Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Интересно, что естественным образом получаетсв именно уравнение для волнового дейстш|я, а ке энергетичесное уравлееие, хотя, коне лю, из (И.99) ыожпо поаучить и энергетическое уравнение. Заметим, что без испольюваиия лагранжиака этот момент остался бы незаыеченкыгг. Обычно интересуются только первгзм членом рааложения и, следовательно, первыми двумв уравнениями, а именно (И.98) и (И.99). Однако после того, как 0 и А „определены, А, находится иа уравнения (И.100), А, — из следующего уравнения цепочки и т. д.
Легко проверить, что эти уравнения имеют частлые решения вида (И.96), и в этом случае разлогкенне согласуется с разложекиеи, полу ~екиыьг в 2 И.З прв помол!и интегралов Фурье. Подходящим решением уравиенлй (И.98) и (ИА01) является функция й (хй), определяемая из уравнении —;=- с ().). Тогда уравнение (И.102) в любой из форм дает Ае=! Ва( — "). Поскольку й есть функция от хрц етот результат мегино также записать в ниде .4е.= ! ' Мэ(й), что согласуется с (И.2о8). Конечно, вид функции Ме(й) определяется только по начальным условным.
В атом конкретном случае рааложевие неприменимо на ранних стадиях и использование преобрааования Фурье или его эквивалента неиабежно. После того как функция Ао найдена, иа (И.100) можно найти Аг, причем 1 1.8. Использование асимптотических разложений я результате получится (11.23). грактичсскн последующие члены разная ения гораздо проще находить зтим прямым методом, чеьт раглрострапепием метода стационарной фазы на высшие порядки. Разложения пе ограничиваются центрированной волной, опн применимы к любому волновому пакету, модленно ивменяюшемуся в смысле (11.97). Например, можно рассмотреть волновой пакет, образованный модулированным источником с медленшзми изменениями частоты и аьгш~итуды.
Если г и à — норлгированпые переменпыо, полученные делением исходшзх х и 1 на характерные длину волны в пориод соотвотстненпо, то генерируемые источпиноч модуляции будут фузнциями от ш и соответствующие выражения для О п Л„будут иметь нид О=ь-'О(ш, ш), Л„=-а"Л„(зх, ж), (ГЕ103) где г — отпонн'нпе характоршпо периода н нремепибму иагнпабу модуляций.:)т» величтпгы медленно иаменяются в см1зсле (11.97), причеч г являетсн соответглзующим маяым парачшроч. Ддя ураннгния Клейна — Гордона резулширующие уравнения имеют внд (0898) — (11.100). Огги отвечают последовательным членам ьгорядков 1, е, зт соогзшстзенно, яо нет нсобьодимоств в яаном виде выписывать зависииость от е. раз мы следуем упорядочиванию (11.97). Пеоднороднял среда Голее питера ен подобный предыдущему случаи.
когда чодулнции возникают за счет лепленных изменений среды. 1!апример, можно рассмотреть первоначалыю однородный волновой панет, входящий в неоднородную среду, параыетры которой медленно изьгеняются яа харантерной длине й. Если з — характерная длин» волны (свюкем, длина волшз исходного волнового нанета), то малым паралтетром будет з — Д)Х. 1) нормиронапныт перемонных среда описывается функциями от зз н для описания модулированного волнового пакета полходлт выраягепня (11.103). Аналогичная формулировка применима и н среде. ыедзенно меняющейся во времени.
Для иллюстрации опять обратимся к уравнентпо Клеила — 1 ортгона. Для неоднородной среды жо уравнение обычно получается в гамосопряжеввон форме — — — (аз(я Г) 'г ) Л-бз(т, Г) 9 — — О. (11.104) Гудем считать, что з, 1 ув е норъгированы на харакп.рные длину волю» и период (мо,"нно попользовать характерные значения длн пр т и () т), и чтобы включить пространстнеиные и нременнйе вариации в общин анализ, предполоятилг, что а=-а(вт, зз), ()=-()(ах, ес). (11.105) Гл.
И. Линейные диспергирующие волны Как и ранее, мы пе вводим аависимость от з в явном виде, а работаем непосредственно с выражениями (И.95) и (И.104), подразумевая, что все функции Й=-Оь, ы — — О~ Аэ а, (1 имеют порядок О (1) и что каждое дифференцирование или увеличение индекса у А повышает порядок иа единицу. В полученной цепочке уравнений первьэе два таковы: о)э — пайэ — Оэ -- О, (И.106) 2ыАе, + 2пзйЛе„.г (ю~ + азй, + 2йааь) Аз — — О; (И.(07) к ким следует добавить условие совместности (И.108) Система уравнений (И.106) и (И.108) для функций (ц ы и О совпадает с уравнениями, полученными сначала на основании более интуитивных соображений в т И.5, а затем при помощи вариационвого подхода в $ И.7.
