Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Энергия играет роль, аналогичную роли энтропии в газовой динамике; в газовой динамике вся внутревняя энерпщ включена в подробное оиисакие, так что энергия сохраняеглся, в дополнительная аеременнаа в описании допускает дополнительное условие на разрыве. Турбулентная энергия в (13.85) ве включена. Между фро»пом Ь = О, х = — 21'глбН», перемещающимся со скоростью 2~рНо, в невовмущеиным уровнем платаны Ь = Но прн х =. — (эгдН~ свободная поверхность имеет параболическую форму.
Теория мелкой воды, строго говора, не справедлввэ в начальной стадии,поскольку характерная длина по горизонтали (мала, но по мере развития течепкя величина Н,"/!о становится малой и реальное течение описывается довольно хорожо. Следует отметать, что Ь =4П '9, и = 2~'бНо!3 остаются постонвнымп в месте располо»кения плотины х = О для всех Г ) О. Скорость фронта оуществешю иэменяежл трением; попонки оценить это иаменеаие предпрвняты Дрессаером (2) и Уивемом (4!. Гн. Вй Волны на воде Условия на боре (13.81) можне переписать в следующей удобной форме: (13.87) ~ зл,(л,-Лл,) )ыз тзз -лз 1 елз (аз фаз) ~ 111 а,=и,+— л, (13.88) Р= ~ р (и)л; тогла др,, = т (т — 1) р, ш.= 2, ..., а, „;=О, Р..=О.
Первые несколько решений имеют внд — «зфел 1 2 «л «елф злз 1 2 „зл „« «злз 1 2 1 3 1 ««1, + «з Лз « Хззз 3 2 3 — ззф — 1Ш 1 1 2 2 — «заф втлз 1 3 Второе, третье и четнертое решении отвечают законам сохранения массы, импульса и энергии соответственно. Другие очевидной ,7(альлзб«заз закаев сохранения Интересно, что уравнения ыелкой воды (13.79) допускают бес- конечное число законов сохранения общего вида —,' ° (к, 3)+ —,' () (и, л) = о, необходимо лишь, чтобы выполнялксь условия (З„= ир„+ ЛР«, ()« = бр„+ ирз.
Таким образом, любое решение уравнения йр =Лрш приводит к закову сохранения. Наиболее интересны полвноми- альные по а и Ь решения. Их мазано последовательно получить, полагая 13.11. Уравнения Кортнвета — де Фрина и Буссвнеска 443 интерпретация не имеют. Однако, поснальку каждое ие них можно испольэовать для получения постоянного интеграла )С (Р(и, Ь) — Р(0, )и))дх=-совет, в любой эадаче, для которой и — ь О, Ь вЂ” ь Ьэ на ~ оо, вавестио бесконечное число интегралов решения.
Следовательно, мы вправе ожидать, что решение можно найти аналитически. Действительно, при помощи преобраэования тодотрафа уравнения (13.79) можно перевести в линейное уравнение н в яринципе решить; лальнейшее рептение совпадает с анелином 4 6.12 при у = 2. 13.И. Уравнения Ксртевега — де Фриаа и Буссинеска Посмотрим теперь, пан в теорию мелкой эодь| можно включать дисперсионные эффекты. Зто можно сделать, продолжив формальное рааложение по малому параметру (Ьэ/~)т и учтя члены следующето порялка по сравнению с теорией мелкой иоды. Однако, прежде чем проделать ато, для лучшего понимания общей ситуации полеено применить более простуто интуитивную процедуру. Рассмотрим случай одномерных волн при постоянвов глубине Ьэ.
Ливеариаовавный вариант искомых уравнений долнюв дать дисперсвонное соотношение (13.25) в следующем после (13.73) приближении: (13.89) юэ = с',нэ — с'Ь'кй э Уравнение для ц с таким двсперснонвым соотношением имеет ввд ци — с~в — Ус~Л~ун =О. (13.90) Уравнении мелкой воды (13.79)после линеариаации дают (13.74). Если к уравнениям (13Л9] мы смогли бы добавить доподнктельный линейный член тая, чтобы мх линейный вариант давал уравнение (13.90), то получили бы систему, включающую как нелинейные эффекты отпсюительното порядка а/Ье (где а — характерная амдлитуда), тан и дисиерсионные эффекты относительного порядка Лу)э. Зто легко сделать, причем существуют раэличные формы, которые в желаемом приближении эквивалентны.
Если мы предпочтем добавить член тЛ„ во второе иэ уравнений (13.79), то линеариаованные уравневия дадут Цс+)ЭРЛ. = О, и,+бтн+ттд„, =О, Гл. 13. Волны на воде и, исключая и, получаем би — с,'<! — т/Ч<) „„= О. Следовательно, выбор т = Час',йэ согласуется с (13.90). Таким айраном, утверждение ааключается в там, что система й< + (ий)* = 0» и<+~~„+уй + — с,'й,й „=О, 3 (13.91) каь и гребу<ноя, сводятся к (13.90) в пределе при а/йо -« 0 и к (13.79) в пределе при й»//< †«- 0 и, следовательно, объединяет поправки первого порндка к (13.74) как по а/й, так и па й,'/!т. В поправочный член нсегда мое<по подставить ннюдее приближение (13.74).
Поэтому эквивалентная в рассматриваемом порядке система имеет ввд Щ+(ий) =О, г <+»+рй + 3 (13.92) Таную систему набрал Буссинеск, впервые получивший ети уранневия, .<!инеариаованяый вариш<т системы (13.92) приводит н уравнению <У< — <л»<Ь* — 3 а,<)» и =" (13.93) и дисперсионвому соотношевжо »«нэ !+</экии« ' Первые два члена раеложения этого дисаерсиояного соотвошения по малым (кй„)э согласуются с (13.89), к, следовательно, две рассматрнвае«<ые системы эквивалентны в этом приближении.
