Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(И.47) Ото уравнение Гамилыона — Якоби с фазой О в качестве действия. И.б. Распространение энергии Ксан РР не зависит от х и Г, то решение уравнения (И.46) с начальным условием й; =.),(х) ииеет вид (11. 48) где Центрированное регнение„соотнетствующее случаю, когда при С -.= О вен область изменения вектора й сосредоточена в начато координат, можно получить, определив й (х, Г) иа уравнения хс — С (й) 1. (И.49) Этот частный случай соответствует асимптотичесному представлению (ИоИ) вратного ннтограла Фурье.
Примеры непользования полученных уравнений будут приведены в гл. 12. 11.6. Распространение энергии Предыдущий яинеиатичесиий вывод показывает одну мз ролей групповой скорости н определяет геоыотрию волн. Другая роль групповой скорости свяаана с распределением амплитуды А (х, г), заданным формуламн (И.27) — (И.28). Хотелось бы найти — по возможности в том Жо стило — непосредственный подход н описанию новедения амплитуды А и ее связи с групповой скоростью.
Это представляется реальным, поскольку, очевидно, здесь аатрагивается энергия и, по-нидимому, мовене нопосредстнелпо сформулироватьзанонсохранения энергии. Это действительнотая. Однако давьнейгнио исследования, использующие вариационные формулировки,не только уточнили и обобщили выводы, пои полазали, что основным понятием данной теории является, пожалуй, не аиергия, а «волновое действие». Вариационный подход — дело тонкое, и ползано подготовить почву при помощи более традиционного рассмотрения распространепия энергии. Мы начнем,кани ранее, с одномерной задачи для однороцной среды и выясним, как получить информацию о распределении азшлитуды,не используя интеграл Фурье.
В этом первом подходе мы нынуждены работать с конкретными примерами. Уравнение Клейна — Гордона рн — ацр„„+ ()з~р =0 является одним иа простенших, поснольну не содержит производных высокого порядка. Оно гниербоничесное и в этом отношении исключительное, но нас интересуют только осциллирующие части решения, а ие поведение волнового фронта. Соответствующее 370 Гл. И.
Линейные диспергирующие волны энергетическое уравнение хорошо известно и в случае настоянных коэффициентов а и () имеет вид †., ( †, ср,"-1- †а(ф г †, Оэср~) + †„. ( — ыч!ссу,) = О. (И .50) рассмотрим таперь медленно изменяющийся волновой пакет, длн которого ср Ве (Аесо) .. а гоэ (О -е ц), а (А ), с) — агдА, н вычпслим плотность энергии и поток энергии.
Член тппэ Ч ср', дает —,орасэ1пс (О с-с)), 2 а танже члены, содергкащие а, и цс. Посколысу а п с! предполагаются медленно иаменяющамися, этпма последними членами в первом приближения мовсно пренебречь. Двалогнчвьпс образом нахолнм вклады остальных членов, после чего получаем лриблискенное выражение для плотности энергии — (вс+сЖт) аз жпз (О-( с))-Р— ртсзсоь* (ОА Ч) (И.бц и соответстзувСщее выраасение для потока энергия сссв)сас э|па (О А т!).
(И. 52) В эадачаь, содерлсащих производные боаее высоних порядков, вознвкасот дополнительные члены, внлючающие производные от в и й, но ими можно пренебречь, поскольку в и й также являются медленно нзменяксщимися величинами. Поскольку иас интересуют измепешся величин в, й, а, а ве детали осцилляции, рассмотрим средние значения выражений (ИЛ() и (И.52). Средние значения функций сов* (О -с- с!) и а1пс (О А ц) по одному периоду равны одной второй, так что для средних значеяий плотности энергии и патока эяергии имеем оледуюсцие формулы: Ю=-.— (ссз-~-ссс)ссд (р) аз, 4 (И.53) Х ==.
— асесйас. 2 (И.54) В напгей конкретной задаче дисперсионное соотношение имеет вид в=- у асйс+()э; (И.55) поэтому Ж =- — (азйс+ (Р) аз,,~ .= — ссади' сссйс+ Ос ас. (И.56) И.б. Распространение эноргии 371 Группоная скорость выра«чается формулой фгоеал. рг' (И.57) которьгй явитсн уравнением для определения людуля амплитуды а. Ото уравнение представляет собайг дифференциальвую форму следующего утверждения: гюлная лгергия между деулш любили гругтееыии .шниямн еежеетея нееагшгннеггх Действительно, если расемотреть энергию ко Е(г] == ~ Згйтг (И.60) ггл в интервале между топгалш *, их, движущшпюя с грушювыми скаростямв Е (Ул) н С (йе) соответственно, то — — б ОСР,— СРО (И.61) в салу (И.бр), эта величине равна нулю.
