Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 83
Текст из файла (страница 83)
При финсированной раж нице уровней, т. е. при еадапной величине г — 1, достаточно малое демпфированве допуокает осцилчирующее решение, но боль- глое деьшфироватше подавляет осцилляцию. В случае волн на воде критерий для У, нолучаемый иа равенств (13.140) при фиксиро- ванном р, кажетсн противоречюцим действительности.
Однако в етом случае р слелует интерпретировать как турбулентную вяв- мость, вависящую от средней скорости течения. В первом, грубом приближении эта аависимость имеет вид р = Ьим'„где и, н Ь, относятся к условиям ва борой, а Ь вЂ” числовой множитель. Тогда, в силу условий ка боре, —" = — Ь(Р— 1>. р 4 г тч Критерий т ( 2 для оспиллирующего решения переходит в нера- венство г" — 1 ~ 3((3Ьт). Критическое аначение гйавра г" = 1,2 дает Ь иа 1,4, что, воаможно, в десять раа превосходит ожидаемое для турбулентной вязкости впачение. Но ап» привели вдесь только грубую модель реальной фиаической ситуации. Общий качествен- ный аффект диссинацни энергии, по-виднмому, отражен правильно Глава 14 НЕЛИНЕЙНАЯ ДИСПЕРСИЯ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Нелинейные эффекты, обнаруженные при изучении волн на воде, характерны шгя общих диспергирующвх систеы.
Периодические полковые пакеты, подобные ноляам Стокса и Кортевега — де бтриэа,найдены для болыпинства систем и являются исходнмми решениями, аналогичными элементарным решениям а"х"-'ж влвпейвав теории. В нелинейной теории реюевия ужене синусоидальны, но возрос о существовании решений, периодических па Э =— = 1гх — ют, регпаетсн явньсав формулами в простейших случаях и свяаывается с разложением Стонса в остальных. Основной гюлилейиый эффект заключается пе в иамененпи функциональной формы, а в аависимости днсперсигнпюго соотношения от амплитуды.
Это приводит к качественно новому поведению, а не только к поправкам к линейным формулам. Для построения волновых пакетов более общего вида нельзя испольаовать суперпоанцию реагений, но теорию модуляции можно изучать непосредстветпю. Эту теорию можно раавить е общем виде, испольауя вариадвонный подход 1 11.7. В этой главе вариационный подход будет детально изучен и для ааверпгения предыдущего обсуждения обоснован как формальяый метод теории возмущений.
Подробные приложения теории будут дагпа в гл. 15 и 16, Другим характерным следствием нелинейности является существование уединенных волн. Волин с такими профилями в линейной теории диспергируня, во иелипевкость уравковегпивает дисперсию и приводит к волнам неиамепной формы. Уединенные волны были абпзругкены снечала как предельньге случаи периодических волновых пакетов; недавние исследования их взаимодействия и образования иа произвольньш начальных распределений показали, что их особая струвтура имеет самостоятельное аначевие. Уйы вернемся к этим вопросам в гл.
17. Для волн сравнительно неболыпой амплитуды дальнейшие резулыаты можно получить методами теорви возмущений, которые основаны на рааложениих по малой амплитуде н которые кожно наавать тпочти линейной теориейэ. В часхности, можно вернуться к описанию, базирующемуся на фурье-анализе, и исследовать малые нелинейные взаимодействия между фурье-компоненгами.
При вэаимодейатеии различных компонент между нюни хроиаходат перераспределение знергяи, а вследствие наличия г уравнениях членов типа нроиэведений иа существующих компоаеат генерируются новые. Эти вваимодействия можно эффективно 467 14.1. Нелинейное уравнение Клейна — Гордона проследить голыш в случае, когда фигурируют лишь несколько компонент.
Гйы приведем характерные результаты, во основное внимание уделим методам, раопространяющимся па полностью нюпшейный случай. С точки зрения фурье-анализа нелиневные волновые пакеты и уединенные волны уже имеют довольно сложные распределения фурье-компонент с уравновешенными взаимодействиями. Описываемый здесь подход опирается непосредственна на ати специалытые структуры, не пытаясь раалоясить их па компонеьыы. Однако в почти линейном случае можно установить интересные и содержательные свяаи между этими двумя гавкал~и зрения. 'л4.1.
Нелинейное уравнение Клейна.— Гордона Полсвно иметь простой пример длв обоснования зли иллюстрации этапов построения общей теории. Для атой цели нелинейный вариант уравнения Клейна — Гордона особенно удобен и даже более прост,чем уравнение Кортевега — де Фриаа, которое могло бы быть друлы очевидным примером. Итак, рассматривается уравнение р — у.* + 1" (е) =- О, (14.1) где У' (ю) — некоторая пелинейнав функдия от ю, для удобства дальнейшего наложения задатшая в виде производной от потенциальной энергии. Ураввенке (14.1) не только лолеапая модель; оно встречается во многих фивических вадачах. ото прея<де всего относится к случаю р' (с) =- зш ю, который Почти всегда упоыинается как уравнение 6(п-Гордона) Обвор физических вадач, в которых фшуряруш это уравнение, дан Бароне с сотрудниками [Л, раюжвюимв краткое иэлоткепие Скотта !1, стр.
