Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 87
Текст из файла (страница 87)
16. В рассматриваемом более общем случае аакон сохранения энергии, соответствующий, в силу теоремы Нетер, инвариавтности лагранжнана в варнационном прияцвпе (И.69) относительно сдвигов по Т, имеет вид ( И +тхт Е)+ — ( — Еа,— 7Идг)=О. (14Х4) д а Заков сохранения импульса, соответствующий нннариантности относительно сдвигов по Хо ааписывается в виде аг (4 и" +баит)+ ах. ( йгИаг (), Та +Ебо) =-О. (14.75) д а Чтобы получить дальнейп|ие обобщения, ааметим, что если паря- метры среды не постоянны, а аависят от Х и Т, то Х и Т в явном виде войдут а лагравжиан и, следааатгчьно, в и.
Вариационные уравнения (14ЛО) — (14.73) при атом останутся бев наменения. Однако в правых частях ааконов сохранения (14.74) — (14.73) появятся члены — и и Ехг соответственно. (Это можно проверить веносредственно при помощи (14.70) — (14.73).) 14.8. Адиабатические инварианты Выше было укавано, что величины Хш Еаг аналогичны адюбатическим инварнантам классической механики. Теперь можно исследавать ато соответствие. Механическим аналогом служит теория медленных ьюдуляций в колебательяых системах.
Едивствеяной невависимой переменной является время, так что в этом случае модуляции можно проиаводнть только налагаемыми иване иаменениями какого-либо параметра Х (г). (В случае волн его соответствует вариации параметров среды.) Классическая теория обычно строится в гамвльтоиовом формалиеме, непосредственно к волнам неприменимом, но вместо атого мы можем вывести простейшие классические реаультаты раввитыми выше методами. Для осциллятора с одной степенью свободы д (г) и одним медленно меняющвы- 14.8. Аднабвтическне внварвввты гл параметром 1 (С) варнацконный принцип ввписыввется кек !а б~й(д, д, Д)бг=-О и вврввцковное урввненяе имеет вяд а Л. Е,=О, Этот случай охватывается методами $ 14.3 н 14.4 после отбрвсываввя вавнскмастя от х.
Но полевяо вяметять невввискмый вывод, нспольвуя обычные обоаначеввя механики. 2(ы будем следовать простому внтунтвввому подходу $ 14.3, который обосновывается в 4 14.4. Вычислим снячала усредненяый лвгрвнжиан для пернодвческого дввженвя врн фггкснроввнком аначеннк параметре Х. Геля период равен т = 2пйб то тя(~ ' е Длн периодического лвиягенвя (Х = сопвс) уравяенке (14.76) имеет ввтеграл анергни (14.77) (14.78) Раерешяв ото уравненяе,можно в принципе нвйтв д как функцкго от д, Е к Х, в ветен обобщенный вмпульс р = Ь.
также представкть в виде р=р(,, Е, 1). Если в выражение (14.77) подставить Е кв (14.78), то получим Х = — ( рд 31 — Е = т $ р (д, Е, Х) дд — Е, 2я ) 2я 'д (14. 79) (14.80) и где ~ р пд овначает интеграл по полному периоду осцклляцяк (вамкнутый контур в (р, д)-плоскости).
Допустюа теперь ыедленные ивмененвя параметра ). с соответствующими медленными нвмеяеняямн величин т н Е к испольеуем усредненный вариацнонный принцип Гл. 14. Нелинейная дисперсия решающий ~наг снова ваключается в определении т как проиаводиой 8 фаэы В (г), которая ва одну осцш~ляцию воврастает на постоянную нормированную величину.
Этот шаг, воэможио, выглядит менее естественным, чеы в случае волн,на становится ясным при испольвовании двух масштабов времени. Вариации выражения (14.80) по Е и 9 дают В= — О, — В,=О а ш (11.81) соответственно. Первое ив этих уравненгш соответствует диспсрсиоиному соотношениго (14.28), а второе — уравнению сохранения (14.29). В силу (14.79), имеем = в 'ура- сопчг (14.82) т.