Обратно, уравнение (И.59) представляет собой просто предел соотношения (И.61) при хе — хл — л О. Такое поведение было обнаружено в 1 ИЛ для ае, а не для й. Однако Р— ( (й) ал, и если это выра«кение подставить в уравнение (И.59), то реэультат можно эаписать в виде ((й) (лед", + —.' (Са)) +('(й) а-(г —;" +С вЂ” '," ~ —.О. (И.ОЗ) Поскольку (см. (И.ЗО)) — +С вЂ” =-О, дл да дг де (И.63) полу.юем — + — (Сал) =- О. Ел д Ы д (И.64) 5(ы видим, чта если выполняется уравнение (И.ОЗ), то любую функцию от й можно внести в уравнения (И.59) и (И.64) (или и мы получаем важный реаультат г ..=С(й) К, (И .«5«8) который, кан онаэывается, носит общий харентер. Исходя иа интуитивных предположений об общем балансе анергии, хочется вжсти ванов сохранения «усредненнойл энергии: ду'+ — д(СЖ) = О, (11.59) 372 Гл.
И. Линейные диспергирующие валлы выпести из этих уравнений). Далее, согласно тем же рассуждениям, что и для $, уравнение (И.64) можно рассматривать как дифференциальную форму следующего полученного в 1 И.4 результата: интеграл (И.65) ие остается постоянным между двулэя грушговыми лиииями. Это лгппкий раз подтверждает уравкевил (И.64) и (И.59). Прямое доказательство будет приведено пшке. Можно также отметитгч что характеристические формы уравнений (И.63)и (И.64)имеют вид — = О, — = — С'(й) й„аэ, — = — С()с), (И.бб) (Во втором уравнении производную )с„можно рассматривать как известиую фувкцию, поскольку сначала находится функция )с (х, Г); это — исключительный случай примера 7 иэ $ 5.2.) Групповая скорость С (й) фигурирует как дзойноз горактсркстичсскоя скорость в соответствии со своей двойствевиой ролью, отмеченной в $ И.4.
Асимптотическое решение, полученное в 4 И.З, является частпым случаем цеитрированиой волны, когда й (г, Г) представляет собой функцию от з/г, определяемую ив уравнения В этом случае уравпелие для азшлитуды имеет вид Поскольку й тоже можно использовать как характеристическуго перемеииую, то решение этого уравнения можно ваписать в виде в=г-ы -1(й), где 1(й) — произвольная функция.
Зто согласуется с выражением (И.26) и снова подтверждает справедливость нашего подхода. Колечко, функцию б(й) нельзя зайти одними асимптотвискими исследованиями, ке обращаясь к начальяым условиям. В рассматриваемой задаче Коши мы знаем, что в действительчости функция,((Й) дается выражением (И.28), и интересно пметить, что, в силу этого выражения, виергия Е (Г) между групшвыми ливиями й = йг и й = йм определяемая равенством (И.бб), 373 11.6. Распространение энергии ааатавляет » с =- 8 ) ( (5) Ес (5) Ес (5) 65.
(11.67) где 7 ()с) — множитель»с» (а»й» + (Р), фигурирующий в формулах (11.56). Соглаано (11.50), та»лая полная анергия равна (2 7»+2 Р" 2 )' Иапальэуя тачиае решение (11.16) и соотношения (11.18), ее можно представить в виде Е „„=8п ) 7(к)Е»(к)Е,*(к)бя. (11.68) Это выражение аправедливо для всех моментов времени кав до дис- персии в волновом пакете, так и паоле нее; она указывает, что энергия распределена по всей облаетв изменения волновых чисел. Но иаслд дисперсии область иаменеивя волновых чисел явным образом распределяется па х. Выражение (11.67) длн Е (1) пока- аывает, что а интервалом йс ~ к ( й» продолжает ааеодиироватьая то же самое ноличеатва энергии.
Таким образам, энергия, гоответ- атвующая любому интервалу волновых чисел, аохраняетея. Энергетичеакие аоображеняя, использованные при выводе аоотпошеннй (11.58) и (Н.59), лепсо обобщить на бавыпее число измерений. Для уравнения Клейна — Гордона, напрнмер, анер- гетичеекое уравнение принимает вид — ( — ср, -~- —, а»ср„+ — (рсрз) + — ( — а»»Усср„.) = О, асс, 1, 1 с д д»(2 2 *1 2 ) а, "1 и для медленно изменяющегося волнового пакета ср а еов (6 +»)) залучаем следующее уаредвеннае уравнение» вЂ” + — -о, дб дат д» д» где $ = — (ы»-р а»й)+ (р) а", .к» = — и»ос)с,а».
1 4 2 При помощи диопераионного дон»ношения можно проверить, что .Р =С»3, (РК69) Гл. И. Линейиые диспергнругощие волны и записать усредненное энергетическоо уравнение так: '~ .» †,' (С,й) =- 0. (ИЛ0) Полная энергия в любом объемо, точки которого двюиутся с груп- повой скоростью, остается постоянной. Действительно, ,", ~ йбу=- ~ 'м й ) ~ ЕСЩ,69, < о) «'и ам< где о (г) — поверхностен ограничивающая объем У (г), к<— внешнян нормаль в Я (г), а С<в< — нормальная скорость. В силу теоремы о дивергенции и уравнения (И.70), эта величина равна нулю. В характеристической форме уравнение (И.70) имеет вид лб ЭС< и < — — — н» вЂ” "=С< (й), ж дг з< так что плотность энергии убывает вследствие расхождения дСг!дяг групповых линий. Для однородной среды вектор й остается постоянным на групповых ливиях (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
