(рй,)+ —,(рй3+ =О, а а мрзэ (16.33) р =- р(й), (16.34) где ж = О для плоского пучка и т =- 1 для осесимметричпого п~чкэ.
Тин рраэксзий Характеристики легче всего найти, временно восстановив фазу 6. Произведеы аамепу й, = 6„, й, =- 6, и запишем (16.33) как уравнение второго порядка: Тогда харалтеристики в (х, г)-плоскости должны удовлетворять уравнению (1+аз — ", ) й — "„"" — ", 3 6 + (1+ а( в„) и *= О. 16.3. Самофокусировка свехового пучка Характеристики будут мвимыми, а уравнепие алливтическим, если 16-Рс Р )О; в противном случае характеристики вещественны и уравнение гиперболическое. Для почта линейкой теории, описываемой лагранжиавом (16.22), имеелз (16.35) и, следовательно, '~ =-~(н]+ — ла(ы) аэ -щ(ы)+ "", р. (16.36) е Если п, (ы) ) О, то р' (й) ) О а стационарные ураввекня эллиптические.
Ыы рассмотрим только етот глупей. Заметим, что, в салу (16.26), исходные зависящие от времеви уравнения будут гиперболическими, если, кроме того, выполняется условие й",(ге) ) О. Фокрсирееза йт=~, йэ=$п 6=3(л,г) — ая, рй,г =-гр, рйзг =- — т)„, (16.37) го уравпевия (16.32) — (16.33) будут удовлетворяться тождест- венно;последовательные положения фазовой поверхности даются равенством 3 =. совэ1, а линий тока — равенством г) = сова(. Соотношевия (16.37) можно обратить: сов х пах лг — ' х» == а ' рм МаХ пп Х гг= —, х„= —, а ' рь де 1, — угол мюкду вектором 1г и осью л.
Таким обрааом, урзвкечия совместиости можно записать в виде — — — — й — ( — ). да дх д 1 ей = в ач ' вч эй ~ рь. (16.38) «Ликии тока», овределяеыые векторным полем й, являются ортогоиалькыми траекторялми семейства фазовых поверхностей 6 =- сова(. В яэотропио» среде групповая скорость имеет то же ваправлеиие, что и й, в ливии тока являются лучамгг. Ыоягво представить себе, что фазовые поверхности движутся вдоль этих лучей и фокусировка связана с тем, по лучи сходятся.
При анализе удобио преобрааовать уравнения (16.32) — (16.34) и ввести координаты Я, т))„свяааикые с этими лучами и фазовыми поверхиостями. Если ввестл Гл. 16. Приложения нелинейной теории 522 Если р убыпает прп удалении от оси, то, в силу (16.36) и предположения я, ) О, это же имеет ыесто и для й. Следовательно, из первого уравнения (16.38) следует, что дугд$ ( 0; зто указыаает на то, что лучи аагибаются к оси и пучок фокусируется. Соответственно если пг ( О. то происходит дефокусирозка.
Узкие иугви Неиоторые интересные ренюиия приведенных вьппе уравнений были построены Алиавовым, Сухоруковым п Хохчовым !1) при прелпологнении, что пучок узок. Предпалагалосго что нелинейные аффекты дают малую поправку к линойной плоской вошле с постоянныгг волновым числом К и что нроизводвые по г имеют болыовй порядок, чем производные по х, вследствие того, что пучок узок. Пусть Е = -- ос + К* -,- К. (, .), где производные г, и з„обе малы, на г,. и л-,' имеют одинзкоаый иорв- док.
(Отого можно добиться формальпо, полоягпв Е - — с, К. + Ко о (х, — "), о)' где с — амгшитудный паралгетр.) В атом приближении имеем йшК(1+ „- — г), в = сей(ы = и ночти линейное дясперсион~ое соотношение =- гго — lо ~а дает г о 3, ф — г,' —.- —, — а' 2 т оо (16.39) в предполоягенпи,что сокгы .= по(ю). Поскольку, в силу (16.35), р г а', то в (16.33) р можно заменить на ао. Тогда, учитывая предположение о, ((о„уравнение (16.33) моягно переписать тако (16.40) Уравнения (16.39) и (16.40) образуют замкнутую систему относительно функций з и ао. Гбоягно ожидать, что в окрестности оси з имеет зид о (л) + а и +О (г )' (16.41) где Я (л) — радиус кривизны фазовой поверхности у оси. Удиви~ельне, что существует точное решенве, для которого з (з, г) имеет в точности зги два члена.
Из (16.39) видно, что ао должно быть пвадратвчным по г, п уравнение (16.40) дает соотношении между 16.3. Саиофонуспровка световою пучва различными кооффнцпентавти. эти соотновнения имеют вид 5а23 (16.42) 1 ав а„" 6 /'() (16.43) г гч | 66' д(*) )(*) ' где здесь гз — начальный радиус пу пса, а, — начальная амплитуда на осн, а В, — начальный радиус кризпзны фававой поверхности.
Кслн фазовые поверхности в точке х .= 0 плосвие (Л,' = О), то ревления уравнения (16.44) имеют вид та=0: х=(2 ) — "" ((и~(1 — () ~ — агсь!п(п -р — "), (1645) т=-1: х=( — ) — (1 ) ) (16.46) П)чо» фокусируотся, н решение становится снягулярнып в точке, где ) (т) -ь 0; здесь радиус крив ившз В (х) 0 и авшлитуда а са. Расстояние до зтойточки фокуса составляет л / тввт "п хг= — ( —.) —" для т.=О, 2 (зт) ие ыз хг — ( ) Лтя т =1. ив ав (16.47) (16.48) и=гю с=аз; тогда система (16.39) — (16.40) примет вид «т 7= зве и„+ии„— утв — — О, «*+ исг+ «из = 0 где ддя плоского случая мы ваменизи г на у. Эти уравнения подобны уравнениям ивстационарной одномерной гаваной динамики, аа иснлючением изменения анака у у.
При помощи преобразования В окрестности особенности производные высшего порядка от а начинавот играть важную раль и должны быть включены в уравнения (16.39) — (16.40). Как мы увидим, эти дополяшсльные члены ввод>п давсперсионпые аффекты, ъоторые препятствутот фокусировке и приводят к непрерывным решенням. Прежде чем ато п|юделатгч упомянеы о красивом решении плоской задачи (т = 0), найденном Ахвваковым. Сухоруковым и Хохловым.
Введем. Гл. 16. Приложения нелиаейиой теории годографа опи сводятся к ликсйкыы: у, — гх, — ух„ = О, у, — гх„ -~- т:с, = О. Вследствио линейности вти уравнения допускают возможность построения общего решения при погющя суперпозиции. Однако в упомянутом здесь частном репгении авторы заметили, что предпочтительнее использовать переменные р = хт, д = у — гх. Уравнешш годографа тр,=о, +„,=-О преобразуются затем к виду о,— — сг — — О, та+ге — -О. т с Пологссив с = — Фр, т = Фд, получшг Ф,Ф,„+ уФ„= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
