Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Этгс связи обнэру;ниввются лжпь пв погледующих отвдиях исследования при описвнии процессов ряспрострэнения витиных усредненных величин, вгсоциировввных с возмущением. Лля сгзучения же вопроса в целом необходимо развить другую систему осповополвгвющих идей и другой мзтемвтическпй вппврвт. Не1вперболические волновые движении можно объсдиннть зо нгорой основной класс волн, которые зсы нззыввем диспсргпруюц7илсс Вообще говоря, определение волн этого класса не нвстолько точно, квк для гипербогпжеских волн, поскольну оно всноввно скорее нв виде репсония, чем вэ оямих урзвпениях. Но можно сначала ныделить некий класс зядзч, для которых точное определение нс зызывяет звтрудпений, в зетом делать естественныс обобщения или апирвтьсн ив аналогии. Следует добавить, что некоторыс уравнения специвльвого вида пронвляют квк гиперболическое, твя и диспергнрующес пове1гение, причем форма поведении эввнснт от той облвстн, где рвссмвтриввется решение. Однако это не правило, в исключение.
В первых двух главах дивной части рязвпвв1отся общие идеи для линейных систем. В главе 13 изучвются волны яв воде;мало того, что этв тема сама по себе ззхввтывяющв, ей обнзвпы своим происхождением многие идеи диспергврующих волн. В атой главе впервые речь идет о нелинейных диспергпрующих валнях в соответствующем конкретном плане; полученные здесь резульппы служат основой лля построения общей нелинейной теории з глввэх 15 и 15. Глзвв 16 посвящэется рээлкчпым приложенным зтай теории.
В глине 17 освещяются недавние работы по уединенным волпвм (солитоням) я урявнениям специэльного вида. 349 11.1. Лисперсианвые соотношения 11.1. Диснерсионные соотношения В линейных задачах двспергирующие волны обычно распознают по существованию элементарных регпений з виде сипусмипальпых волновых пакетов т(х, Г)- Аел" *-л ' (1 Н1) где х — волновой вектор, в — частота, а А — аыплитуда.
В алементарном решении (Н.1) величины х, <е п А являются настоянными. Поскольку уравнения линейны,мколлптель А сокращается и может быть выбран произвольно. На для того чтобы уравнения удовлетворялись, х и в дошкны быть связаны равенствам 6 (в, х) = О. блункллия С апределяетсн конкретнымп уравнениями задачи. Напрвмер, если л(представляет собой решонне уравнелпля колебалпй балки рп ~ уэ р„„„„ = О, то вл — улх' =.
О, Зависимость между в и х называется дисягрсиаииым соотношением, н, нак станет ачаелдяым нике, алая дисперсиопное соотнопление, можно аабыть а самом уравнении; в свою очередь, по диспорсионному соатношеншо можно восстановить походное уравнение. Будем считать, что днсперсианное соотношение имеет вещественные корня вида (11. 2) в = Ил (х).
В общелл случае будет несколько таких решений с рааличныыи функциями И'(х). Мы будем называть нх рааличнымп модами. Например, уравнение колебаний балки имеет две моды в ....'(х в = — ух. Вака мы будеы изучать одну моду; в линейных задачах нолное решение ыолкно получить гуперпозицией мод. Линейность позволяет нам таклке работать с вомплекснымн выражениями (11.1), имея в вшлу, что в случае необходимости следует взять вещественную часть.
Фактичесллае репление имеет внд Вев= )А )саз(хх — вс+т!), л!.=агдА. Величина О =. х.к — вг (11.3) называется фазой; она определяет положение ва цикле между гребнем волны, где Ке лр максимальна, и впадиной, где Ве лр мн- Гл. 11. Линейные дигпергирующне волны нимальна. Для этого решения вида плогкой волны поверхности постоянной фазы 0 .— гопзэ явлнются параллельныыи плоскостями. Пространственный градиент функции О равен волновоыу нектору х, направление которого нормально к плоскостям постоянной фазы, а величина х равна среднему числу гребней на 2п сднн<щ расстоания в атом направлении.
Аналогичным образом †-О< есть частота м, илн среднее число гребней нн 2я един<щ времени. (Нормировка на 2н единиц удобна при работе с триговолотрическими функция»п<.) Длина волны ь равна 2Ых, а период т составллет 2яГы. Волновой характер движения виден из формулы (11.3). 1!аждая конкретная поверхность постолнпой фазы доняютсн с нор»<альной скоростью <»)х з папранленпп вектора х.
Понтону мы вволнм збазозрю снерсслш (11.4) где х — едяшшный еентор а х-направлении. Длн любой конкретной моды <о И'(х) фаэоная скорость является фупкдией от х. Для воапово<о уравнения бн = с»Х)» 1 дпсперсионпое соотношение дает ы — ' с»х н с + с„; фааовая скорость совпадает с обычной гкоростью распространении ноэмущ<нин. В общем случае с зависит от х. Рааличпые волновые аекторы принеднт к раз<пшнь<м фазовь<м скоростяи. Ото я нырял,астся тер<пшом «дисперсия». В фурьаьпредставве<ши решонкй более общего вида ко»шопенгн с разлнчкымв волновыми аекторамн с течением времени расплываютгл.
