Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 70
Текст из файла (страница 70)
11авиллярлые селям юз=- — И1ЬИи Р (12Л) В этом случае с (й] = ( — й 1) т Иг) 2 ( + Зза2ЬЬ )' (12.8) (12.9) В предельных ситуациях имеем (р)ыз,гю, а (т)<ю .<ю ',И<-<- со (12ЛО) (у)ыг з!г и (та)«з„ с ( — ) й, С 2( — ) И, И< -ь О. (12,11) Для капиллярных волн си С убывают с ростом Х,причем С ) с. При й ((Х аффект поверхностного петля<ения и жег стать доминирующим, л тогда соотношение (12.1) будет аппроксюп<розаться выражением Гл.
12. Картины волн Колбинироеаняые эр)р)сколы гроешяай и н яоверхкостноео ксюяжения Когда важны оба аффекта, обычно достаточно рассмотреть относительно короткие волны с йй;и 1. При атом ма= 3 5+ — йа, г (12.12) Р а фааовая и групповая скорости выражаются формулами с=(ь+ — й) С 1 1+ (згура) 22 = 2 с 1+(Гррс)22 баазовая скорость вчеет минимум при й = Й, где й =( — ) а ) = — =1,73 ем; а рл аа/2 ул — (У) а — гав (12.13) (1234) (12.15) соответствуаощие аваченин с и С совпадают и равны с = 23,2 сабо. В области Х ) 3 , часто нааываеной гравитационной ветвью, С ( с, тогда как в области Х ( Х„, навываемой папиллярной ветвью, С) с.
Для любо~о вначепия с) с существуют две допустимые длины волны. 5(икнааум групповой снорости достигается прн й = 2,54 ь =- 4,39 см н составляет С =- 0,77 с =- 17,9 саа/с. Теория лмхлой соды с рчстол дисгмрсии Прн )сй О выражение (12.1) можно равложнть в ряд ай)аа (1. + ~ З ) 4232+ ' ) (12'13) с (йй)'~~ (1 ф — ( — — ) йайьф... ) . (12.17) и получить 1' — — =О, Рвы з Когда дисперсией полностью пренебреганн, уравнения для кслинсйкор теории мелкой воды становятся гиперболическими и уподобляются уравпениям таковой динамики; ета так нааываемая гидравличесная впало~на используется в экспериментах. При гидравлическом моделировании дисперсия должна бытьминимальной и Д выбиреется на условия 391 12.2.
Мгновенный точечный источнвк Ь= ( — ) =-О,йгй см. ° эг «г Рз Мазнитяал зидродикалика В проводящей жидкости, к нагорай приложено горизонтальное магнитное поле и через которую протекают горизонтальные тони, можно ввести третью вертикальную возвращающую силу. Втот сяучай был исследован Шерклифом (1), устэновияшим, что дисперсионное соотношение имеет вид р ' —. й И )гй (ру + йзт+ У,В„), где „— магнитное поле, нормальное к гребням волн, и Х,— ток вдоль них. Член У,В„описывает вертикалькуто номпонеиту силы Лоренца.
Иптеросно, что распространение волн зависит от их ориентации относительно поля и становится аннзотропным. Выражения для фазовой и групповой скоростей, включая различиыо предельные случаи, можно найти в указанной выше статье. Мы яе будем заниматься здесь атим случаем, хотя соответствующие картины волн мшкно изучать развиваемыми ниже методами. 12.2. Дисп< рспп от ыгновенпеге точечного источника Волны от точечного исшчвик» распространяются изотропно, и различные значения модуля й волнового вектора, воабужденные в начальный момент, распространяются с соответствующими групповыми скорсстямн С (й). В момент времени 1 «а1кдое конкретное вначенней будет нахоциться на расстояпниг=С(й) й Следовательно, й (г, Г) удовлетворяет соотношению (12.18) С (й) =- —.
с' Поэтому для гравитационных волн ва глубокой воде (12.5) ыы имеем (12Л9) Это осесямметричный аналог одномерной задачи, рассмотренной в 1 11лй Указагпюя весьма простая формула для ы сравнивалась Снодграссом и его сотрудниками! П с данными наблюдения эа волнением, вызываемым штормаыи в южной части Тдхого океана. Оказалосгч что на расстонниях порядка 2000 миль частота линейно зависит от г и коэффициент пропорциональности поаволяет с большой точностью определить расстояние до шторма. 392 Гл. 12. Картины волн То же налепив в меньших масштабах — это харантерные кольца, расходящиеся от брошенного в пруд камня нлк от другого всплеска. Для них удовлшаорнется равенство (12.18), где групповая скорость С (й) определяется формулой (12.14). !)оскольну С ()г) имеет минимальное значение около 18 см/с, существует круг гхюкойпой воды радиуса 18г см.
