Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 88
Текст из файла (страница 88)
15А. Почти линейный случай 'д5.1. Почти линейный случай Прежде чем перейти к основной теые, покажем, как почти ливейжае уравнения, полученные в 1 14.2, согласуются с общим форыаливмоы. Почти линевная теории получается разложением У по степеням амплитуды. Это разложение можно записать в виде У =- Р (в, Л) А + Р«(в, й) А«+..., (15.4) на обычно она ввод«вся при поыощи разложения в ряд Фурье (ср. (14.52)) в эквивалентной фор«ге М =С(в, 1«)о«+С«(в, й)ое+... Двсперсианное соотяоюеяве У = О дает в=в«(й)+ее«(й)о + ° ° где О (вв Л) = — О, в, =— 20«(кв а) !"е. Ч 5«равнегпж (!5.2) я (15.3) ««овско зависать в виде — (у (Л) а +... ) + — (р (й) еь (й) о +... ) =.
О, — ' + — „( . (й)+ м (й) «+...) = О, да д где р (й) — — - Се (еев й) и нглольаоваио соотношение в,' (1«) =— Е (ве, Ь) для линейной групповой скорости. Козфф«щиевт й (й) можно исключить, в силу второго уравнения для Лч и корректным при- блвяееиием, как было объяснено е 1 14.2, является — + — (в,'(й) о«) = О, Ве«д +в«(Л) +в«(й) дь, да йл Характеристические уравнения, как легка проверить, имеют вид и в (й)~(еч(й)ве(й)) Используя разложение (15.4), мы полечили бы аквнвалевтные результаты с заменой амплитуды и нв А 1«и заменой С, 6, в определении в, на Р, Ро Рассмотрим теперь точные уравнения (15А) — (15,3), Гл. 15.
Уточнение эффектов дисперсии 15.2. Характеристическая форма уравнений Существуют две полеэные формы характеристических уравнений в аависимости от того, сохраняется симметрия между переменными С и х или нет. Если стремиться к симметрип, то удобнее работать с фааой О, а не с ы и й. Тогда уравнюще (15.2) перетодит в следующее: Оп — УАБ ае~ +Хавй -Х лА+ЕааА =О. Производные А,, А„можно исключить в вольву 6 при помощи уравнения (15А), поскольку после дкфференцировани» по г и а это уравнение дает — Х„„ен+ Хьаеж+Жд.,Аг=о, -Е„еж+Х,„О„„+Е А„=о.
Тогда уравнение второго порядка для О принимает вид реы — йож+ 66„.„= О, гдг (15.6) Р.=Ее„илл-ХВА, Ч =- ~ел~ха Ж а г=ь аула У лага' Иэ уравнения (15.1) можно найти А как функцию от 6, и О,, и тогда (15.6) можно рассматривать как кваэилинейпое уравнение второго парндка для О. Его характеристики определяются урав- нением лг — г+ У г~ — рд В линейном случае Х = Р (ы» )г) А, р = — Р'„, 6 = — Рь, г =- — ЄЄ, и пиесы двойную характеристическую скорость Ее Рь в Р„' в точности совпадающую с линейной групповой скоростью.
Почти линейные результаты можно получить аналогичным обраэом. Если откаааться от симметрии ьгюкду х н г, то одна яв полеаных воаможностей — выбрать в качестве вависимых веременных й и 1 =- Х„и считать, что Соотножения Еев --г = Еав Еа = О 405 15.2. Харзкчеристическая форма уравнений раврешенм отнооительио фувкций ю (й, 1), Х (й, 1), А (й, 1). Тогда Х мошко также представить как сй (й, 1) =- Х (ю (й, 1), й, А (й, 1)).