Как увэе было отмечено в 5 И.5, значения волнового числа й распространяются с групповой снороетью дю/дй, определенной из (И.106), но ии групповая скорость, ии аначеиия я не обязаны оставаться постоянными на групповой линии. В данном счучае групповая скорость равна аэй/ы, тан что характеристики для уравнения (И.107) те же, что и для уравнения (ИА08), и Аз в принципе лэожно найти интегрированием вдоль этих характеристик. Однако основной момент состоит в том,что уравнение (И.107) есе еще мэвько ваписать в виде уравнении сохранения ( —,„юАюйо)эб ( — пзййзЛ$) =0 (ИА09) Таким образом, уравнение для волнового действия ОИА02) остается справедливым и в ноодиородной среде, когда и а, и соотношение между ы и й зависят от х и Г.
Ото согласуется с тем, что утверждается в вариациовном подходе. Действительно, рассмотриы выражение дй дуг — + — ' дг д в котором плотность и поток энергии определены формулавш (И.63] и (И.54). При помощи (И.106) — (И.108) находим, что зэ ( а(ю'+и'й'+(3)АеАэ)+ з, ( з азойЛеЛзу= =: — (йз — + — ~ АэАГ. (ИА10) 11.8. Иокольэожпие асимптоткческих рааложевив Это согласуется с (11.94), так как Х = — (мз+ взйг — )р) ссз. т ' а Прямая кодставовка а уравнения разложения 111.95) приводит к требуеммм резулыатам, во без общности и глубины вариациовпого подхода. Оба метода будут объединены а гл.
1хк Рассмотрим сначала приложения раавитой анше теории и уточним иаложекные идеи на коикретных задачах. Глава 12 КАРТИНЫ ВОЛН 1(елг«й ряд наиболее интерес«п«х волновыт двиткений связан с волнами па воде. Некоторые иэ них, такие, яак, например, дцобразная система волн от движущегося корабля или расходящиеся от брошенного а воду камня кольца, хорошо навестим кюкдо»у; другие сраанителыкз легко наблюдать. Тйы начнем с яил.
Дисперсионпое соотношение, едяпственное, что нам адесь нопадобится, будет принято беэ обънснепий. В дальнейшем кам придется глубже вникнуть в твори«о волн на воде, поскольку она явилась первым и наиболее пло1ютворнын псточнико» идой теории дягпергирующих воли. !'огда мы и выведеы дисперСяоипое соотношение. 12.1. дьгсперснонное соотношение для воли на воде Вертвяааьные отклонения ц поверхности спонойвой воды описываются элементарными решениями вида (11.1); з) =- Леи' причем = (Рй 1й йй) (1 «г «й(), й = ( ! ).
(12.1) Здесь Ь вЂ” иевоэмущенная глубияа, д — ускорение свободного падении, р — платность, Т вЂ” поверхностное натяжение. Иа спокойной воде волнь1 наст рокки и днсперсионные соотношения содержат только вюдуль й нолнового вектора. Существует несколько интересныз предельных случаев, которые при соответствующих обстоятельствах принято испольэовать е качестве аппроксимаций. Трае«ияаг)иоанне еолаи В системе единиц С()Я д -- 921, р --. 1 и Т .— 7««, так что 'ь —. 2я (Т!рд)'н = 1,73 см. Поэтому эффекты поверхностного ватяжегшя становятся пренебрежимо малымя для полн, длины которых в нескольно раэ больше шой величины. Тогда имеем обычную формулу для гравитационных волн юа=д)«1ЬЖ, Х))Х 12Л.
Диспорснонпое соотношение для волн на воде Для таких волН фазовая и групповая скорости соответственно равны (й) -( — '„' ей йй)п', (12.3) (12 ей) В этом приближении имеем следующие предельные случаи: ы — (б)г)" й, с (дй)«', С (8)~)Юг, Иг О. (12.6) Таким образом, при фиксированной глубине й как с, тав и С возрастают с ростом й †. 2в)й, причем С ( с; в длинноволновом прелеле (12.6) С -ь с и двсперсвонные эффекты становятся малымв. Конечно, коротковолновое приближение (12.5) справедливо лишь при условии, что й (( й (( й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
