Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Этн аыволы согласуются с полученными при поможи понятна групповой скорости рееультатамв (!2.21) — (12.22): гравитационные волны ание по течению в капиллярные воляы ваерк по течению. Асимгпотика волновых напетое такова: Гл. 13. Волны ва воде Поскольку соз Х) О, полюс к =- кз лежит в нижней половине коыплексной к-плоскости. Картина симметрична относительно осн хн так что достаточно рассмотреть интервал 0 ( 3 ( и. Когда сов (3 + Х) ~. О, т. е. — я/2 ( Х ( я)2 — $, контур интегрированна в к-плоскости можно вапраевть вдоль отрицательной ыпимой полуоси и полюс дает вклад; когда соз (5 + у) (О, т. е. п)2 — $ ( Х ~ я)2, его мо>ге но направить вдоль положительной мнимой полуоси и полюс вклада не дает.
Дальнейшие вычислевик становятся донольно громоадкими, если стараться аккуратно следить *а всеми членами. Здесь мы укажем вклад полюса и прокомментнруек остальные члены. Вклад зюлюса составляет з!3 С хр 1 г Г схр( — ~зв соз(1-~-хП зкс сое Х бх), — з/2 где в нз теперь можно опустить член с с. Функция з(Х) =косое(С+Х) = ь ( +Х) Рз созгу имеет стационарную точку при у = ф где 13 Я -).
ф) = 2 13 ф. (13.70) При помощи стандартной формулы метода стационарной фазы находим, что -Ж Г(,(,,1П)' - Е-щ(ф) — с'з '(ф)Н. После некоторых упрощений зто дает ( кг ) Сзссуй )Г тзкзй)ыз к ы» ( йг соз ($+ ф) + —" збп з' (ф) ), (13.71) где 3 = к,(ф) =,.„,".„„ (13.72) и ф (3) определяется из (13.70) Определение волнового числа й и 1) из (13.70) и (13.72) согласуется с (12 32); фаза йг соз ($+ф) согласуется с (12.35).
Амплитуда имеет особевнасть при $ = $ = 19,3', где 13 ф —.— 2-0'. Именно здесь сливаются, образуя заострение, боковой и поперечный гребни, что соответствуег слиянию двух стационарных точен, определяемых уравнением (13.70). Поскольку з" (ф) — е О, имеем 13.10.
Теория мелкой воды; длинные волны переходную область того же общего типа, что вв $13.6. Скачок фаны ва сторонах угла $ =- ~5м равен я/2. Сингулярное поведение на оси лг, где е -ь О, свяааво с предположением о точечном характере вовмущевия. Сингулярные ебласти подробно изучены Урселлом !1). Нелинейная теория 13.10. Теория мелкой воды; длинные волны Для гранвтационных волн с кй, -ь О дисперсионвое соотношение принимает вяд юа ййека (13.73) и фааовая скоресть с„ = )гбйа становится неаависимой от к. Диспсрсионные аффекты прн этомвропадают, и в однсмерном случае преобрааонание Фурье дает 1)= )У Р(к) смм"-'ойг+ ~ О (к) дмюь" сйс= =-.((в — гсг)+ а( '+сад) г.
е. общее рев1евие линейного волвоного уравяешш цп в**=о. (13.74) Зсяо, что должен существовать прямой способ вывода етого уравнения иа полных уравнений, и фактически он уже был дан в более общей постааовке в 4 3.2. Там прк научении речных волн были учтены келинейаость н трение. Здесь мы пренебрегаем аффентами трения, по учитываем нелинейность.
Прежде всего вспомнил~предыдущий вынод. Ключевои момент состоит в том, что проекция уравнения гехранепия импульса (13.2) на вертикаль аппроксимируется уравнением 1 др — — — — 6=6. у ду Тогда Р Ро — РУ (Ч вЂ” У). (Сй 75) Проекции уравнения (13.2) ва гориаонтальные оси имиот вид — + г — + — = — б— и, а, ау, ач (13.76) М дст ду да~ ',теперь мы вспольауем смешанные обовначения в = (кг, им л) г = (х„х„у), так что 1 = 1, 2, в суммирование в (13.76) прово- Гл. 13. Волны на воде двтся по / —,— 1, 2).
Поскольку права» часть не вавксит от у, скорость ивмевения и, вдоль траектории частицы не ваввсит от у. Повтоыу, если пг первоначально не вависвт от у, то вто справедливо и двя,всех последующих моментов времени. Будем считать, что это выполняется; тогда уравнения (13Л6) ваписываютс» так: — +иг — '+ у — = О. ди~ ди да д~ дю дж Хотя в соотношении (13.75) мы пренебрегли вертикальным ускорением по сравнению с оставшимися членами, вет оснований пренебрегать членом ди/ду в (13.1). О/жако мы можем испольвсвать проилтегрированную форму уравнении (13.1), которая даижяа дать уравнение сохраиеяня .с+ — (" В=О (13и78) где представляет собой полную глубину ат у = — †у дна до у = 1) у поверхности.
Подробнее: О.= 1 ( '.ш + —," ) бр = - ьи — и,бу+(о)„, — (и,)„„— (и,] ж —; д Г ита дс Ше лч дж " ди~ '.. в силу граничных условий (13.11) и (13.13), вто сводится к следующему: — и; бу -(- — =- О. дч д; д ' д1 -ь, Поскольку в атом приближении и, не вавнсит от у и гп = Ь„отсю- да следует (13.78). Уравнения (13.77) и (13.78) для ц (х, Г) в н (х, г) навъшавпся уравнеяиями мелкой воды. (Уравнения (3.37) волучаются отсюда, если (13.77) переписать в виде удц/да = ,= уд/идя — 33, где Я = дЬе/дх — уклон дна, и добавить член, описывающий трение.) Легко оценить порядок величин в сделанном криближенни.
