Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Обоснование вариацновиого подхода 475 В задачах о колебаннях в обычных механических системах переменная з отсутствует в метод решения сводится к выделению в явном виде зависимости для двух масштабов времени. Он известен под названием «метод двух времена,(етпо-т!ш1пдз) — вырааительвое и удобное название лаже при наличии з-колебаний с двумя маспыабами длины. Эфбюктивность этого метоца основывается на том, что, хотя в начале и в конце имеется правильное число неаависнмых переменных, на промежуточных агапах выгодно ввести зависимость от дополнительных переменных.
В нанном случае, в силу соотнов~ений (14.35), и фактически является функцией от к и г, но на соотвештзующих этапах анализа Ф рассматривается как функция от трех независиьпзх переменных 6, Х, 7'. В обычном методе двух времен такая дополнительная свобода поаволяет иабавнться от веконого и прочих нежю~атетьньи членов. Эдесь применительно к вариационному принципу он иснольауется иным, но эквивалентным образом. В геометрической оптике разложение (типа ВКВ), рассмотренное в 1 11.8, зквивзлентно выбору ч(з, г]-е 'еп" к'ч'е"А„(нт, ег). Методу двух нремев соотвнгстнует разложение Ф(6, Х, Т; е) — зз'(" .е А, (Х, Т) (14 38) с тем же окончательным реаультатов.
В любом случае зкспоненциальная занисвмость от 6 ограничена линейными аадачами. Для иелинейяых задач аналогом было бы раэлогкение Ф(6, Х, Т; е) — У'ечуз '(6, Х4Т) (14.39) и последовательное нахоюление функций Ф' ц Однако в зквивалешвом вариациояном подходе мы не используем таких исходных разложений, а работаем непосредственно с ныражевиями (14.34)— (14.36) и набегаем большей части утомительных выкнздок традиционной теории воамущсний. Подставив (14.34) и (14.35) в основное уравнение Эйлера (14.32), полупгм т — 4-з — з-й — +е — — 5 =.0,1 (14.40) ''дсб дс~ дсз дсз де дг .де дх згде производные Тч зависят от аргументов следующим обрааом: Ьг==йг(тФе+зФт, йФз+еФх, Ф). (14.41) При выводе уравнения (14,40) было иаюльаоаано соотношение 6 = е гЭ (Х, Т), но теперь оно опускается.
Это ревюющий шаг рассматриваемого метода. Уравнение (14.40) теперь рассматривается как уравнение для функция Ф (6, Х, Т) трех нззазисиммл переменных 6, Х, Т. Уравнение содержит также функцию Э (Х, Т) Гл. (4. Нелинейная дисперсия через ее производные т = Вт, й = Вх; исходные соотношения между 9, т, й и аргументом О в Ф также опускаются. Ясно, что если удается найти решения вля Ф [О, Х, Т) и В (Х, Т), то Ф (е %, Х, Т) будет решением исходной задачи. Дололввтельная свобода выбора 8 (Х, Т) используется пля того, чтобы обеспечить надлежащее поведение функции Ф (О, Х, Т).
Выбор функции В (Х, Т) производится различными способами в аависимости от конкретного варианте метода, по все они аквивалевтвы. Здесь мы должны с самого начала наложить требование периодичности Ф и ее проиаиодвых по О. (В других вариантах оставляют О (Х, Т) сначала проиавольной, вахолят в общем выражении лля Ф нежелательные веновые члены, пропорциональные О, п затем исключают их соответствующим выбором функции 9.) Период можно нормировать на 2п, так по мы наложим упаовие, что Ф и ее производные должны быль 2л-периодичим по О.
Длн того чтобы обеспечить выполнение атото условия, заметим, что уравнение ((4.40) моя<но записать в виде закона сохранения ес ((туч+ йье) Фе Ц+ е ет (Феуч) + * сд (Феуч) = О. ((442) е д д Тесла при иятегрировании по О от 0 да 2я вклад первого члена обращается в нуль, в силу условия периодичности, и мы имеем ет ~ Феуо ВО+ ад гв 1 Феусбб= 0 ((4 4З) Уравнения ((4.40) и ((4.43) образуют систему иа двух уравнений для Ф (О, Х, Т) и 8 (Х, Т). Достопримечательяо и достойно удивления, что ети уравнения для Ф и В в точности совпадают с уравнениями Эйлера для вариацианното пршщипа б) ) — ) Ь(тФо+еФт. ОФе-реФюФ)ИООХЙТ=О.
