Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Если начальные условии ваять в виде б-функции, так что г с (а) = У(4п), то зхшлитуду с) (х, 1) можно также найти в явном видо п полные асиыптотические решения равны соответствеыно Гл. И. Линейные дпспергнрующпе волны Вторая важная роль групповой скорости проявляется при изучения амплитуды А (х, 1).
Формула (И.28) наводят на мысль, что удобнее рассматривать величину ~ А ~», н это естестве»ага с фиакческой точки зрения, поскольку данная величина подобна впергии. Свяаь ( А (' с истинной энергией н тан называемым »волновым действвемл будет выяснена ниже, а тюка что А (х, 1)— вполне определенная величина, ааданнзя формулой (И.28), я мы можем рассматривать ) А (». Интеграл от ! А И по отрезку х, ) х, ) О, согласно (И.28), равен О(1)=~ АА А =8 ( "'"'.
"'"'Ах. с(и" (ц( *л В этом интеграле й как функция от х и г определяется равенством (И,25). Поскольку й входит в подыптегральное выражение, а х в него не входит, естественно прпнять й за новую переменную интегрирования, проведя замену х = И" (5)1. Прн И'"(й) ) О имеем ()(1)=8я) Р,(У») Р;(У»)г(К, (И Лй) ы где йл в й, определяютсгл равенствамп х =И" (5,)С, х =И" (й,)г.
(И.35) Если И'" (5) .с О, то предельл интегрированна »гоняются местамп. Пусть теперь 5 к (г» фиксированы, а г меняется; тогда иятеграв (Л (1) остается постояпным. Согласна равенствам (ИЛ5), прн этом тачки х, и х, двюкутся с соответстзующнми групповыми скоростямн. Мы, следовательно, доказали, что полный интеграл от ( А ~» между любой парой групповых линий остается неизменным.
В »там смысл» ~ А И расярегтраляетгя с грряяагай скоростью. Грушловые ливии расходятся на расстояние, пропорциональное ц так что ) А ( убывает как 1 'г». В частном случае волнового пакета, для воторого исходное вовмущеняе локализовано в пространстве и имеет аначитгльнь.е амплнтуды только для волновых чисел, близких к некоторому определенному аначению йэ, реаультпрующее возмущенна сосредоточено в окрестности групповой липин йэ и волновой пакет как целое движется с групповой скоростью И" (й*).
Описание свойств групповой скорости часто ограничивают только атим случаем. Однако предьщущпе рассуждения не свяааны атим ограничением п допускают произвольное распределение по всем волновым И.б. Групповая скорость и кинематическая теория числам с полной картиной дисперсии,нэображенной на рис. И.1 и рис. И .2, когда в игру вступает вся область значений функции уу' (й). И.5. Групповая скорость с точки зрения кинематической теории Понятие групповоя скорости настольно важно для понимания волнового движония.
что возникает следующая мысль: это понятие не должно быть только конечным результатом применения преобразования Фурье и метода стационарной фааы. Для неоднородной среды нли для нелинейных задач, где преобрааование Фурье ж применимо, подобное понятие, несомненно, тавже должно существовать и играть столь же важную роль. Но каким же образом можно обойтись без преобразования Фурье) Чтобы увидеть, как обобщить предьглущие результаты, рассмотрим их вывод, основанный на более интуитивных рассуждениях. Зги рассуждения всегда можно сравнить с предыдущим иаэс~некием иди в конце концов оправдать прямыми асимптотвческими методами.
Преимущества огромньк поскольку при этом можно добиться успеха в приближенном подходе к задачам, лэн которых точные рсшония неизвестны. В то же самое вреыя ьпл получим воэможность быстрее и глубже понять даню то задачи, для которых можно найти точные решения. Рассмотрим сначала роль групповой скорости в описании распространения волнового числа и частоты. Пересмотрев предыдущие рассуждения, видим, что нам требовалось очень мало. Прежде всего если мы предположим, что имеется ысдленно меняющийся волновой пакет и переделана фаэовая функция 6 (х, г), то локальшле волновое число и частоту можно определить равенствами )г=е„, ю= — ео (И.36) Далем, если ьпх знаем или можем задать дисперсионное соотношение ю= Иг(й), (И.37) то оно дает уравнение для 6, которое можно решить и найти геометрию волнового процесса.
Однако обычно удобнее исключить нз равенств (И.36) функцию 6, перейти к уравнению —.+ — =о, Мг Ка щ д* (И Л3) подставить з него выражение (И.37) для ю и найти сначала й (л, г), а затем ю (х, г). Заметим, что такая формулировка является исходной для нелинейных волн, рассмотренных в гл. 2. Дейстаи- Ггь И. Линейные диспергируаицие волны тельно, й представляет собой плотность волн, а ю — поток волн и уравнение (И.ЗЗ) описывает закон сохранения волн! !!адставляя в ато уравнение дисперсионнае соотношение (И.З7),получаеьг — +С (й) — = О, С(/с) =- !У'(й). (И.ЗО) Следовательно, групповая сно!гсхть С (й) ваглспюв слорсстью распространения вшлрщвний виггсшого числи А.
