Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Так»»>>образом, уравнение (15.3)не описывает изменение состояния внутри осциллвру>ощего волнового пакета, как предполагаетсн адесь. По' оно указывает на существование однозначной фазовой функции, и это нвляется доводом в польау выбора уравнения (15.3) в качестве возможного условия на разрыве при учете дпсгпнаппи. Все это опять весьма умозрительно, и бессмысленно двигаться дальже в етом направлении, не имея бежее определенной информацив и результатов.
15.5. Дисперсионные эффекты в приближении более высокого порядка в ограничим аналиа почти линЕйпым случаем. Но результаты типичны для задачи в целом, и более содержательные физические нрил» жения будут уназаны при наложении нелинейной оптики в 4 16.4. Вариационный принцип для (15.30) включает ле>ранжиан з 3 »Р» 'Р Чэ о2>» 2 2 " 2 и точные уравнения модуляций находятсн из условия (15.32) зл з В== — ) (( — ( — »>»1>е+зФ>)з — — (йФ» фавх)»вЂ” 2,) 12 2 с »Рз»Р» ~ »)0 2 (15.33) как показано в (14.44).
(Мы возвращаеыся к обычной частоте ю = — т.) Для почти линейной теории можно использовать ряд Фурье Ф = а соз 0 + аэ соэ 30 + а» соз 50 + . Рассмотрим теперь уравнения модуляций в следующем после (15Л) — (15.3) порядке приблюкения. Для нростоты будем работать с примером 𻻠— »р„„+ >р + 4а»р' = 0 (15.30) Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии как и при выводе (14.52). Ио теперь мы сохрании также члены следующего порядка по е.
Коэффициенты а„пропорциональны а, и данный случай особенно прост, поскольку в нужном нам порядке приближения дает вклад только член а сов 3. Имеем Х = — (юз — йэ — 1) а' — — аль-1- — е'(аф — ах) +О (аэ, счдт). (15.34) 4 8 4 Это двоякое раэлокение, в котором предполагается, что е и а— величины ОдинакавОго порядна т). Линейный член равен '/» (ыз — йэ — 1) ат, первая нелинейпан поправка дает — э/,ась, и первая поправка зв счет дисперсии высшею порндка составляет т/4 ст(атт — ах). Вариационные уравнения записмзаются так: ба; (ыэ — йэ — 1) а в бааз — ез(а — ахь) = О, (15.35) дт (~ ) ( дх ( — О, (15.36) а условие соэместности — так„.
дд де — -(- — = О. дт дх (15.37) Следует отметить, что, в силу (15.35), 0 (Х, Т) теперь заэисит также и от е и что последовательное разделение в цепочку уравнений для различных порядкоз по сне было пронедено. Вариационный принцип ((б.32) явлиется точным„и ьп» вдето лишь применили сто к приблитненному лвтран>киану (15.34). В данноы конкретном случае уравнения модуляций нысшего порядка оказываются более сложными по форме, чем исходное урашдетше (15.30)1 Тем не менее по ним легче определить поведение модуляций, чем по исходноьту ураэнению. Кояечно, обычно при переходе к уравнениям модуляций доститаетси значительное упрощение, но как бы то ни было система (15.35) — (15.37) типична для общего случая.
Когда члены с е опущены, уравнения модуляций становятся гиперболическими при а ) О и влшштическими при о ( О. Эффекты дисперсии эышлето порядка вводят в уреввенля (15.35)— (15.37) третьи производные от а, и уравнении модуляций саин стеновятся диспертирующими. В случае а ) О они по структуре аналогичны уравнениям Буссинеска. Следует ожидать, что следствия для опрокидывания будут такими же, как было указано в 4 15.4.
Относительно существоаания периодических решений и уединенных воли ыы огреничиыся краткими замечаниями. Сначала, однако, посмотрим, какое т) дкэьавлеатанм образам можае исасжать а веэачансй аорада» О (1), принять е э» меру нелинейности и иссааьюзвть аэойное рвааожение по малым параметрам е а ед 15.5. !Гриблюкение более высокого норядка Г(араметр р определяет волповое число для модуляций. Для малых значений а'з' я е Если пренебречь членом с р, то зто будут простохарактсриствческие скорости, комплексные при и ( О.
Влияние дисперсии за счет поправки по р имы."г стабилизирующий характер,и неустойчивость теперь ограничена областью О ( е»р» ( О ) о ) ы'в»а'е» (15.40) изменения модуляционного воггг»оного числа ер. В обоих случаях и ) 0 н и ( 0 за»кно ааметвть, что система (15.35) — (15.37) имеет реп»ения в ввде стационарных профилей, распространяющихся беаизмеисния формы. Опи находится обыч- ным образом как реп»ения, у которых зсе величины язллютсл функ- циями от переменной Х вЂ” рТ. Имеем е» (1 — У») а" + (ы» — Р»» — 1) е — Зал» = — О, «Г' — й) е'=- Н, ы — уй=-я, (15.41) (15.42) (15.43) где Н и Б — постоянные интегрирования. Последние дза уравнения можно испольэовать для исключения из первого уравнения переменных ы и й, что даст з»(1 — Гг»)»а".= +( )( + сз) (15.44) д» В общем случае ато уравнение имеет периодические решения (нолновые пакеты, образованные огибающей исходного модулированного волнового пакета!), в которых а осцизлирует между двумя простыми вуллми числителя правой части.