((4.44) а Вариации ОФ првводят к уравнению — б+ — б+ — Т вЂ” Т=о, д В д ае е ет т ах х которое в частном случае лаграижиава Ь из ((4.44) совпадает с уравнением ((4.40). Ввриацив бВ дают д — д — Тч+ Те=о, (44.44) 14.4. Обосновение вэриацпанного подхода где Х вЂ” ) Ь(ъФе-(-еФт, ЙФе+еФх, Ф)»9; (14.46) о это совнадает с (14.48). Но самое удивительное — это то, что (14.44) является точной формой усредненного варивцванного принципа( 5(ы не только обосновали вэриэцлонный нодход, но получили мо>цный и компактный бааис для исей теории воэмущеввй.
Несколько странна, ыс до сих пор мы ве испочьэовали явна предположение о мэлогти пераыетра е. Неявно, однако, это предналоя>сине садерн>ится в выборе функциональной формы функции Ф и в требовании периодичности Ф по 9. В внешем порядке приближения вариацпониый принцип (14.44> дает б ~ ') 7,>о>АХАТ= 0, 5>о> 1 > 5 ( (95е> щи> Ф>о>) >(9 тя 3 о (14.47) (14А8) Вариецнонные уравнения имеют вид 5ФЮ' — '(ту(о>+ И4е>) — 5(ю=-0, эс 566 — 5„+ — 5„= 0; в — <о> с >е> аг " ах (14.49) (14.50) это, нонечяо, приближения пившего порядке для уравнений (14.40) н (14.45).
Поскольку в уравнении (14.49) отсутствуют проиеводные функции ФИ' по Х, Т, это фактически обыкновенное дифференциальное уревневие для Ф>и нак функции от 9. Оио имеет очевидный нерный интеграл (соответствующий приближению ниэшего порядке для (14.42))> (>тйш>+5Р)ФР— ие>=А(Х Т) (14.51) Уравнения (14.49) и (14.51) — это обыкновенные дифференцивльные уравнения, описывающие однородный периодический волновой пекет, но с той рввницей, что параметры т, й и А теперь являются функциями от Х и Т. Зависимость ат 9 в точности тв же, что и для периодического волнового пакета; ээвисимость параметров о, й и А от Х и Т обеспечивает модуляцию.
Янное отделение перо. меккой 9 от Х и 7' ввтоматнчески поэволяет интегрировать па 9 при фнксвроввнных ч, й и А; теперь ясно, что интегрирования в (14.25) в (14.26) проводятся именно в геком смысле. Объединив решения урэвяения (14.51) с выражениями (14.47)— (14.48), получим в точности вариационный нодход, предложенный 478 Гл. 14. нелинейная дисперсия ранее. Теперь он обоснован яак первое приблюяение формальною теорлл воамущений.
Нрн фактическом испольаованнн данного метода воанвкает важный вопрос, котарыв слецует рассмотреть в общем виде. Урви пение (14.51) в его настоящем виде можно испольэовать для нахол:— дения как функции Ф"", жал и днсперснонното соотношения между й, А (ср. (14.5) и (14.7) для уравнения Клейна — Гордона). Выкладки в (14.28) покааывают, что при таком вспальаованин равенства (14.51) в (14.48) можно набежать нато>япония фуякцвв Ф'с' (которая с точностью до обоаначений совпадает с Ч<) в явном виде и Эясперснонное соотноп<ение мол<но рассматривать как дополнительное варнацвонное уравнение, которое выводится пэ (14А7). Зто намного предпочтитячьнее, поскольку тогда форма усредненного лагранжиана упрощается и, что более существенно, есе уравнения, свяэыва<ощие медленно пэмсннющиеся параметры т, й, А, объединены общим варнадионным принципом. Как описать эту процедуру в общем лидер Это именно тот возрос, о котором шла речь выше.