е. в точности классический реэулыат об адиабатическом инвариагпе. Когда систома модулируетгя,переменные э и Е изменяются индивидуально, но так, что Х(т, Е)= — $ рг)д (14.83) остается постоянным. Согласно (14.79) и (14.81),период равен (14.84) что также является классическим реэулшатоы. (Превосходный обаор обычной теории можно найти в книге Ландау и Лифшица Н! стр. 193.) В двухмасштабной форме (14.59) величина П определяется как дб!дФе, тогда как обобщенный импульс р равен дА'д~ре Поскольку в пившем порядке ~р, = эФе, то П =. эр и выражения (14.59) и (14.79) согласуются.
Ив атого сравнения ясно, что в случае волн проивводяая Х„ родственна адиабвтическоыу внварианту и что проиаводяые Уа играют роль пространственных модуляций. Для вола нет иеобходиэюсти в утечке анергии, поскольну модуляции по времени могут компенсироваться пространственными модуляциями. Однако, еслисреда яеодяородна,имеетсядополиительный эффект эа счет параметров, аяалогичных а. Тем не менее уравнение д д —  — В .=-О и дат г все шце остается в силе.
Это уравнение иввестио под нааванием уравнения сохранения волнового действия. В частном случае волнового пакета, однородного в пространстве, но иаменяющегося аа счет ивменений параметров среды во време- 14.9. Ыногофиэовые волновые пакеты ин, имесы Еч = — сопзэ. Аналогичнывт образом для волнового пакета фикспрованнойчастоты, движущегося в среде, параметры которой зависят от однок пространственной переменной э, инеем Уз =- сонэ(.
Эти уравнения позволяют простым способом определять амплитуду. В общеы случае модуляции в простраястве и по времени компенсируются, согласие (14.85), н пронсходтм раслрастралсвпс ыодуляцкй. Величины Мт и Мэг э (14.71) подобны производным Е„и Узг Они появляютсн из-за наличия дополнительных зависимых переменных э точности так же. как для обычных двнамнческих систем (с одной неаависимой переменной — вреыенем) с числом степеней свободы большиы единицы могут иметь место даполнкгельные адиабатические инварианты. Рассматриваеыые вслноаыс систеыы имеют только одну существенную частоту и, таким образом, соответствуют выроткдеиным случаям равных частот в динамике. 14.9.
Многофаэоные нолноные пакеты Общий случай многопериодическгж двшкений в динамике отражается в волновой теории воляовыми пакетами с набором существенно раэличяых фазовых функций. Обобщить формализм нетрудно, но вопросы су|цествования нужда!ется в разъяснении. 11апример, для дзухфазовых волновых пакетов отправным пунктом будет кваэипериодическсе решение юр =. Ч' (ем О,), 6, =- йгх — м,г, 6, .--- Л,х — ы,г, (14.86) для которого функции Чг является 2п-периодической как по 6„ так и по 6,. Далее можно было бы строить теорию модуляций так же, как и выше. Однако даже в обычной динамике вопросы существованяя квашшергюдических решений в нелинейном случае связаны с хорошо известнммк трудностями (малые знаменатели). Если просто постулировать сущестнование решений (14.86) и близлел~ащих модулироааяных решений, то уравнения модуляций мокше вывести так же, как и выше.
Абловиц и Бенни (Абловиц и Бенни [1), Абловиц [1)) рассмотрели некоторые следствия. Делави [1) отметил, что вариационный формализм приводит к правильным уравнениям. Если модулированные волновые пакеты моя~ко. описать выражениями е = бт (0„0„Х, Т; е), 6, = е-г6, (Х, Р), 6, = а-т6, (Х, У), Тл. 14.
Нелвнейвая дисперсия то непосредственные вычисления показывают, что уравленне для Ф в двухмасштабной форме н дда условия перноднчлостн следувн на варлацнонного прннцлпа б ~ ~й ДХ Ау= б, Х= —,, ~ ~ Е(таФа~+таФеа+Мрт йгФе,+йаФм+еФх.Ф)беадба. а а Отсюда, кав и ранее, выводятся уравнения модучнцнй. 14.10.
