Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Нрн решеннн задач о стационарных вочнах прп помощи преобрааовавня Фурье следует соблюдать остарел>ность прн выборе подходящего условия налучення для обеспечения еднвственвостн. Интересно проследить,нан условие нвлучення в данном контексте сопоставляется с нспольаованнем понятия групповой скорости прн определеввн места появления волн. Неедннственность вовннкает вследствне нснусственностн предположения о стацнонарнсстн потока, посмольяу течение не могло существовать всегда. В прннцнне идеальный способ насылать етого — решать более реальную нестаднонарную ведачу с подходящими начальяьп>н условнямн, прнложенвымн в неноторый нонечвый момент временн в прождем, смажем прн Г = — ср, а ватем в полученном решеннн положить г ->- сс. Однако ета программа монет ояаааться трудно выполннмай н перегруженной мвогочнслеввымн нвлнп>ннмн деталямн, не входящими в окончательный ответ.
Упрощенный варнант условия вал учевня в принципе следует втой нпее н в то же время требует минимального обобщения вадачн. В данном случае будем счнтать, что внешнее давление на поверхвостн у = 0 вадано формулаа 13.9. Волны на поверхности стационарного потока 431 струкция обладает желаемыми свойствами еадачи с равумиьсти начальнымн условиями и в то же время сохраняет простую аевисимость от времени. После того кан аадача решена, мы перейдем к пределу прн а -о О и получим стационарное решение.
Граничные усдовия (13.12) модифицируются. Во-первых, на поверхности ведается распределение давления, и, во-вторых, учнтывеетсявкладповерхностного натяжения. Как мывиделив 4 123, последнее приводят к особенно ивтересным последствиям при военикновении волн, распространяющихся вверх по течению. Для малых вош<ущеиий основного потока У в тт-направлении потенциал скорости берегся равным Ф=Уя,— бгс+Ф, И х (13.54) где ЧФ мало по сравнению с У. Тогда линеарвеованные граничные условия иа свободной поверхности прившшют вид та+ПО„-Ф„=О, Фг+()Фм+бц — т)чш — — — /(х) ен ) т н прв у=О (13.55) о Потеицмал вовмущения Ф по-лрежнему удовлетворяет уравнению Лапласа: длн простоты мы будем рассматривать случай бесконечной глубины, так что Ф О при у -о — оо, Решение в вице интеграла Фурье, удовлетворяющее двум последним условиям и меняющееся как се', представляется формулами: Ф=с' ~ Б((к)еы *+"тс)к, к=)м(,) йф)=ос ) А Гм) егтраг)к, Далее, граничные условия (13.55) свяаывают А и В друг с другом и с преобрааовавием Фурье Р (и) функции г (х).
Реаулыат имеет вид (13.56) Ч х ) ' ) (кгп — и)' — е)(к)' ."де (13.5» ю =бк-~- — ка е р — дисперсионное соотношение для волн, Распространяиапихго и спокойную воду. Гл. 13. Волны на воде Теперь можно понять роль числа а. При а = 0 на контуре интегрирования яаходятся полюсы, определяемые уравнением к',()с — ы, '(к) = О. (13.58) Контур интегрирования должен с той или другой стороны обходить кшкдый полюс, но свобода выбора привела бы к иеединствепности. При с ) 0 корни анаменателн в (13.5б) камплексиы; полюсы сдввнугы с пути интетрнрованн, н неопределенность не воаиикает. Даст ли полюс вклад нлн лет, аависит тогда от дальнейшей деформации «овгура интегрированна и определяется конкретным выбором обхода вокруг полюса.
Значения вектора м, удовлетворяющие уравненвю (13.58), определяют, какие авачевия вектора и ыогуг дать существенный вклад; полоигение полюса (вьпсе контура интегрирования или ниже его) определяет, где будет нметь ггесто этот вклад. Условие (13.58), по существу, совпадает с условием (12.23) (или с условием (12.24) при ы .= 0), выделяющим в данном потоке стационарные волны, дающие большой вклад. Аналиа, покааывающий, следует лн включать данный полюс, соответствует определению положения этих волн при помощи понятия групповой скорости. Одяолыряме грасктациояяме солям Для простоты рассмотрим сначала одномерный случай и пренебрежем поверхностным натяжением.
Тогда вместо (13.58) имеем Появление я = ( яг ( следует специально отмеппь; оно свяваио с теле, что в преобравовапнн фигурируют как положительные, так и отрицательнме авачения кг, и для того чтобы выполнялось условие Ф вЂ” ь О при у -ь — ос. в одномерном случае экспонента в выражении для Ф должна быть равной ехр (гк,л, + ( я, ( у). При исследовании интеграла (13.59) мы рассмотрим частный случай 1 (гт) = Рб (лг) Р (кг) = Р/(2я) к которому в ненотором смысле сводится и общий случай.
При атом Рам 1 жмт"» акг ) (а~Π— ге)» — га ' Поскольку в ивтаграл входит л = (ят (, втот иатеграл удобно раабитыш два: для кг ) 0 и для к, ( О, и в нам<дом иа них исполь- 13.9. Волли ва поверхиости стационарного потока 433 совать к в качестве переменной иитегрвроваиия. Тогда Р,) (кп — ы)г — гк ) (к(Г -(- ой» вЂ” гк ' с г Поскольку в окончательном ответе с -г.