Ошибка для р в (13.75) имеет порядок рбеоо в, в силу (13.1), о кл — Ьеп„. Поэтому относительная ошибка в (13.77) имеетпорядск — р„ци ~ Ьии ~'с 13.10. Теория мелкой воды; длввные волны где 1 — характерная длина волны в х-направлении. Зто согласуется с приближением (кйе)т (( 1, вспольвованным при вь>воде (13.73). Таким обравам, уравнения (13.77) — (13.78) дюот вамкнутую,нелинейную систему дл» сравнительно мелкой воды, или, еквивалентно, для сравшпельио длинных волн. Эффекты дисперсия в этом приближении отсутствуют. В следующем параграфе уравнения медной воды будут выведены в качестве первых членов равложенвй по (й,Х))т, малые дисперсионные эффекты будут включены прв переходе к следующему порядку.
Ливеариеованные уравнения приводят к (13.74), но, испольвуя теорию части 1, можно получить нелинейные решения, поскольку система является гиперболической. В частности, для одномерных волн над гернвонтальным дном мощна положить й,+( й)„=о, и, + ии„+ бй„=- О. (13.79) Характеристические скорости равны и ~ )> бй, инварианты Римана равна> и ~ 2)гбй, в простые волны, днижущиеся нправа в невоамущенную область, где й =. йе, определяются равеватвами й=ХХЯ), и=2)ХрН 2)Хб)>и (13.80) х =- $-~ (3)> бХХ (3) — 2 )> дЯ) г.
Все такяе волны, несущие воврастание уровня, оп)юкидываются. Повтому приходится вводить раврывы, причем условия ва раврыве, выведенные ив уравнений сохранения (13.79), имеют вид — Н(ий)+~йй+ —,' б)Р~ --О, — Н (й) + (ий) = О, (13ь81) как отмечено в (3.53) и (3.54). Эта так навываемая турбулентиая бора. Паленке опрокюлавания является одной ие наиболее интригующих вадач теории волн ва воде. Прежде всего, когда градвеиты перестают быть малыми, приближение й,'/В перестает быть справедливым, тав по реюение (13.80) должно стать некорректным вадолго ло начала опронидывания. Однако опрокидыаание, несомненна, нроиаходвт, и ярв некоторых условиях оно, по-видимому, невначвтельно атличаегся от описания, м>данноп> формулами (13.80).
Более тон>, боры, буруны и гидравлические прыжки иногда довольно хороюо опись>валкая аоатнощенвями (13.81). Но теория мелкой воды находит с>пылком далеко". ала предскавмвает, что есс волны, несущие вавраставие уровня, опрокидываются. Наблюдения уже'давно устанавилн, чю некоторые волны Гл. 13. Вечны па воде не опрокидыванпся. Таким обрнзоы, векорректнэл теория иногда окэзываетсн верной, в иногда неверной! Нетрудно усмотреть,как етброшенаые дисперсионные эффекты подавлнют опронвдывэнве, но простые теории, чзстично включающие эти аффекты (см.
следующий параграф), в свою очередь заходят слишком далеко и утверждают, что волны вообще не опрокщвчввются! Дальнешпую дискуссию мы отложим до более детального учета лвсперсии. Однако до это>о мы приведем некоторые результаты теории мелкой воды. Задача а раэрункнин платины Прежде всего заметим, по классическое ранение задачи о разрушении плотины пе содержит боры (что весьма страпно) н может Рве. >Х.З, Хэрактернстнкн для задачи е р эринен>н> нзотпны.
быть легко найдено при помощи теорие простых полн. Начальнь>е условия задачи записываются твк> и:= О, — со (х(оо, Ь=О, 0(х(оо, лрв 1=-0. Ь=Н>)0 со(х(0 Тогда на каждой положительной характеристике Ст, выходящей нз области й =- Нч (см. рис. 13.3), инвариант Римзна имеет величщ>у и+ 2)> уй — 2)> ЗН>. (13.82) В области, покрываемой этими характеристиками, решение имеет вид простой полны с веером характеристик С , щюходнщих через начало координат и определяемых уравнением (13 83) 13ЛО.
Теория мелкой воды; длинные волны На равенства (13.82) и (13.83) )»гбЬ= — (2 УцНо — — ), и = — ( УгбН,+ — )) дают полное рещение: Условия яа боре Условия на боре (13.81) означают сохранение массы н импульса прп переходе через бору, и естестненно спросить, что происходит ари этом с энергией. Закон сохранения энергии для уравнений (13Л9) эаписываетсн в виде ( —,и»Ь+ — бЬ» ') -(- ( —, и»Ь+ ибй») =-О.
(13.85) Зто уравнение могло бы дать дополнительно третье условие аа скачке, но с системон (13.79) можно использовать только два условна. Репей предположил, что прк переходе через бору энергия в действительностн ке сохраяаетсн, и приписал потерю наблюдаемой турбулентности, так что условие нэ разрыве, соответствующее уравнению (13.85), учитывать не следует. Негко показать, что, хотя ураинение (13.79) влечет ураввевие (13.85), однано кв условия ва разрыве (13.81) следует, что ( — и~Ь+ибйо> — Н( — и»Ь+ —,уй~] (О при Ь~)Ьи (1388) Поскольку боры возникала только тогда, когда Ь, ) Ь», именно аожаря энергии сагласуа»ся со знаком выра»кения (13.88).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
