Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(11.85) В принципе уравнение (И,84) дает нам ю — В< (й), тан что равенство 6 (В'(й), Ц .= 0 выполняется тождестненно. Следовательно, дя — -( СИ==О, 1 я групповая скорость выравщется формулой аи, яз ЗЛ7 ' и (И.86) Обозначив< 6„' (В'. й) через у О<); тогда уравнение (И.86), мо'кно записать так< (И.87) — -(д(й)аз) ) — (у(й)С<(й) аз) =О. В силу (И.82), имыл< д< ' ед*у ' д< д< Используя этн соотноюенкя, исключим из уравнения (И.87) множитель д (й) н получим амплитудное уравнею<е ае а — + — (Сот) =О.
д< дщ Таким образом варнационная система (И.80) — (И.82) дает в точности систему уравнений, рассмотренную в последних двух параграфах. На первый вагляд э<о<вне он<икать, что уравнение (И.87) представляет собой усредненное энергетическое уравнение (И.70). Но примеры показывают, что множлтель / (й) в 8 и мноя<итель у (й) не совпадают. Б та же время существует стандарю<ый метод, ассоцанрующий с вариационным принципом соответствующее енергетичесиое уравнение. Теорема Нетер утверждает, что каждой группе преобрааованнй, относительно которой лагранжиан инва- Гл.
И. Лняейные диспергирующие волны риантен, соответствует свое уравнение сохраяения (см. Гельфагщ и бжмин И], стр. 177). Если лагранжнан ннвариаятен относительно сдвига по Г, то соответствующее уравнение всегда янляется энергетическим уравнением или кратным ему. Поскольку лагранжиан в (И.79) инвариаптен относительно сдвига по Г, это утвергкденне к нему нрименнмо и соответствующее анергетическое уравнение оказываежв таким: — (сэӄ— Х) + — ( — юХь ) =- О. д д д$ дэт 3 В данном случае вместо того, чтобы проследить во всех деталях применение теоремы Негер, достаточно заметитгь что уравнение (И.88) вытекает иа системы (И.80] — (И.82).
Это и есть энергетическое уравнение. Легко проверитгь что ояо согласуется с предыдущими примерамн, Для рассматриваемых здесь линейных задач мы обнаружили, что стационарное значение У равна нулю. Отсюда для плотности энергии 8 и вектора потока энергии .1- имеем 8=юХ, Хг= — юУ»у (И.89) Поэтому величина Жн бектическн равна Ю Х =- —, и (И.90) н уравнение (И.81) или (И.87) можно записать в виде (И.91) Иэ (И.83) и (И.89) имеем Ж=ыС„оз, Рг=.— сто = — Сб, что являетсв общим доказательспюм соотношения между эл и $. Рассматриваемый общий подход вмеет еше одно преимущество.
Он привлекает особое внимание н величине (11.90) и в уравнениям (И.81) и (И.91). 75елячина К/ю хорошо известна в классической механике как адиабатическнй инвариант для медчеяных модуляций линейной колебательной системы. В дальнейшем мы покажелц что ь„ является аналогичной величиной в нелинейном случае. Таким обрааом, ати понятия обобщаются на случай волновога движения. Вместо инварианта мы имеем уравнение сохранения (И.81), харантериэуемое времениподобиой адиабатической величиной Уэ и пространствениоподобвыми величннами — Хь .
l Это уравнение сохранения получило название закона сохранения ~волнового действияэ. И.7. Вариацнонный подход Существует также уравнение сохранения <волнового импульса», аналогичное уравнению (И.88), где ху н у поменялись ролями — (йуУ ]-)- э ( — й<Ук +2;буу) =-О. (И.92) Его легко проверить при помощи системы (И.80) — (И.82). Отметим, что плотность импульса равна уу йууе.: — ' р; это вентор, панравленный вдоль 1< и имеющий длину Р(е, где е — фаэовая скорость. Мы опять получили общее доказательство знакомого реаультата, который трудно установить другими методами.
Яеоднууроу)пая среда Другое преимущество вариационного подхода состоит в том, что основные уравнении (И.ЗО) — (И.82) остаются неизменными, если среда медленно иэменнется с изменением х и у. Зто имеет место, например, в том случае, когда параметры и, (), 7 в выражениях (И.76) зависят от х и с. Если изменение за один период мало, та усредненный лагранжиав мюяно получить так же, нан н раныне, пренебрегая иаыенениями параметров а, )) и 7 за один период (ы вкладами производных от ю, й, э и ц). Тогда усредненный вариационный принцип (И.79) нредлагается в преп<нем виде с единственным исключением: теперь Х зависит от х и у явно, а не только череа функции и (х, у) и О (х, у). Однако умриацнопные уравнения остаются беэ изменения; следует только быть внимательным и учитывать дополнительные производные, вознияающие при преобразованиях уравнений.
В частности, анергетичесиое уравнение,как легко проверить,принимает внд — (юУ вЂ” У)+ — ( — юй» ) = — Х<. (И.94) э в еу эху у Аналогичны»< образом в правой части уравнения (И.92) для импульса добавляется член У„. Если параметры среды зависят от у, то анергия уже не сохраняется. Если они зависят от х, то импульс уже не сохраняется. Заыетим, аннана, что волновое действне сохраняется во всех случаях.
Эта снова указывает на преимущество уравнения (И.81) над энергетичесним уравнеыиам в теории модуляций. Нехииейные еолноеые пакеты Отметим в заключение„что в вариационном подходе требуются лишь очень неаначвтельиые наменевия при изучении модуляций нелинейных волновых пакетов. Основные вопросы связаны с видом фуняцианального выражения, заменяющего (И.77), с деталями Гл. И. Лннейные дкспергнрующне волны усреднения для нахожденн» фупкцнн,х н в общем случае с поквленнем в полном опнсаннн других общнх величин, аначогнчньгх ю, (с н а. В простейппгх случаях, однако, последнне не появляются н, как только функция Х(ю, й, о) найдена.