Задача эаключается в том, ыобы иэ уравнения (14.51) навлечь достаточную ввформапню о функциональной форме ф1'нации Ф<е, не испольвуя при этом полную информацию о дпсперсионном соотношении. Сейчас мы покажем, кав это можно сделать. 14.5. Оптимальное использование вариационного принципа В линевиоы случае при отделении функциональной формы функции Ф'" от днсперсвоиного соотношения трудностей не возникает. Мы ааранее внаем, что решение уравнения (14.46) или (14.51) примет вид Фе = с . (Е + ц)* где а (Х, Т) — амплитуда, свнваниая с А (Х, Т) и испольауемая вместо нее. Фаэовый параметр <)(Х, Т)при построенииусредненвото лагранжиана (14.48) выпадает и не играет роли в этом приближении ниашето порядка. Зта довольно тривиальная информация о блв являетсн елннственной информацией, навлечениой иа (14.51), и яе ввлючает дисперснонното соотношения. Когда эта функция ФЯ< подставлена в (14.48), для усредненного лагранжиана получается выражение 1 Х(т, а, а)= — Е( — чаэ1ве, — йаэ1ве, асове)А6! 14.5.
Иснольаование вариацианного принципа В почти линевном случае трудностей также не вовы<кает. Можно испольаовать рааложение Стокса Ф<в=-асан(8-~-Ч)-~-а с<в(28+«й)-~-а«с<в(38-(-тй)-(-..., опять ве включая в рассмотрение дисперсианное соотношение. Соотнон«ения не«кдуам а,..., «)и «)«,, .. и а, ц можно либо найти ив (14.49) или (14.51), либо оставить прсиавольными и так«яе определить при помощи вариадионного принципа.
Например, в случае уравнения Клейна — Гордона с 1 (д«) вида (14ЛО) положим ФЮ = асов 8 + а«соа 38+ а«соа 58 -(-.... (Пегно видеть аараяее, что достаточно испольэовать только члеяы нечетных порядков.) Тогда «) «,е! ( <' ( а й«) Фйа« <ра«а сер<с«« ) <В 4( ) а ( < 2 /+ ВаРиациа пс а«наказывает, что а« = «/е саа, что согласУетса с Рааложением (14.11]. Подстав««в ато выражение для а«в 7/е<, получим У(с, /<, а) =-'/«(т« — 4« — 1)а* — '/«са' — '/яс«а«-1-.... (14 52) Вариация по а теперь дает диснерсионное соотношение [14.12). В полностью нелинейном случае труднее отделять функциояальную форыу функции Ф<в от двсперсиониого соотношеяия.
Однако сто можно адолат«ч аашюав уравнения в аиде уравнений Гамильтона. Преобраеоааяие Гияильтока Это преобрааояание будет применено адесь толы<о к приближению нна«пего порялка (14.47) — (14.51), так что для упрощения сбовначеяий ыы опустим у всех величин индекс нуль. Идея состоит в исключении величины Фе в польау проиаводной дПдФе точно так же, как в обычной механике д исключается в ыольау обобщенного и«шульса р = дб/дд. Новая переменная определяется как П= —,' =И„+)бм (14.53) Р~а а гамильтонван Н (П, Ф; т, й) определяется формулой Н =Фа — Ь =Фечб«-)-бала — Ь. ас (14.54) аюе «) Член, проперпиоюспляй (т« — ૠ— 1] а«, опущен, псскааькг иа вослекуыв<ах Граевеввй)видво, что т« — Ь« — < = О (а«). Гл.
14. Нелинейная дисперсии Согласно определению преобразования, Вл дд дз дП' н, в силу (14.49), дп дд де дш (14.55) (14.56) Эти равенства заменяют уравнение второго порядка (14.49) для Ф двумя уравнениями первого порядка для Ф п П. Теперь можно переписать вариациовный принцип (14.47) с учетоы тога, что Х= — )( (ПФе — Н)АЭ е (14.57) П (Ф; с, й, А).
Вез использования свяаи П с Фд, которая теперь рассьзатрпвается как одно иа зариациояных уравнений, невовможно вывести еще и дисперсионное соотношение. Таины образом, достигнуто желаемое раздеченне уравнения (14.51) на информацию о форме репзенвй (теперь даваемую зависиьюстью П от Ф) и дисперсионное соотношение. Наконец, поскольку стационарные аначеяия выражения (14.57), как мы внаем, удовлетворяют равенству (145з8), можно ограничиться вариациями функций, уже удовлетворяющих равенству (14.58). Тогда усредненный лагранжнан (14.57) окааывается равным У(т, й, А)= — $П(Ф;т, й, А)АФ вЂ” А, (14.59) где П (Ф; т, й, А) — функция, определяемв» из равенства (14.58).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