О, членом с е' в епамеяателях можио пренебречь, а мноягитель е", который теперь уже сыграл свою роль, можио опустить. Имеем — = !гю ( ~ пг 2 р + ) Ггг гми — ) . (13.60) с а 1!олюсы подынтегральиых выражений находятся в точках Х 2е Х 2М соответствевио. Коитуры ивтегрировавия можно повернуть так, чтобы они совпали либо с положительной, либо с отрицательной мнимой полуосью. Для х, ) О коитур интегрирования в первом слагаеыом можпо соамесюжь с положительной мнимой полуосью, а контур югтегрировакия во втором — с отрицательной мпимой полуосью; оба погпоса дают вклад.
Имеем Р тп,! г — Ь + 2п ) ' +Ь с =- — 2 а!и йт, -(- — ( е-, бгп, х, ~ О, (13.61) и 1 кг+Ы г где й — —. г Пг (13.62) Для кг ( О контуры интегрирования можно повернуть в противо- положных направлениях, и полюсы пе дают вкладе: — — е гг(гп х СО. 1 Г и Р =и) кг+Ы (13.63) г Соотножевие (13.63), которое могкно еаписать таиже в виде определяет волновое число й для тех волн, которые могут иаходвтъся в стациоиарлом состоянии в иабегающем потоке. Поскольку а(л йтг удовлетворяет условияы вадачи о стационарной свободной Гл. 13.
Волны ва воде 434 поверхвости дпя всех:гг, условие иалучеиия является решающим при докааательстве того, что ~акис стоячие волны появляются только авиа по течению (х, ) О) от прилаженного воамущеиия давлевия. Интегралы (ПЙ61) и (13.63) необходимы в полном решении, но становятся малыми при ) х, ) )) 1. Асвмптотвческие представления этих ивхегралов полугаюхся формальным раалоигеяием выражения (т'+ Й')-г по воарастающим степеням и» и почлевиым ивтегрировавием получевпого ряда. Эта процедура дает 3 3! ь 5! г)ж —,— '+ — —...
юг .Зг ьж ьг 1 + Оггг а Окоичательпый вывод состоит в хом, что стоячие волны вдали от источника воаивкагот только вниз ло течении, причем они имеют вид ц= — — юпйхи Й= — г ° цг (13.64] Одномеряыз волны с учетом пееерхяссжяого яталзхенил Когда учитывается поверхностное иатяжение, выражение (13.60) переходит в следующеег =,'ш() япг — глы —,— (т)Р)нг с + 3( япг Разам — х — (тур) кг ) ' Полюсы баиакв к корням уравиевия Й(рг = б+ — Йг; (13.66) Р это опять союгадаат с условием П = с()г), испольаоваввым в (12.20) при определении того, каппе волиы ве сиосятся течением.
При П ( с„„где с — мввимальвая волновая скорость, ураввевие (13.66) яе имеет веществеввых корней. Следовательно, в ивтегралах (13.63) нет полюсов, бливких к вещественной оси, все вклады подывтегральвых вырюкеяий быстро убывают с ростом х„и схоячие волны отсутствуют. Это согласуется с выводом, полученным в 4 12.3. При П ~ см уравяевие (13.66) имеет даа веществеввых кориа й оии совпадают с велвчииамв Йз и Й, введенными в формулах 13.9.
Волны ва поверхности стационарного потока 435 (12.21) — (12.22), прячем йт)йю В етом случае интегралы в (13.65) имеют полюсы, блиекие к йе и йт. Ояи расположены в точках 2РО к = й — 2РО к/ йг+ !ь,-ь„)т " ='йт !ь,— ьтт " — 2РР а )т агп й х2, х1)0, т — е а)г е(пй ', г!(О.
т В Корабельные волны Для двумерной задачи о гравитационных воляах, создаваемых точечным источником / (хн х,) = Рб (хы х,), в интеграле (13.56) следует положить К (к) =. Р/(4п") и ы, '= дх. Тогда (13.56) дает 4я О „ем Г Г яехрП!в1е'4-яеат)) Ючляа (13 62) Р = ) ! !ж — Я(ир аа/От где к = (я', + к,')ггт. Удобно ввести полярные координаты х, — г соч 4, х, .= г а!а $, к,== — ксоа)(, к,=ка!пу. Вклад от области и/2 ( у < Зп/2 комплексно сопряжен с вкдадом от области — и/2 ( Х ( и/2 и в пределе ври е -ь О (13.67) првнвмает вид егт татбтч В (1, ( лх ( хехг! — еч ссе(4+т)) с(к1 (13 63) я — ке о/а е где г 2Я ке ХМ стет~„' Сосет (13.69) для первого интеграла и в сопряженных точнах для второго интеграла.
При хг ) О первый интеграл мол<но вычислять вдоль пологкнтельной мнимой полуоси, причем вклад дает только граввтацловный полюс около йл. Второй интеграл вычнсляежя вдоль отридательной мнимой полуоси, причем вклад дает другой гравитационный полюс. Таким обрааом, ввие по течению от источника понвляюжя гравитационные волны. Аналогичным айраном при хг ( 0 повороты следует делать в противоположных направлениях и вялад дают капиллярные полюсы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
