Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(12.55) При научении волнового движения удобно иметь уравнение спроизводвнми только четных порядков, к етого ьпякно достичь порота!юве09 Чт - '-' Р зжу Ре г!астный случай экспоненциального распределения Р ьч с "т пРивлекателен воотоннннми коэффициентами, и его можно достаточно хоропю сращивать с другими распределениями. Для этого случаи дигнерсиошзое соотношение имеет вид ор (й', + й; Р— аз) — ыу1-, =- О. а 1 (12.57) Во многих ситуациях представляющие интерес длины воли распололгены в области й)~ а и соотношение (12.57) аппроксимируется равенствами х!астота ыз навывается частотой Вейсвла — Бранта, она постоянна для зкспоненциального распределения и зависит от у в более общем случае.
Заметим, что волны вовможиы только при ы ( ыо и ситуации в чем-то аналогична случаю вращающейсн жидкости. Для источника с фиксированной частотой ы ( ыз одно ив Решений Уравнении (12.58) имеет вид йт = йсоеф, й = — йз!птр, (12.бй) где (12.60) тр = агс соз (ю/ые) для любой величины д; следовательно, все волны образуют с осью х фиксироваинззй угол тр. Соответствующая;групповая ско- 12ОС Волны а стратифицнроаанной жидкости рость имеет компоненты наа[»»»ь»а» С= — ', С= — —. и ' * ы (12.61) Поскольку й С =. О, фааоваа н групповая скорости ортогональны. Поатому групповая скорость направлена под углоч 9 = я/2 — ф к оси л.
Направление групповой скорости укааыаает, где следуат искать волны. В силу (12.60), ато направление одно и то »яе для всех волн и сос»аютег угол С =- — — ф = агс а»н— (12.62) ,2 в» с осью л. С учсточ всех воеможных анаков компонент й, и й» получаетсн крестообрааная картина аоамущений. Лини»г гребней также лежат ца кресте, но локально движутся по нормали к его абраеующиы, постепенно аатухал по маре удаления, причем их место нанимают новые линии гробней. (Салю собой рааунеется, что каждая обрааук»щая креста практически имеет конечну»о толщину вследствие нонечных раамероа нсточаина.) Превосходные фщографнн, полу»енные Моубреем и Рерити [1), воспроивнедены па рис.
12.9. Источником служит цилиндр, нормальный к плоскости фотографии и осцилдирующий а гориаонтальдом направлении (вертикальный стержеаь является аондом). Источник вводит также слабую, но раалнчимуго вторую гармонику с частотои 2м. Это дает линии под углом агс ащ (2»»/о»»). В атой и а следующих сжтьях (Реритн [1[, Моубрей н Рерити [2[) авторы подробно последуют теоретические картины, а также иау Рнс. 12.9. 1; ааосражеаае аеео»мгженной жадности; 2» н/и»= 0,3181 3» н/н = 0,366; 4» в/и»= 0,419; 5»»»/н»= 0,615; 6» в/ш»= 0,6991 »)» н/в» = О,ПЮ; 8» н/н» = 1,11. (Моубрей в Рврата [1).) Гл. 12. Картины волн чают картину волн, совдаваеыых движущейся сферой.
Практически распределение плотности несколько отличаетоя от експонепциальиого, и на некоторых фото»рафиях могкно наметить искривление групповых линий, обусловленное аависимостью юе от у. Это иллюстрирует эффекты нео1щородности среды, причем рааличные ситуации можно аналивировать кинематическиыи л»етодамн, раэвитымн в вреда»душей главе я приыекенными в 1 12.5.
12.8. )г»рцсталлооптика Аниаотропвость среды аачастую приводит к удивительным следствиям длн картин волн в нристаллах. Клагодаря кристаллической структуре существу»от выделенные направления длн диэлектрических свойств, н поэтому свявь ь»»чаду»»»»ектрической вндукцией В н электрическим полю» К должна описываться тенворвым соотнои»ениеы.
Для магнитного поля справедливо обычное соотношение В = раН. Укаэанные аффекты моною учесть, ноложнв в уравнениях Максвелла — 1юв —,- а» Х К = О, — иоВ+ йй х Н вЂ” О. 112.64) Поскольку В » Н, веиторь» й, В н Н вваш»но ортоговальны, так что векторы В и Н лежат в плоскости, ортогональной ваправлеяи»о распространения волн.
Посвольку вектор Г ортогонален В, он лежит в одной плоскости с вектораыи В и й, но в общем случае ие ортогонален направлению распространения. Исключив иа уравнений (12.64) В и Н, получим ы р В + 1» х О» х К) = О. С учетоь» аависиыости В от К що дает маров»аЕЗ -1- й»асЕ» — йаЕ» = О. Дисперсионное соотношение получается теперь ив условия обращения в нуль определителя а (ы„ 1») = !юерееы + 1»,51 — 1»ебм ) — — О.