Согласно анализу, проведенному в гл. 2, общее решение уравнения (И,39) с начальныи условном й =- / (х) при ! = О пыеет зид й:=/а, х=й+й(3)с, (И АО) где 0(3) = С (/ (3)). Специфический случай цоптрироаанной простой волны заанигсает тогда, когда область изменения значений функции й первоначально сконцентрирована в начале координат. При;пом /с (х, !) находится иа условия,'з = с (й) с. Ото совпадает с апредолгннем й, даннь1м соотношениями (И.25) и графически представленным на рис.
И.1 и рис. И.2. Для справедливости асимптотическога разложения (И.24), согласно (И.23), требуются настолько больюие значения х и г. чащобы исходное возмущение представлялось сконцевтрировасшьсы ь начале координат. Однако обобщенно понятий уясе проведено. )Оедленно меншощнйся волновой покат, определяемый функцией О (х, !), не обязан образовываться из воамущения, снонцоптрированного в начале координат, и распределение й (х, !) может иметь более абн(пй внд (И.40). Далее, решение ср нз обязательно должна быть сипусоидальным по О; допускается любой осциллирусощий волновой пакет, для кспорого можно выделить фазу 0 и ввести дисперсионное соотиошонне межпу й и ю.
Интересна и показательно, что уравноние (И.ЗО) длн й нелинейно даже в том случае, когда исходная задача линейна, и что ана является гмоербоштеским, хотя исходное уравнение для ф в общем случае таковым не является. Ото первый пример, ко~да гиперболические уравнения получаются дри описании распространения важных общих величин типа Ул В атом смысле можно сохранить связь распространения волн с гиперболическими уравнениями, но имеется и существенная негиперболическая подструктура. И.б. Групповая скорость и кинематическая теория 367' Обоби)сяиз Упрощенный вывод групповой скорости легка обобщить на линейные задачи с бблызим числом изморений и неоднородяой сродой.
С обобщением на нелинейные задачи пока следует нодо;едать, поскОльку для таких задач днсперсионяое соотношение будет содержать также и амплшуду. Для мвогоыервых ураввений с постоянными козффициектами точное решение все еще можно найти с помощью кратных интегралов цгурье, а методои стационарной фааы ыожно получить асимптотическое разложение. Легко показать, что в слу же п пространственных измерений решение имеет следугощий вид й= ~ г (к) е' '"-'вт"хяк р(й) (зя)"'(бе)! а" !) "', р(йй — 1)у(й) 1+ 1(), (И.41) где з; дв' (й) дщ а ь зависит от числа множителей яо4, получагощихсв лри повороте контура интегрирования.
Однаво мы будем испольаовап более простоя кинематичсский вывод в рассмотрим такаю случая неоднородной среды. Описание медленно моняюшейсн волны, скажем в трех измерениях, включает фазов)чс функцию 9 (х, !), где х = (хп зз, зз). Определим частоту ш и волновой вектор Й (ормулами ы= —., );= —. аз аз (И.42) зг ' = сз, Будем считать, что дисперсионное соотношение извжтво и что его можно записать в виде ы = уу (й, х, 1). Для однородной среды зто соотношение можно получить нри помощи злемептарного репюния (И.1).
Для слегка яеоднородной среды представляется разумным найти двсперсиовное соотношение сначала для постоянных значений параметров среды и затем учесть их зависимость от х и Г. Например, если в примерах (И.б) — (И.й) а, )1 и у являются медленно иеняющимиск фуякциями от х или Г„то можно использовать те же самые дисперсионные соотношения, что и привеценвые в втих примерах, не с а, (), у в виде виданных функцив от х и Г. Интуитивно зтот метод кажется Гл.
И. Линейные диспергирующие волны удовдгетворительгпдм при условии, что щ (1 и у мало иаменяются па протяжении одной длимьг волны и одного периода. Ото будет подтверждено в $ И.7 и И.О. Исключив из равенств (И.42) фазу О, имеем — + — =О, — — =О. аа, де да, да, (И.43) Ы да~ ' дст дзу :Подставив в первое из атих уравнений ю И'()с,х,г), получим да, дм' дь, мг — + д1 дат д ~ да;' Поскольку дбг(дх; = дй,/дхь вто можно переписать в виде — +Се — '= —, да, дд; дк (И.44) дй дат дс~ где С,(й,, г)= сгуби"') . (И.45) Для трех измерений групповая скорость С определяется равенством (И.45) и является скоростью распространения воамущений в уравнениях (И.44), определяющих /сь Уравнения (И.44) можно пореписать в характеристической форме да, дм $$ да, — — — при йн дн' ж дщ (11.46) Заметим, что для однородной среды вектор й постоянен и характеристики являются прямыми в (х, Г)-пространстве.
Кюкдое аначение воктора й распространяется с соответствующей постоянной групповой скоростью С (й). Но зто не имеет места для неоднородной среды, поскольву в атом случае значения вектора й изменяются при распространении вдаль характеристик, а сами характеристики больше не являются прямыми. Стоит также ааметить, что де де де ддд — = — +с — = —. М дс дад дс Частота на каждой характеристике постоянна, если свойства среды изменяются современем, и переменив в противном случае. Интересно, что уравнения (И.46) совпадают с уравненинми Гамильтона в механике, если х и й интерпретировать как координаты и импульсы, а И'(й, х, г) принять за гамильтониан( Если не исключать О, а вместо зтогоподставить в дисперсионное соотношение ю и й, выра1кениые через О, то волучим — '"'+И ф,х,г)=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