Имеем оро ."" е А1 — У о(х = юг1 (15. 7) отсюда, в силу /~от -=. Ря„получаем юо = Гг. (йб 5) Система уравпевий (15.1) — (15.3) сводится к следующей: й, + юойо + юг1„=- О, 1, + юо1„+ Уой„= О. (1б.9) Характеристические уравнения дают, что )Гузкой ~)г юг 41.=0 (15.10] па крииой — == ооо ~ )/югуо. и (15Л1) Такой выбор переменных сохраввег гораздо более тесвуко связь с вредыдущими обсуждениями лияейпого и почти линейного случаев. В линейном случае Х вЂ” — Р (ю, й) А и дисперспоняое соотво~певие Р (го, й) =-О дает о~о (й) позтом у .1=.. — Р„А== — о =ю,(й)1.
Р Поскольку ю, =- О, обе характеристические скорости (15.11) сводятся к ю, (й). Система, кав отмечалось вопле, пе строго ггшерболическая, поскольку имеется только одна диффереицвальяая форма Ай.= О, соответствующая соотвошевию (15.10). Одпако гюсле того, как й (з, 1) найдено, переменная 1 находишя интегрированием уравнения 1ь+ .; (й) 1, + .; (й) 1й„= О вдоль тех ше самых характервстик. В яочти линейном случае с лаграпжиаиоы Х, заданным равенствоп (15.4), имеем Х~ = Р (го, )г) -~- 2Р, (го, й) А +... = О, 1 = Х„Р„(ю, й) А -(-..., 1 = — Хо =- — ~Ро (ю, )о) А + ...
1'л. 15. Уточнение аффектов дисверсии Из этих уравнений можно залучить о> = о>о (й) + о>, (й) 1 +..., 1 .= о>,', (й) 1+.... Характеристические скорости (15.11) иыеют вид — = со,' ()с) ~ )' со, (й) в, (й) 1 +.... (15Л2) (15ЛЗ) Это согласуется с (15.5), поскольку, если 1 = д (й) ао, то в = во (й] + в, ()с) ао +..., где вс (й) = о (й) во ()с) и (15ЛЗ) переходит в (15.5).
Хейа (2! от>иечает, что если одновременно с й в 1 ввести частичное преобразование Гаыильтопа Я(й, 1) ==вх — Ж=в1 — Х, (15.14) то получим (15Л5] Это можно увидеть также пз соотношений (15.7), положив»2 =- со1 — ахс. Уравпеппя прикипают вид да д — + — »УУ =-8, д> д дг д — + — в =.о. В д (15.16) Характеристическими ураввекиями яю>лютея )> ж,„с<5~)с ЛЪ с)1=0, д» вЂ” дс =Жго ь У~Уз>~У>с (15Л7) В частных случаях для получения наиболее простых выраясеипй иногда полеаио выбирать другие переыепкые. Например, для уравнения Клейна — Гордона, согласно (14.26), имеем в (вз ьз)»зу (><) д (15ЛЗ) Р (Л) = — $ (2 (Л вЂ” У <>!с)))»з с)>Р и в= <и -1]'>'р <л) и оказывается, что наиболее фазовая скорость 77 =- в/й п ношению ю» — — О, 1 <ь -т)'с' р'<д] удобными переменными являются А.
Согласно дисперсиовкому соот- 15.3. Тип уревнеиий и устойчивость и уравнения (15.2) и (15.3) переходят в следующие: э1 ) (пх 1)1гх)+ ъ 1(па Опэ ) = ' е( 1 ) э( и эг 1 (па 01гтр ) ж 1 (пз 01гзр ) Характериотические уравнеяии записываютсн так: ит — 1 ~( р) Эл 1 и П ( — УР"/Р'х)па ЭЭ = О, Рупям)ЫЗ . (15.19) (15.20) Случай нескольких аеэисилпх лгреленннх Когда имеется несколько зависимых переыегпгых и несколько уравнений, как в (14.70) — (14.73), число характеристик увеличивается в соответствии с порядком систеыы.