Однако, если уравнения испольвавать в случае, когда й/!э не мало, то система (13.92) предпочтительнее системы (13.91). Согласно (13.89), малые ваемущения с (кйэ)* ) 3 дейспнт<пьно будут усиливаться, поскольку <е становится мнимой, тогда нак (13.93) сохраняет неществениую частоту ю, хотя н рассматриваемой области эти рассуждения и некорректны.
При численных расчетах равличные аффекты перехода к конечным равностям и округления вводят малые осциллялии малой длины волны даже в там случае, когда решаемая авалитнчеокая эадача удовлетворяет условию й,'/!» (( 1, и повтому система (13.92) предпочтительнее. Уравнения Ьуссинеска включают волны, движущиеся как влево, так в вправо.
Повторяя те же рассуждения и ограничиваясь только волнами, движущимися вправо, получим уравнение Корте- вега — де б«рива. Для волн, движущвхса вправо, первые два 13.11. Уравнения Корт»вега — де Фрива и Буссинеска 445 члена дисперсиовиого соотношения дают =с>к — ук 7= а с й » (13.94) и соответствуют уравнени>о ц,-р с»ц» р уц„,„ = 9. (13.95) Для нелкнейвых уравнений мелкой воды (13.79) волны, движущиеся вправо в невозмущевную воду глубины йю имеют инвариант Римана н = 2 $Г б (Ц -р ц) — 2 )>у~, (13.95) подстановка которого в любое иа уравнений (13.79) дает ц>-~-(3 ~ у ()ч-)-ц) — 2)/у)ц) >)„=-О.
(13.97) Объединян уравнеяия (13.95) и (13.97), имеем Ц + (3 Уа Ай 9) — 2 УЖ) Ц + 7Ц„= 9. (13.93) Если яелинешп»е члены аппроксимировать с точностью до членов второго порядка по а>Л», то получим ц>+с»(1+ —. Ч ) ц +утм, =О. (13.99) Это уравнение Кортевега — де Фриаа. 11»т оснований нолагать, что предпочтительнее сохранять уравнение (13.93), поскольку другие члены, например пропорциональные произведению а>Ь на Ь,*Щ могут акаваться важными в той же степени, что и нелинейные члены порядка а»>й»'. Опять в дисперсионном поправочном члене можно положить ц, оа — с»ц„и ваять ц>ф»»(1+2 ь )ц* — ц 2 ь»!»» Тогда лмнеаривоваяному уравнению соответствует дисперсионвое соотношение с»я >+угл!»» ' При малых к ато согласуется с (13.94) и в отличие от (13.94) имеет ограниченные фааовую и групповую скорости, если к становится большим. Поскольку г» остается ве>цественной в обоих случаях, потребность в модяфикации менее настоятельна, чем в случае уравнения Буссинеска, но тем не менее желательна но тем же причинам (Бенджамен и др.
И)). Однако для уравнения (13.99) было найдено много восхиткшльных точных аналитических решеяий, и в общем случае его можно свести к линейному интегралыюму уравнению; в настоящее время атп его свойства домияируют иад всеми остальными. Гл. 13. Волны на воде с рт = О при У = О. Теория мелкой воды с производной ф„, приближенна не зависящей ат У,и малой полной глубиной пред- латает разложение Подставив зто разложение в уравнение Лапласа и а граничное условие при У = О,получим,что (13300) где ( =- 1».
Последний шат состоит в подстановке этого разложени» в граввчные условия на свободной поверхности. Поскольку онн аелинейны и применяются при У = й, -(- д, дальнейшие выкладки оказывакыс» довольно эапутаннычи, и в разложениях члеяы следует упорндочнвать по двум вараметрам: а = а/Ье и () = = Ь,'!(з. Лучше всего нормировать переыенвые с самого начала, считая походные переменные равными У'=йэУ, Р= —, сс щ зьж т = —. се ' л' = (я, Различные растяжения по У н а являются репжющим шагом.
В нормированных переменных аадача формулируется следующим Предыдущие выводы обладают болыаой гибкостью, и таков подход естественным образом допускает рааличвые альтернативы, рассмотренные нами. Становится также ясным, что данные уравнения применимы ко многим задачам о дяспергнрующих волнах, совершенно не связанных с вояками на воде. Любое дисперсионное соотношение с нечетной функцией ю (к) с точностью до двух верных членов мазано представить в виде (13.89) или (13.94), а тогда уравнения (13.90) и (13.95) будут описмзать лннеаризованную теорию. После этого остаетсн лишь обсудить вид нелинейных членов, и члены э (13.9Ц или (13.99) довольно тниичны.
Например, именно так получаемся этн уравнеяия в физике плазмы. Формальное разложение во малому параметру имеет свои преимущества и поэволнет надеяться найти оценки остаточных членов. Коли расстояние ат горизонтального дна временно обозначать череа У, то будет нужно решить уравнение Лапласа 13.11.
Уравнения Кортевега — де бгрива и Буссинеска 441 образом." бр„.+~ =О, б =О, 1 0~+ар*Ъ вЂ” уВ-=О ц+е+ — ф +- — ф = о 1 г 1а е 2 г О~У~1 ь „, У=-О, е Подставляя вто выражение в условия на свободной поверхности, находам ту+ ((1 -)- ац) (в)„— ( ~. (1-(- ац)а („„+ — а (1+ ац)х ц,(~ ) )) -)- +0(бт) =О, и+(г+ г ~1» —,(1+ ь)'(( ~+аИ, — а(' )0+0((Р)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
