Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В частном случае, когда дисперсионное соотношеяие однородно по ы, /с„ йзи йм диснерсионная функция обладает свойством С(р, рйм рйм рй) =-6 для произвольного чисча р. Тогда, дифференцируя по р и полагая аатем р = 1, имеем ыб + й>б,, = О. Следовательно, !с С = ы. В атом случае, яо шыьло е мляв случае, формула (12.68) сводится к равенству х = С! и фазовые поверхности распространнются вдоль грувповых даний со скоростью С. Различие мюкду грувповой и фазовой сноростнми в точности компенсируется характеризугощим наклон ыно>кителем соз р. Этот частный случай применим, нанример, к соотношению (12.66), если тензор зп не аависит от ы. Одлееслые кристаллы ж ма= — ° агро а) а> !.а) ыз > + з„р ер (12.73) (12.74) Казалась бы, анязотропия должна искажать волньа и несколько неон>иданно, что нронсходнт расщенлеяие и одно семейство остается изотропвым.
Интересное явление кристаллооптяки связано прежде всего с этим расщеплением. Теперь мы имеем две поверхяости в й-пространстве,кзк показано на рис. 12.11, а. Волны, описываемые соотношениеы (12.73), изотропны, имеют скорость (заро)-Мз и называются обык>имемкыли В случае одноосного кристалла с осью симметрии з, имеем ез =- е, и зто общее значение обоавачается черна зг.
Тогда дисперсионное соотношение (12.66) факторизуетсн, так что воаникает две возыоя;ностис Гл. 12. Картины волн вОлнами. Соответствующая поверхность в й-пространстве является сферой, групповая скорость направлена вдоль й,и дисперсия новинка ет только тогда, когда ед вависит от <о. Второе семейство вали, описываеное соотношением (12.74), называется ягобыяноееляым, н поверхность в й-пространстве является зллипсаидон; зги волны диспергируют.
Понерхности изображены ва рнс. 12.11, О для Раг. 12.11. — длглгрггюалы лаз< рдв и з а-дрог <Г а г<зг длл дз осного нрлстзлла, ь — флзоеыг лад<рыл а л-лроо рлнс О ддл однооглаго дрегтллла. случая г<) е . Для кап<дога й существуют две групповые скорости С, и С,. Как следстпие получаются дле фавовые поверхности, изображенные на рис. 12.11, В. Для обыкновенных волн Сг й и ураннение фазоной поверхности (12.68) ныеет вид х= 1. (12.75) а <дол< Испог<ьзуя для исключения вектора й соотношение (12.73), находнн фазовые поверхности е,р, (г,'-'- ж,'+я ) =-<д; (12.76) ато обыкновенные сферические полны, распространяющиеся со скоростью (е<ро) '<'. Для необыкновенных волн (12.77) 12.8.
Кристаллооптика 413 и уравнение фавовой поверхности (12.68) имеет вид х== ==(, аз аз з рее ' ззвзм ' ззреи ) (12.78) Согласно (12.74), фаэовые поверхности являются эллюзсоидалзи вырез +езде(ха+ г ) (12.79) Канонические в-поверхности получаются иэ (12.76) и (12.78) ваменой х —. эс С. Для необыкновенных воли папранление распространения волн с волновым вектором й определяется соотношением (12Л7). Волны дг рвс. Зэях. двсперснсэвяс поверхности в рэ росзрзвствс дзя двухосного кристалла.
с вектором й, составлпющвм угол ф с осью симметрии, распростра- няются под угз!ом $, опрезгсляеззыы иэ уравнения 485=- й еда (12.80) Вследствие этого расщепления луч, падающий на оштооспый кристалл, как правило, при врелоылении расщепляется на два отдельных луча. Преломленные лучи определяются иа условия непрерывности касательной составляющсв йз вектора й. Но для ваданвой составляющей й, существуют два допустимых волновых вектора 1з, удовлетворяющих соотношенияы (12.73) и (12.74) соответственно. Преломленные лучи распространяются по направлениям соответствующих групповых скоростей.
Гл. 12. Картины волн Дсугосныс ярисжаллм Для двухосных кристаллов с нераввыии главными евачениямв см е, са новерхность (12.66) состоит ие двух листов с четырьмя иаолировакныыи точками пересечения выесто акрджямжи касанвя сферы и аллипсоида ва рис. 12.11, а. Один октант атой поверхности ивображен ва рис. 12Л2 для случая е, ( ес ( ее. Тачка Р является одной иа точек пересеченпя, остальНые расположены симметрична в других квадрантах (/сг, Йе)-плоскости.
В особой точке нормаль может принимать любое апачевие, лежащее на копуСе направлений в данной точке. Если луч света падает не кристалл нормальмо в атом напранлеиии, обравуется конус преломленных лучей. Дальиейлпис детали становятся сложными и требугот длительного последования. Зги (и многие другие) сведения моя~но найти в превосходных монографиях Зоммерфельда ((1), гл. 4) и Ландау и Лифшица ((4], гл. 11). Глава 13 ВОЛНЫ НА ВОДЕ Многие общие методы теории диспергврующнх волн были рааработаны при изучении волн на воде. Зто увлекательный предмет, поскольку фнаическая сторона широко невестка, а математические аадачи равнообрааны '). Мы обратимся теперь непосредственно к атой томе. Сначала мы докажем ревультаты, на которые мы ссылались вьппе, ушчнвм отдельные детали и рассмотрим ряд аадач, характерных Лля данного предмета.