Дополнительные характеристики *вязаны с иевинениым взаимодействием волнового пакета с иамененннми средних значений фоновых переменных и не имеют ничего общего с линейной групповой щгоростью. Формулы для тех двух сноростей (ассоциированных прежде всего с распространениеы й и Л), которые сеосмнглсеюуют линеиной групповой скорости, значительно иэиеняются. В частности, в этих случаях тип уравнений может измениться„ если какая-либо дополнительная зависимость осталась неаамеченноб и были использованы приведенные выше упрощенные формулы.
Общие формулы для характеристик выводить не будем, воскольку наиболее целесообразный выбор переменных существенна зависит от ковиретной задачи. Типичными примерами служат рассматриваемые нюне уравнения Кортевега — де Фазан волны Стокса на воде конечной глубины. 15.3. Тин уравнений и устойчивость га — Рд) 0 юэль ) Оа <й)жсУУгг ) 01 (15.21) второе выражение ближе всего по форме к почти линейному усло- вию ю,ю, ") О.
Если знаки неравенств противоноложны, то система ввляегся эллиптической. Тип уравнений определяется тем, явчяются характеристики веще- ственными или мнимыми. Условие гиперболичности системы мож- но ааписать в следующих эквивалентных формах: Гл. 15. Уточнение эффектов джперсии Как было указано в $ 14.2, периодические волновые пакеты в определенном смысле неустойчивы, когда уравнения модуляций злзпгптическве. Чтобм убедиться в этом, заметим, что уравнения модуляций имеют следующий общий вид: дч дэг — +ам(п) — =О.
м а» (15.22) В однородном периодическом волновом пакете п принимает постояняое значение, скажем п'с'. Для малых возмущений полагаем п .= п'э' -(- и'тц Линеаризованные уравнения для в'г' таковы: д о' дио' +а))' з' — — О, а~; '=о)",(и'э]. Эта система имеет решения пас Вэ[ сл причем ) ай' — Сбп ) .=.О. (15.23) Возможные значения С являются тарактеристическими скоростями, вычисленными для и = п'е' (см. (5А2)).
Если среди жил аваченнй С имеются комплексные, то соответствуюпр~е решения в'г' экспонеяцнально растут со вреыенем. Конечно, как и в более простом линейном анализе устойчивости, зто указывает только иа то, что могут возникнуть значительные отклопения от однородного состояния, н волновой пакет необязательно становится хаотическим. В настоящем нонтевсте устойчивость и возможные ковечнме состояния существенно зависят от членов нысших порядков модуляционного приближения, как зто будет показано в 4 15.5.
В случае нелинейного уравнеяня Клейна — Гордона, согласно (15.20), для волковых пакетов, удовлетворяющих условиям (14.6) с Р (А) ) О, иыеем гиперболический тип: Р' ( О, эллиптический тип." Р' ) О. (15.24) В частности, когда У (Ч') = «/, Ч'а -~- оЧ'К система лшерболвческая при и ) О и эллиптическая прл а ( О. Для любой четной функции У (Ч') первые члены почти линейно~ о разложенвя можно представить в таком виде, н пш аналогичным образом зависит от анана коаффициеята и. Для уравнения Б!п-Гордона потенциал У (Ч') = 1 — сов Ч', и можно показать, что Р'(А) ) О, так что вериоднческие волновые вакеты неустойчивьь Этот результат применим к осцилляцвям около состояния Ч" =- О, удовлетворяющего условиям (14.6).
В дальнейшем мы отметим существование спиральных волвовьж пакетов, в которых Ч" монотонно возрастает вли убывает. Оин 499 15.4. Нелинейная групповая скорость дают периодические решения, поскольку то же самое физическое состояние восстанавливается после каждого изменения на 2я. Зги решения оказываются устойпшыми в рассмотренном едесь смысле. 15.4. Нелинейная группован скорость, групповое Расщепление, ударные волны В гиперболическом случае характеристические скорости используются для определения яелияейямх групповых схорссвилц Зто естественное обобщение линейного случая. Расщепление двойной характеристнчесггой скорости линейной теории на дзе различные скорости, возможно, является наиболеа важным и далеко идуппгм Рис. 15.1. Групповое рамвепвевве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