(<тот принципиально важный прологе будет подробно обе!я даться в следующем параграфе. По со бран еппям нласш<фикапии мм довжьы шюш<чпть вз класса дисперю<руэкцвх ашп< глу*нш с сонэ!, поскольку н этом случае дисперсия отсутстнует. 51сно таня.е, что выра»пеппи (11.2) должны быть ншцественпыми. Например, уравнение теплопроводпостн <р< . 'р«<5 имеет решения вида (11.1) с ы = — <х», по етн решения нг описывают распространение волн.
5[ля того чтобы исключить эти пс»келатоаьныо зоаможнос'<п. прп предварительном рассмотрен<ш дкснергируа<щич гисгем ограпичимсн случаямн, для которых жп' функция И<(х) не<цгственна и определитель ~ „., ~ФО. (1!гб) дн< дх. Для одвочерньж задач второе условие попросту означаот, что В" (х) чв О. Это требование несколько сильнее, чем условие с' (х) чв О, поеколы<у исключает также случай Й --. ан ф Ь.
Причина такого ограничения будет объяснена ниже, во длн одномерного случая Игр Дисперсионные соотношения 351 можно заранее сказатгь что групповая скорость )У (к) важнее, чем скорость распространения, и условие И" (к) чн 0 исключает случаи, когда она постоянна. Непосредственно видно, что в случае И' = ав + Ь, исключенном немн из рассмотрении, дисперсия фактически отсутствует.
Элементарное решение при этолг равно с ю'ег"гэ- гй в прп помощи преобразования Фурье получаем общее рептенве е *"1(з — ат). Походный волновой профиль ( (г) при распространении иск»- ткается, но дисперсии нет. Легко показаттп что уравнение, опнсывавицее соответствщощий процесс, явлзстся гкпербаэнческпн. Опредолитель, входящий в условие (11.5), может обгращаться е нуль длз некоторых частныь значений волнового вектора и, например ирки 0 зли и со, н окрестности таких точек должны быть ггсслодонагнз отдельно пз-аа появление особеэнослей в общих формулах. Примерк Приведем аескольно жгпичныт примеров, которые будут игпользозатьсэ з качестве тщлюстрацеп построения общей тсорпв; пзУ „, агз Р, ~У' зкз ) ()з.
з„— азУзб -бзУзг)п, ю- -г с; (11.7) У' ~ ~б б,й '(и' рггу... й ю садк ' (11.8) ф: 1,8 Кэ„— б, „,, бк: (11.8) Норвое из этих уравнений гиперболическое, во том но менее вмоет диспоргирующие равенна, удовлетворяющие уоловян~ (11.5). Оно описывает ьозсбаннн с дополнительном возвращающей силой, пропорпиовюп пой перемещению й; это также ураввенпе Нлейна— Гордона ивантоной теории поля. Другие уразвгнвк негипербохическпе, что более типично дли диснергврующиь волн. Уразпег~ие (ГН7) встрсчаетсв в теории упругости при описании продольных волн в стержнях, в теории волн па воде в приближении Буссинеска длн длинных волн и прп опнсаним волн в плазме.
Уравнение (11.8) описывает поперечвыг колебания балин. Ураввение (11.9) также применяется з теории длинных волн на воде н представляет соГюй линеарваованную форму уравнении Кортевега — де Фриза. Прибвижения для волн на воде будут подробно исследованы ниже, остальные уравнения считаются в какой-то степени известными. Гл. 11. Линейные дислергиртющие волны Соыхвежахвие между уравнением и ди<жр<ионным еоо<нношениел< Ив приведенных примеров видна, что и в общем случае урав- нения с вещественными коаффициентами приведут к ве<цестзенным дисперсион<шм соотн<ппениям лишь тогда, когда они содержат лабо только <етные, либо только нечетные производные. Каждое дифференцирование вносит множитель /, так что у четных проиа- вадных появляются вещественные коэффициенты, а у нечетпых— 'шота мнимыа коэффициенты, и ави пе должны гмешиваться, если лп< хатим, чтобы окончательное выражение бь<ло веществен- ным. Уравнение Гйредннгера <Ь вЂ”.
= — - —. 2<« /, <л (11.10) в< 2 годержжцее четные и вечпгную произваднш, приводит к вощестэевному диспараиовному гопы<о<люппа < зхл дю == —, 2 ио включаег колшлексиый коэффициент. Соответствие между уравнением и дисперсионяыы саотноп<синен можно исследовать гораздо подробнее. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами можно зж<всать в виде где Р— некоторый многочлсн. )Рди подстановке в эта уравнение элементарного решении (11.1) каждое дифференцирование д/д< приведет к множителю — и <, а каи<дое дифференцирование д/дхе— к ыножителю <х<. Поэтому дисперспонноо соотношение имеет внд Р ( — <ы,!х„!х<,!хв) = О, Д1.11) к л<м находим прэл<ую связь между уравнением н днсперсловных сои<нов<вянем, производя заыеиу е з — — до, — <х,. е< зв< Г!о соотношению (11.11) можно восстановить вид уравнения.
Эп глужит основанием для сделанного выше замечания, что можно забыть об уравнении, если иввестно дисперсионное аоотиошение. Видно, однано, что урввневия такого типа могуч привести толы<о к полиномиальныы дисперсионным соотвоп<епиям. Вовникает естественный вопрос: операторы какого виде дают более общие дислерсионные <оотношения? Одна из воамо<кностей состои< в том, что асциллирующее волновое движение, опясываемое уравнением (11.1), происходит только по части пространственных координат, в та время как по остальным к<юрдинатам поведе- И.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