112. 65) Р» = сыЕь Е, — р„)1,. (12. 66) В общел» случае тенвор дивлектричесной пронидаемости еы будет вависеть от частоты ы. Ото можно учесть, исполнлуя соотноп»ения (12.63) только после исклн»ченив вавнсимости от времени е '"'. Для плоских волн, «огда все компоненты описыва»ощнх поля векторов пропорциональны е'а "- ""', уравнении Мавсвелла сводит»я к следующим; 12.8. Кристаллооптика При выяснении деталей картин волн удобно выбрать в качестве осей координат главные оси тензора е«. Коли соответствующие главвые значения равны е<, ет, еа, то равенство (12.65) прш<иыает нид 6 (<е, й) =мер,'ечетге— — ы<р„*(а<с< (Ь, *+ Ьл<) -~- еае< (Ь' + Ь,') Р е <, ()<,' -)- !",)) + + ызродз (г<Ь,' -~- гт)ст +геЩ = О. (12.66) В случае источника с фиксирова<шоб частотой <о уравнеяие (12.66) описывает поверхность в й-пространство, определяющую возмо<кныс аначения волнового вектора й для втемептов возбукда<мы< ноле.
Для ка<ндоп< довустнмо<о зна <ения вектора й соответствуя<щая грувповая скорость равна С< (й) = — ' 6<о (12Д7) .л и. следовательно, направлена по нормали к поверхности (12.66), как показано на рис. 12.10, а.,')то геометрическое гоответствне мел,ду С и й волсзко при построении «артнн золп. а Ь Рвс. <ЗЛО. а — лиса<резонная поверхност о й пространстве, Ь вЂ” фазоввя пое<рхносп, в х-простран<тзе. Двойственная поверхность таки<в полезна. Ее котино п<ютроит<.
при полющн фазовых поверхностей, образованных периодическиы точечным нсточнином, располоя<енпым в начале ноординат. Этот частный случай не представляет особого интереса в кристаллооптине (поскольку трудно представить себе истошна, внедренный внутрь кристалла), но мои<ее быль полезен при построении и анализе анизотропных волн общего вида. Эгшменты волны с волновыы вектором й находятся в направлении С (й) от источника. Следовательно, для кжкдого направления С от источника мошко определить соответствующее атому направлеииз< значение вектора й (см. рис. 12ЛО, Ь). Но в общем случае скорость двгокевин фазовой поверхности вдоль групповых линий Гл.
12. Картины волн 410 ве совпадает со сиоростью С. Фазовая скорость в направлении й имеет величину в/й. Повтому точка пересечения фазовой поверхности и групповой ливии движется со скоростью ы/(/гсов р), где р — угол между С и й. За вреия г фааовая поверхность проходит путь от начала моорднват до точки в С в х= — 1 = — Сг. асар с вс Варьируя й по всем допустимым значениям (12.66), получаем фазовую поверхность. Другой вывод в~огаты получить, ааметив, что фааа 0 (х, 1) выравгаетоя формулой 0(х, г)= — я+~ 0.0*, и (12.60) где интеграл можно взять вдоль грувловой линии, проходящей через х. Следовательно, 8 = — ыс + й соз р(х).
(12.70) Фазовая поверхность 0 = О, покннувшан начало координат при 1 =- О, и моменту вреиени Г пройдет путь вдоль групповой линии с иалравлевием С. Отсюда следует соотношение (12.60). В оптике обычна вводят лучевой ееюгюр в, определяеыый фор- мулой з= — С, сп/0 (12.71) где с„ — скорость света в вакууме. Тогда фазовые поверхностн даются соотношением х = зс„г. (12.72) Танин образом, лучевой вектор а щюпорционалев групповой скорости,но имеет приведенную величину, чтобы определить раснростраиевие фазы вдоль луча (групповой ливии) в долях от се.
Посколы<у а есть функция от й и обратно, дисперсиолное соотношение (12.66) можно использовать для нахождения соответствующей поверхности в в-пространстве. Поскольку вта е-поверхность является канонической формой фааовой поверхности, нормаль и пей в любой точке направлена вдоль й. Таким образом,используя в вместо С, получаем двойственные свойства й- и а-поверхностей. 12.8. Крксталлооптина В оптике тзюве принято работать с коаффипиевтомпрелоыления и = сей)ы вместо !с. Тогда имеем дополнительное соотношение е в = 1. Для любой точки ва в-поверхяости соответствующий вемтор в н>шравлен вдоль нормали, и его величина равна обратной величине к расстоянию от начала координат до касательной плоскости в данной точке. Обратно, па двойствеююй з-поверхности соответствующий вевтор и направлен вдоль нормали, и его величина равна обратной величине к расстоянию да касательной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