266). Впервые это уравнение понвтиось вовсе не в волновых задачах, а яри научении геометрии поверхностей с гауссовой кривизной К = — 1. Фактически некоторые ив раавить1х там методов преобразований оказались удившельно цетшыми при нахождении ретпения дли вваимодействующих уединенвых волн, кав будет показано в гл. 17. Сравнительно новые вадачи, перечисленные теми,.же авторами, включают следующие. 1.
Переход Джовефсона, где зш р — ток Джоэегсояа через участок слабой сверхпроводимости мюкду двуми оверхпроводвикеми; напряжение пропорционально ~рь 2. Дислокации в кристаллах, где появлепие вш ю связано с периодической структурой рядов атомов. 3. Распространение в ферромагнитных материалах воля, связанных с вращением направления намагниченности. Гл. 14. Нелинейная дисперсвя 4.
Лазерные импульсы в двухфазной среде, где переменные также можно выразить через врашяющийся вентор. Скотт далее описмвает свою конструкцию механической модели с «кесткими маятниками, подвешенными через короткие интервалы вдоль натянутой проволоки. Крутильпые волны, распространяющиеся вдаль проволоки, удовлетворяют волновому уравнению, а маятяики создают восстанавливающую силу, пропорциональную з1п дь где р — угловое отклонение. Скотт смог воспроизвести волны, соответствующие многим решениям уравнении Вш-Гордона. Ураввение (14.1) рассматривалась также Шиффом И] двя случая кубической нелинейности и Перрипгом и Скирмом П) для у'(ф) = зш ~р в свяаи с модельными исюгедовакиями в теории злементарных частиц. В этой главе ввалив проводится для произвольного потенциала 1'(гр) с надлежащими свойствами. Выбор У(~р).=Ч рз-~-яра наиболее прост для запоминания; к тому гке ато — коррекхное раалопсепие почти линейной теории лля четных функций 1' (р). В случае разложения по малой амплитуде уравнения Гйп-Гордона и = — 1/24.
Проверим сначала существование периодических волновых пакетов. Для того чтобы их получить, положим, как обычно, р = Ч' (Е), б =- й — ий (14.2) После подстановки имеем (ю' — йз) ту + 1" (Ч') = О, (14.В) что восле интегрирования дает '/и (юз — йз) Что+1' ( 1') =. 1. (14.4) Мы обозначаем постоянную интегрирования буквой А, хотя раньше ета буква игпольаовалась для обозначения коьшлексной амплитуды в линейных задачах.
Теперь в аналогичном контексте будет фигурировать только вещественная амплитуда а, так что недоразумений не возникнет. Здесь А — по-прежиему амплитудный параметр; в линейном случае У (Ч') = П, Ч~з он овяаап с фактической амплитудой а соотношением А = г)з аз. Решение уравнения (14.4) можно записать в аиде й=(П,( — й Р™ ~ Яч „; (14.2) (А — у(ч))'ы ' в частности, если У (Ч.') — полипом третьего либо четаертого порядка или тригонометрическал функция, Ч' (О) можно выразить череа зллиптические функции.
Периодические решения получаются чогда, когда Ч' осциллирует между двумя простыми пулями выражениа А — У (Ч.'). В ших иУлЯх пРоиаводнаа Ч'е = 0 и гРафик 14Л. Нелинейное уравнение Клейна — Гордона 469 где $ означает интеграл по полной осцилляцяи переменной Ч' от Ч~г до Ч'з и обратно. Знак квадратного корни необходимо соответствующим образом изменять для обеих частей цикла. Взыеграз можно также интерпретировать как интеграл по аамкнутому воятуру вокруг разреза от Ч', до трз в комплексной Чг-плоскости. В линейном случае 1'(Ч') = В, Чн периодическое решение иыеет вид Ч'=-асоз6, А=— з (14.8) амплитуда а вьшадает иа равенства (14.7), которое переходит просто з линейное дислерсионное соотношение (14.9) В нелинейном случае амплитудный параметр А ие выпадает ив равенства (14.7) и ыы получаем характерную зависимость дисперсионного соотноптевия от амплитуды.
Голи амплитуда мала и потенциал У представлен рядом 1' — '/ йз+ аюь -1-... (14.10) то имеем Ч'= а соей+ Ваап соз86+ .. юз — йз=(6 Зал~6 . А .= Ч, аз+ з(» паз +.... (14Л1) (14.12) (14.18) В*о разложения Стокса, которые можно получить либо прямой подстановкой в уравнения (14.3) — (14А), либо разложением точных выражений (14.5) и (14.7), полученных вылив. Следует заметить, что а — амплитуда первого члена в (14Л1); оиа несколько отличается от точной амплитудм а+ Чзааз+....
решения имеет максимув или минимум; вти точки доститаютоя при конечных значениях 6, поскольку интегрел (14.5) сходится, когда нули простые. Обозначив зги нули через Ч', и Ч'н мы пока ограничимся случаем Ч' < Ч' ( Чн А — У (ту) > О, ю* — йз > О. (14.6) Период по 6 можно нормировать на 2я (что удобно в лине(пюм пределе), и тогда имеем Гл. 14. Нелннешюя дисперсия 14.2. Начальные сведения о модуляции фуо В гл. 11 мы убедились в том, что в простейшем случае одномерных волн в однородной среде модуляции хиесйкооо волнового пакета можно описать уравнениями — + — =О, ей а м э* эо а +о (С ) =-О, (14.14) (14.15) где со = во(й) аадается линейным днсперсиошсым соотношением, а Со = в,'(й) — лшввшая групповая скорость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