Вне этого круга для каждого гп допуснаются два значения й: о;П!о на гравитационной ветви, другое на кашгллярной, так что возникают два накладывающихся волновых накета. Конечно, апергия, соответствующая различным волновым числам, определяется походным возмущением. Волны, длины нотормх иыеюг тот же порядок, что и размеры обьекта, обладают наибольшими аыплитудами в наиболее заметны. Для обьекта с характернов длиной ) главные кольца будут иметь радиусы порядка г С (лп) б 12.3.
Волнь> на поверхности ствпнонкрного потока Волны, создаваемые прел1ятствнел~ в стационарном потоке го скоростью С вдоль оси лл, можае рассматривать как вол~плл, создаваемые препятствием, двжяущимсл со сноростью П в отридательвом направлении оси ль В случае двумерного препнтствия и постоянного по:гл потока не отрываютгл от препятствия и представляются стационарнынв при наблюдении с препятстння только те волны, для ноторых (12.20) с (А) С. Мы снова рассматриваем ситуацию, когда пркллеллил~ы соотношения (12.12) — (12.14). При С(с„, уравненне (12.20) яг имеет решений и, следовательно, сгационарпый волновой пакет отсутствует.
В этом случае лоьалыпде возмущения аатухакгг вдали от препятствия и не дают вклада в асимптотическую картину волн. При С) с уравнение (12.20)) нллеет два решения: одно па ннх, )га, соответствует гравитационной ветви, а другое, й„— напнллярнои ветви. При этом й» ( Ь и Ьт ) Ь„, отьудэ, в гвлу равенств (12.13) — (12.14), имеем С (Лз) ( с ()ла) С, С ()лг) ) с (йт) = С. Следовательно, гравитационные волны й„вмжот групповую скорость, меньшую С,и находятся за препнтстаием, а кзпиллярные волны йт имеют групповую скоростэо большую П, и нвг:одятся впереди препятствия.
Соответствуюштя картина полн изображена ва рис. 12.1, Полученный результат можно интерпретировать как тлвод условий излучения в аадаче о стациогюрном потопе ва основе 12.ть Корабельные волны понятия грушюаой скорости. Поэтому интересно вывести панный результат во всех деталях непосредственно иа точного решения в виде интеграла Фурье и посмотреть, каким образом условие, накладываемое гручгновой скоростью, следует иэ обычного условия излучения, принятого в станпартном методе регпения задач с граничными условиями.
Кроме того, такое полное решение лает й>с Рпс. 12.1. Сыма а шыэарант аюя (авар» го н сваю) а брюн 1н нанх волн (вннэ но тсиаюо) ка наверх«оста энола, создаэае шх преаяжтэоен. ампаитулы волн. Лови«тоти«еское приближение устанаативает только, что амплитуда осгаешя постоявгюй для каждого волнового пакета, а найти значения этих постоянных можно лишь на основе детального анализа вачальньж усюввн. Чтобы ае прерывать обсукдепие кинематики, не будем приводить здесь детали, а отловгим их до 1 13.0.
12.4. )(орвбельнтле волны Если препятствие имеет «овечньш размер вдоль оси .с, то на поверхности воды обрезуется двумерная картина волн и анализ усложняется. Мы ограничимся задачей о гравитационных волнах ва глубокой воде и используем дисперсионное соотношение (12.5). Этот случай охватывает картины волн, создаваемые объектами длгшой 1 )) йи, дв«жущннггса по воде глубиной й )) ( (что обычно выполняется для корабельных волн). Наиболее удивительвьш результат, полу"геггкый впервые Кель«инолг, состоит в том, что па глубокой воде «олвы сасрелоточены в клинообразной области с ушлом полураствора агс ып Ча 19,5'.
Этот угол пе зависит ни от с«орости (при условии, что скорость постоянна), ни от формы объекта и определяется тем, что для глубокой воды С!с -- г!ы Приведенное ниже простое доказатечьство принадлежит Лайт- хиллу (6!. Рассмотрим «корабльэ, двюиущийся со скоростью бг и переместиашийся иа точки (1 в точку Р (см.
рис, 12.2) зз время 1. Гребонь волны будет оставаться неподвижным относительно «орабля в том случае, когда П соз гр --- с (й), (12.23) Гл. 12. Картины воля где ф — угол меягду нормалью (каправлекием вектора й) и лилией движекия 9Р. Это условие легче всего понять, перейдя в систему »почета, в которой поток со скоростью У обтекает неподвижный Рве. »2.2. Пестр»сия( элемсвтоэ еолвы н а»х»че о корабельных волнах. корабль. В атой движущейся системе отсчета нормальная к элементу волки ко»шоиеята (Г сов ф скорости потока дола»ив кочпексироваться фазовой скоростью рассматриваемого элемента.
Указаяное условие позволяет определить величиву й в направлеиии ф Геометрически (см. рис. 12.2) это можно изобразить, построив полуокрув»кость диаметром Рь» и заметив, что Р0 = б(г, ЯС» = =-. Пг сов ф = —. сг. Следовательно, для алементов волны, параллельных хорде Ро, будем иметь сг = ()о. Далее, с — фааовая Рис. »2.3. Огибающая возму»чеввв, еозюжэывюх е аосаедоеательеые момен- ты времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