Эффекты диссипации Еак л гамнльтонова дннамнка, варнацяоявый формелнвм естественным образом првменнм к нонсервзтнвным снстемам; днсснэ патнввые эффекты описываются несколько неудобным обрааом как ненулевые добавки к правым частям прешщущях уравнеялй. Одвако можно сохраннть разллчные нанонвческне формы н левые чэстн по-прежнему можно аапксывать через лагранжнан. Для того чтобы продемонстрнроаать ато, рассмотрям как частный пример уравнение Чы — т + 1' (и) =- — е)) (гр та)* где член еР (ар, ю,) опнсызает малые днсснпатввные аффекты Уравнеяне в двухмасштабной форме, соответствующее (14.42), имеет следующий ввд: — ) — (т' — йа) Фаз+ И (Ф) — — аьФтф- ~- — а'Фх ~ + да 12 2 2 +е дг (тФе+аФаФг) — а дх (йФа+аФаФх) = = — аФа()(Ф, тФа+аФг). В пвввюм порядке лмеем — (Ф вЂ” йа) Фаз+)'(Ф)=А(Х, Т), (14.87) а условие пернодвчностл дает ав ая а — ( тФеадй — — ( ЙФаабе= — ) Фа0(Ф* тФа)а(8 (14.88) дт д дл а а а Из уравненвя (14.87) можно найма пронзводную Фа как функцию атт Ф, т, йа А, л все ннтегралы в уравнеялн (14.88] можно аапнсааь 14.10.
Эффекты диссипации каи интегралы по аамккутому контуру. Имеем д д — М,+ — Иь= -У, ак " дх (14.89) тде, как и равее, Х (т, й, А) = — (2 (те — йа)) Ыа $ (А — У ((Р)) 'и АФ вЂ” А У(т, й, А)= — '$ЭОР,Ое)АО. К уравнению (14.89) добавляются уравнения да дт И =-О, — — — =О, ду дХ (14.90) и получается полкан система уравнений длн т, й, А. Уравневие (14.89) укваыаает на потерю волиовото действия еа счет диссипации. Здесь в уравнениях мы вернулись к методу двух врвыек, яо сохранили канонические формы авионов сохранения, следующие иа лаграняеева формаливма. Это, очевидно, менее щелательно,чем непссредственвоо применение данното метода к какому-либо расширенному вариационному принциву.
Недавно Хименес Н] достиг некоторою успехе в выводе ревультатов типе уравнения (14.89) в рамках подхода Пригожина кнеобратимым системам (Донвелли и лр. Н)). Глава 15 ГРУППОВЫЕ СКОРОСТИ, НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И УТОЧНЕНИЕ ЭФФЕКТОВ ДИСПЕРСИИ Большая часть предыдущей главы была восвящена выводу основных уравнений теории. Ивучиы теперь уравнения модуляций и их решения более подробно и подчеркнем существенное рааличие мшкду линейной и нелинейной теориями.
В отой главе л~ы рассмотрим асновнов случай одномерных волн в однородной среде и для простоты предположим, что псевдочастоты и псевдоволновые числа не воанивают. В качестве типичных примеров будем вдесь кспольаовать нелинейное уравнение Илейпа — Гордона и аадачи, приведенные в 4 14.1. Более специальные приложения и нелинейной оптике и волнам на воде составят содержание следующей' главы. Обобщения на болшеве число намерений, неоднородную среду и системы выспшх порядков будут кратка наложены в аиде дополнительных замечаний. 5|одулированные волновые пакеты во всех порядках приближения описывавпся вариационным принципом (14.44). В иизпем порядке првблия<еиия имееы (14.47) — (14.48) и при поьющи преобравования Гамильтона получаем усредненньш вариационный принцип 5 ~ ') л (ы, 4, Л) б(хба= О, где ы = — б, и 8„.== йь (Иы опускаем обоаначеиия, принятые в конце предьгдущей главы, и воавршцаемся и исходным, ав иск:почением случаев, когда точное упорядочение членов снова становится существепныьь) В атом пившем приблвжении вариационные уравнению длл А, ы и й имеют вид (15.1) д д —. — —.2ь =- О, дг да (15.2) (15.3) Иаучим сначала ати уравнения, а затем вернемся к вариацвониому принципу (14.44) для учета аффектов дисперсии в приблвжевиях более высокого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
