Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 72
Текст из файла (страница 72)
сияаанныо с неоднородностью среды. В полярных координатах (Л, ю) с центрам в источнике течепик, а лв е источнике волн (см. рис. 12.8), й — (Ок д е ) ° П вЂ” (У. О). Для радиальном! течения дискерсионное соатиаюение (12.37), преобравуется к виду (хбк+ ( га(д! )тлг (О$+ 1 Ох )=О. 12.5. Капнллярные волны на тонном слое воды 401 Используя вырая<ение (12.41), дисперсионное соотношение можно написать так< 6= — (Ов-~- — од)+ЬВЯ~Ов=О, О= (рр ) . (12я42) — '=. — 6- 262=0, сд Нт где т — параметр харавтернстияи.
1!осколы<у д постоянна ва каждой характеристике, сна становится удобной характеристической перепенноп, и, согласно (12.42), (12.43) Харантеристиян определяются у-равненнем Ле 1<В 2 д лд Р1 Од<12 511 12 (1 Дз((рздз)) 112 Они проходят черев источник волн (скажем, В = Вм ы .=- 0), и соответствующее интегрирование дает ( †) = В )зш „ш(,1 зйе) В1 иас а1п о =- 2 . (12.44) бдз .
Ив этого уравнения для характеристик мол<но выра а ать д как функцию от Л и ю, а затем, испольэуя (12.4о<, найти р. Имеем бдз<2 . Д=ОВ = = " = ((В)в,) — 2(ВВ<,)зшс (з)зе)-Р<)«2 ' бд<12((В<В,)з<з-.с<в (зй е9 Ы, ОВ)В р д(В)В )3!2 (з) и)+ЭЫ2 и, наконец, „).а 1<Из<2 (1 — ( В ) ). (12.45) Это уравнение мозвно решить методом харантернстин, но вычис- ления гораздо сложнее, чем для соотношений (12.27) — (12 20), поскольку теперь вектор й не постоянен на харантеристинах и харавтеристики не прямолинейны.
Однако характеристическую форму можно найти при помощи общих формул, приведенных в 4 2.13. Поз<вжиг< р = Оя, д = — О-; тогда <В 112 йе Д вЂ” =6 =р+()В, — =6 = —., а Р ' ш Д н ЛР 12 1 — = — 6» — р62 =- — — бр, Вз Гл. 12. Картины волн Этот результат впервые был получен Урселлом (2), улзчнившим рассуждения Тейлора. Для малых ы имеем 3 йязгзр(1 ( яи)ыз)-з (12.46) это согласувгся с уравнением Тейлора для линий гребней и хорошо подтверзкдается экспериментом. Этот конкретный пример лонавываег силу кинематической теории, поскольку любая попытка прязюго подхода к получающейся здесь краевой аадаче представляется совершенно безнадежной.
12.6. Ролиы во вращающейся хсвдности Для малых возмущений в несжимаемой зкиззкоств, поступательно двингущейся со скоростью (7 вдоль оси тз и вращающейся как твердое зело вокруг этой оси с угловой сяарастью П, линеариэованные уравнения имею* вид Ри, дРЗ ЗР з др — Жюз = — — ', —" -(- 24)кз РЗ а,' зос д',из Риз др диз ди, д з — — — + — + — =О, Рз;а„' а., д., а*, = где Р = — — (р (г + х ), — = — + (г —. е — щ з,, Р д а Р М ' сиз* (12.47) Исклзочив возмущения скорости.
получим для Р уравнение Я+(7,— ') тмр+4а ',„=О. В случае П = 0 приведенное уравнение для периодических возмущений Р = азе ""' имеет вид + — „, +(1 — —,) —,„=о. Ф,У дзд' язз азат (12.48) Переход тина этого уравнения из вллпитического при ы ) 2() в гиперболический при ы ( 2() првводит «ак к интересному физическому явлению, так и к интересным матеыатическим задачам. При ю ) 20 возмущение от источника затухает как 1/зз, что харакзеряо длн дипольного решения уравнения Лапласа, тогда как при ы ( 20 оно сосредоточено внутри характеристичесного конуса, ось которого совпадает с осью х, а угол полурастаора равен агс ай (бз()з(мз — 1) ззз.