снстсыа (И.80) — (И.82) остается прнмепнмок. Осповаое существенное отличие состоит в том, что фувкдня .у ун:е не пропорциональна аэ н уревнення (И.80) н (И.82) неотделимы от (И.81). Втны вопросам н тщательному обосновапкго наложенной выше теории будет посзшцена гл. 14. И.8. Непосредствегпгое испольвоваиие асимитотичесиих рааложеиий Голее очсзндгшй способ набежать кнтегралав Фурье н найти путь к обобщению ва эадачн с неоднородной средой н ва невннейпые слстемы состоит в подстановке соотвотствующнх аснмптотяческвх рядов непосредственно в исследуемые уравневня.
Для рассматркваемых сеюгас линейных задач подходлт ряды вида ц — е М* о чш А„(х, Г), (И.95) е где ˄— последовательвыс члены разложения по характерноь1у ыалому параметру. В данном случае целесообразность такого выбора сдедуст нз аснмптсткческов формулы (И.27), Ряд (И.95) является также обобщепнеы ряда геометрической оптпкн (7.82). В рассмотренных в части ! гнперболнчоскнх задачах провавадные О, н 0„ были связаны однородным соотпошеннем, так что шш фнкснровалпой частоты со можно было положить О (х, 1) - . ыЬ'(х, Г), как там н было сделано. Теперь шгсперснонное соотношенне между О, в О„имеет более общий внд н допускается непрерывное распределенне частот.
Подход, нспольэующнй разложенве (И.95), вполне прнгодев цля рида линейных аадач, включая эадачн с неоднороднов средой. Но (даже в большей степени, чем это было обпарувсено прн обсуждения усредненного энергетнческого уравнення в $ И.О) после Глнтельных вычнсленнй, связанных со спецификой данной запачн, чы в конце концов обпаружнваем, тго полученные результаты змеют общий характер. В случае обобщений на нелннейные задэчн зорректпая форма разложеннн не сразу очевндна, выкладки еогут стать угрожающими н общие результаты снова окажутся хогребеннымн под ненужнымн деталями. Зтн недостатки устрагяются прнменейнем разложеннй, подобных (И.95), непосред:твенно к вариационной формулировке аадачн.
В сущностн именно ~ак оправдывается варнацнонный подход. Но для этого требуется гзвестная язобретательность, н в качесхве подготовка полезно И.8. Использование асикптотических раатоженнй обсудить здесь прямое применение разложения (И.95) к изучаемым уравнениям. Достаточно рассмотреть одномерный случаи. Разложение, изученное в $ И.З, справедливо при 1 оо, хВ фиксировало. В этом случае О (х, г) и Л„(х, с) имели вид 0(х, т)=ГО (хс), А„(х, 1) =-1 " В„(хд). (И96) Рааложение (И.О») проводятся по возрастающим степеням (или, строго говоря, по степеняи трц где т — характерный интервал времени, определяемь1й параметрами уравнений и начальныьси условиями). Чтобы технива была гибкой и были видам общпе черти испольаовапия разложения (И.95) в различных снтуацивх, мы ве будем испольэовать равенстна (И.96] в явном виде, а вмосто этого потребуем, чтобы в1эполнялось следующее условию аАь ал.
В(1 ) 'А. ()(1 ) (И,)у) т. е. чтобы ка>ядое дифференцирование увеличивало порялок на единпцу. Лпалогичвтлм образом О„и О, — величины порядка 0(1), и каждое следующее дифференцирование увеличтщает их поридок яа единицу. Увеличение порядка при дифференцировании оавачает, что 0„0„и А„являтотся медлеяяо ваксляющоянся фунлщщли. Это общее свойство разлоскевий (И.95) не вависит от того, по какой величине проводится разложение: по тй нли по какой-либо другой. Для илчюстрацпп вовьмем одномерное уравнение Клейна— Гордона  — '9., ) (Рй О. Подставляя (И.95) и последонательно приравниваи нулю члены одинакового порядка, позучаем (О,' — а'О„* — (Р) Ае — 0 (О,' — ад)„' — бз) А~в — (210,Аа~ — 21атО,Ае..)-1(Оц — азО.„) Ле) — 0 (07 — ад)э — ()з) А,— — (210сди — 21азблды — , '! (Он — ад)„) Л1) Аесс — азЛе,.
и т. д. Г!ервое уравнение исключает соответствующий член в последующих уравнениях. Коли теперь ввести )с -- О„, а =- — О„ то цепочка примет вид аз — ажэ — бз == О, (И.98) 2сеАес -(- 2аейЛе*+ (юс+ аэй.) Ае = 0 (И,99) 2соАсс+ 2ссзйАс + (юс+ аэй ) Ас = — 1 (Аеп — азАе ) (И 100г и т. д. Гл. И. Линейные диспергирующие волны Первое уравнение язлнется дисперсионным соотношением между ю и й, и если мы предпочитаем работать с этими величинами, а не с фазой 9, то следует добавить еще условие совместности й, + го„= О. (И. 101) Этя уравнения определяют О, ю, й в точности так, как описано н 1 И.б. Уравнение для А с можно записать в виде тг ( 2 юдсдт) ' з ( з сейдеде) =О. (ИА02) Поскольку ) А )а==аз, и в атоы случае и ! (.р зйз (р),гг уравнение (ИА02) совпадает с уравнением для волнового действия (И.81).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