Затем перейдем к нелинейной теории, которая нпервые поаволила ноннть, как нелинейность влвнет ва двспергирующие волны, что со нременем привело к общей точке арения яа такие вопросы. И адесь она будет служить той же цели, мотивируя общие рассуждепия в ввученве аналогичных явлений в раеличных контекстах. 13.1.
Уравнения для волн на воде Рассмотрим невяэкую несжимаемую жтщкость (воду) в однородком поле тяжести. Пространственные координаты обоалачиы череа (л„тю у], а соответствующие компоненты вектора скорости в череа (и„ и, о). Усяорение своболного падения у направлено по отрицательной полуоси у. Уравнения движения невяакой жидкости были приведены в гл. 6 (см. уравнения (6.49)). Теперь предположим дополнительно, что плотность р остается постоявной и что поле внешних сил иыеет вид Р = — рб), где ) — единичный вентер, направленный вдоль оси у.
Тогда ураакення примут следующий втщ: т в=-О, Ра да — — +( ТГ) в= — — тр — у) Рс Ы (13.1) (1З.В) ') Читатель, ааюрсстаацайса математической стороной вела, мыкет сбрататьса, например, к слсдтмао1м кнатам: Теарел аоеерхвоставх волн, сборнкк, М., ИЛ, 9959; Лаарелтьев М. А., Йабат В. В., Прсбламы гнароЛчлаьожн н вх матемаммескне моделя, М., «Пашки, 19?9; Налимов В. И., Пухвачаа В. В., Неустанаанаюксс» давжевня кдеальней ншдноста са саобоцаой грааацей, Ноаесабарск, Над-ао НГУ, 1975.— Лри . дад. В большинстве еадач теории волн на воде течение можно считать беавихревым, так что гос к =- О и можно ввести потенциал скорости ~р, определяемый равенством н = Н~р. Для докааательства Гл. 13. Валньг ва воде 416 можно,как обычна, воспальваваться уравнением для вихри н = = го1и. Сначала уравнение (13.2) аависываегся в виде «В 1 — +дг ( —,н»)+ы х л=- — — 2»р — д).
(13.3) П (2 ) Р Для тога чтобьг исключить давленое, применим к атому уравнению оператор го1 и получим уравненне Гельмголыга — „+17 х (ю х и) = О. (13.4) 11оскольку угв =- О, последнее уравнение можно переписать так: р, = «, +( дг)ы=(ю р) (13.6) Далее, ы = Π— допустимое решение и Вто решение единственно, яапример, при условии, что все компоненты 1)н ограничены. Следовательно, если ю = О первоначальна, та это (справедливо и для всех последующих мамонтов времени. В теории воли на воде твннчньге задачи свяааны с распространением волн на покоящейся воде или в аднородноы потоке.
В обоих случаях е исходном состоянии ю = О и приведенные выше рассуждения применимы. 1(ы ограничимся исследованиеы беввихревых течений. Когда в — -- ту»Р, уравнение (13.3) интегрируется, и мы находим Ро =В(с)-РР— — (ДВР) — бу 2 (13.6) где В (1) — проиавольнал функция, а ро — проиавольная постолнная, выделенная иа В (1) для удобстве учета условия на своболной поверхности.
Ясно, что В (1) ыо»кно включить в р, выбрав яовый поте»и»вал ор' .= о» вЂ” ) В (1) Нг. Обычно мы предполагаем, что это сделана, н получаем в = 1»ф, Р Ро 1 Ро = — »Р» — (»У»Р)» — бу 2 (13.7) Согласно (13.1), потенциал СР удовлетворяет уравнению Лапласа дгор.= О. (13.8) После того как найдена решение уравнения (13.8) с соотаетствующвми граничными условиями, представляющие интересфиаические величивьгн, р определяется равенствами (13 7].
Это выглядит довольво проста и кажется мало относящимся н Волнам, поскольку фигурирует уравнение Лапласа. Такое впечатление ошибочна, потому что условия на свободной поверхности облаИВют удиВительными сВОЙстВАми. 13.1. Уравнения для волн ва воде >Ну Рассмотрим случай, когда над поверхностью воды находится воздух (хотя, очевидно, можно была бы рассматрввать две любые ншвкости). Поверхность раздела, описываемая уравнением 1 (в„х, у, 1) = — О. (13.9) опрсделлежсв условием, по частицы жидкости пе пересекают ее.
Повтому ко>шонента скороств в>навести, нормальная к поверхности раадела, должна совпадать с нормальной коьшовевтой скорости самой поверхности раздела. Нормальная компонента скорости поверхности, определяемой ураввением (13.9), равна — 1> У(.*,-Н*,+Рз Нормальная компонента скорости жидкости составляет з>(ы ь >(з> ("з>з Условие равенства этих компонент дает ш =1>+п>1„+па1 >+с1з=О. О( (13.10) Оно показывает, что частицы, находящиеся на поверхности, остаются на ней, и часто вводится непосредственно ва втих основаниях.
Однако прямое утверя>дениз мажет вну>пать недоверие и, по-видимому, предпочитеаьвее замести ета, как было сделано выше, исходя из основного свойства поверхноств раздела. В дальнейшем удобно описывать поверхность равделз уравнением у = >) (х>, х, 1), положив в (13.10) 1( '" у, 1) ц(х>, '., 1)-у. Татда граничное условие принимает вид — =ц>+и> ~ +и>>)„=:о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