Для течения внутри сосуда граннчяые условия являются эллнзжическими, что нриводит к необычйым аздачам иа собственные значения в гиперболическом случае !2.6. Волны ва вращающейся яогдкостк го ( 20. Решения были найдены для специальныт форм сосудов (Гринспен [1), Варсилон Н[, Франклин [П ) '). Когда существует поступательное течение со скоростью У, циснерсионное соотношение для уравнения (12.47)прикимает внд (го — П г )з йз — Яйзй', = О. (12.49) Волны возможны лишь в том случае, когда (ю — Пйз)з ( 4Пз; длп (( =- О жо согласуется с условием гппербоввчности уравнения (12.48). Две кш(ы определяются как м=((йз ~ — —, тцаз (12.50) а групповая скорость имеет компоненты Сзй р 2Я вЂ” тз, Сз= ~ 2П вЂ” 'з, С,=(г~ 2а — ' (грз -Р (4) ы (12.51) Для точечного источника с постоянной частотой ю на оси лз распределение волнового вектора й иаходитсн ив уравнения 'з Сз (,,*~-з!)згз = (су+сйз~з ' При С= О это дает вз (ж — ййю 4цз !гз = ~ ( — з — 1) .
(12.53) ') Оеновоползгзюжев здесь ввляетс» работа С. Л. Соболева «Об одной вовой задаче кзтематкчмкай фвзкюо, Л . АЛ СССР, гер. катэк., (б, ра 1 (1994), 3 — 90.— Лр . р д. Возмущение находится на характеристическом конусе в соответствии с уравнением (12.48). При Ю ~ О имешся дисперсия даже лля фиксированной частоты ы, и различные 9пачеиип вектора й, удовлегворязсщие соотношению (12.49), распределены по различным конусам.
Описанным вьппе методом можно получить полную картину волн; результаты приведеньз в статье Нкгема и Нигема Н!. Но, пожалуй, самые интересные вопросы распространения воли связаны с задачей, поставленной Тейлором (столб Тейлора). В своем знаменитом эксперименте Тейлор [2! обгшрузквл, что если сфера медленно проталкивается вдоль оси вращения, то весь цилиядрический столб жидкости, в который вписана эта сфера, движется вместе с ней. Полный анализ маго явления слажен (см.
Гринспен [Н, стр. 192), яо некоторую информацивз о нем может дать кинематика волнового процесса. Выберем стадионарную систему отсчета, свпванную с основным течением У. Для того 404 Гл. 12. Картины волн чтобы впереди по течению могли возннкяугь волны, необходимо выполнение неравенства Гз ( О, или — что то же самое — неравенства ха (э<юь)) Н Наиболее благаприятнь<и случай получается при йз — О, что соответствует поверхности столба Тейлора.
Чтобы эжены распространялись вверх по течен<по, онн дол<к<э< иметь 2И > Г<, илн, эквивалентно, ь ) Г<нй<). Следует ожидать, что главными являются вол<<и с ь = О (а), где а — радиус сферы. Действительно, Тейлор обнаруя<на столб при ()о/(я(<) ) 1, и это в точности согласуется с выборов Х а.
Дальнейшие исследования (как энсперимевтальные, так и теоретичеснне) показыванл, что реэкото пере. хода вет, а существуег переходная область,и сформулированный выше реоуэьтат с.<сдует рассматривать нак первое приближение, когда столб Тейлора вырав<ен достаточно отчетливо. 12.7. Н-пы . ст)<атг«(ны(п)К<вант<о<< рдмдк-тц Гравнгацнонные волны в жидьости со гтратифицированной ш<атностью представляют болылой иятгре< л метеорологии и океанографии. Градиент плотности ьюн<ет возникать за счет перепада температур, изменение содержания соли или других факторов, но часто желательно игнл<ачпть с<ьииаемость и авуковые волны в последующем движении.
Для этого уравнение неразрывности расщепляется на <<ве части: — =О, \7.н =О, Оо и< и обе сохраняют<л) Нлотность н<' пастоннпа, но счнтаетсн неиаменвой вдоль траектории часткды з волнолом двюкении. 1( атим уравнелиям добавчнются уравнения сохранения и<<пульса по р — == — тур — рб. В< Длаю<ое использование уравнения неразрывности делает яенуя<- ным уравненио сохранения энергии, так что мы ил<еем полную систему.
Результаты и приближения можно с<вюставить с более подными описаниями; основное требование состоит в том, что скорость внука должна намного превышать волновые скорости, которые получаютсн в данной теории. Для двумерного течения в (»; р)-плоскости со стратификацией э направлении оси р положим невозмущенные параметры рав- 12.7. Волны в стратифицнрованной жидкости ными и = з = О, р = ре (у) Р = ре (д), прмчеьз — -! р,у — О, ззо из (12.54) и проведем лииеарнзацию длн палых вовмущсний втого состояния. Обозначим возмущения параметров р и Р через рх и р, соответственно; тогда линеариаованвыс уравнекив приыут вид Рм ! зР,=О, и -~-оз — —.О, р;, ( „„=О, Р;,+рж+ур,=о. Введя функцию тока Ч', определяемую равенствами и = Ч'ю о = — — Ч" м зту систему. можно ваменвть уравнением Рз'!' пб (Ротуздз~ — УртЧ'и =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