Уединенные волны соответствуют предельным случаям. влияние оказывают дополпительные члены на неустойчивость, обнаруженную в эллиптическом случае и (О. Однородный золноной пакет является решеии»ш с постоянными величинами ы<ч, Й'з', а'з', удовлетворяющими юнкер»ионному соотношению (15,35), для малых возмущений ыпц В»» оо» эта» значений лкнеариэованные уравнения (15.35) — (15.37) являются однородными и имеют постоянные коаффициенты, зависящие от ы'е', Г»'»', а~»8 Для возмущений ге<»5 А'»', а'о имеются элементарные ревгения, пропордиовальные е'мх-сы, где С удовлепюряет соотногпению (ы'»'С вЂ” Ы»»)» — (1 — С)» ( + з " (1 — С») ) = О.
(15.38) Гл. 15. Уточяение аффектов дисперсии Уедилепвав волпа с а О при Х ~ог представляет особый интерес; оиа описывает волновой пакет, иеображенвый на рис. 15.2. Рае. 15.Х ьшдулацня тела уедавевиеа волли. В атом случае в равепстве (15.42) Н == О, поскольку а — г- О на со. Отсюда У= —; (15.45) далее, в свою очередь, в силу соотношения (15.43), величины га и й ивллготся постолвкыми. Длл етого примера липейпое диспорсионное соотношение выест вид геа — — (йг + 1) (» и линейная групповая скорость выражаетсл формулой 5 Са —,, =- — <1.
(аг Огм ег Ыы видим, что скорость р является ветвпейкым акалогоы скорости Сб для малых амплитуд Р и Се будут блиаки. Поскольку Се < 1, ыожио считать, что У< 1. Так вак и и й постовппы, уравиевве (15.41) для а интегрируется и дает е (1 — Уг) и'г =. — па — (мг — /гг — 1) аг. (15.46) Чтобы е — а О ка со, должно выполняться неравенство ыг — йг — 1 < О. Для иаксиыалького евачелия п имеем аг — )гг — 1 — — — ~~, (15.47) так что уединенные валлы данною тапа существуют только в еллиптичесиом случае а < О. Скорость (15.45) длл такого волнового пакета рвала Ь 3 (а(ам (ьгф1)г(г 4 ((гг ( 1)г72 он движегсл несколько медленнее, чем воамущевия с линейной грушювой скоростью.
Для аналогичной аадачи нелинейной оптики Островский (1) предположвл, что раультатом неустойчивости может быть периодическое решевие, по сущесгву являющееся последовательностью таких волиовых пакетов. 15.6. Анализ Фурье и нелинейные взаимодействия 507 В гиперболичесном случае а ) 0 такие предельные уедннепные волны отсутствуют, но можно найти нериоднчесние волновые пакеты и уединенные волны с амплитудой а, отделенной от нулин Это похоже па истину, поскольку при а ) 0 модуляции в гиперболической теории (з — 0) приводят н искажениям, но не нарастают.
Дисперсия может противодействовать стим исважешшм н привести к стационарным профилям, и нет причины для возрастания, ведущего к предельпому случаю с а .— О. Наличие таких профилей подтверждает существующее мнелие, что в некоторых слгчаях не происходит опрокидывания, и з области опрокидьпмнвя волновой пакет стремится к стационаряому осциллирующему профилю.
В почти линейной теория дисперсионлые члены высокого порядка возникают за счет квадратичной части лагранжвапа и легко показать, что общее выражение, отвечающее лагранжлапу (15.34), имеет вид й =-С(ю, й) аз+С, (ы, й) а~+ — ез(С „ать-Р2Гиьатах+ Сагах). Вариационные уравнения аналогичны уравнениям (15.35) — (15.37). 15.6. Анелссе Фурье и нелинейные взаимодействия Есди амплитуды малы и испольауютсл лишь песнолько фурьжномпонопт, то нелинейные вааимодействия между коыпонептами можно изучать лепосредствеппо. Это дает возмоясность иного подхода в неноторым из предыдущих результатов. Именно таким подходом Бенджамен (1] обнаружил неустойчивость тяпа (15.40) для волн Стокса на глубокой воде.
Подробное исследование шой неустойчивости, основанное вак иа модуляциях, так и па взаимодействилх, будет проведено з 1 16.11. Здесь для демонстрации самого метода мы применим рассужлепия Бепджамепа к уравнению Клейна— Гордона, где выкладни проще. Для конечного числа фурье-ноьшояевт функнию ф мо~кно представить в виде ф = с)з 2,' ф„ (С) е'".", (15.48) где ч пробегает злачения ~1, А-2,..., ~Л' и мы полагаем к „= = — я„, ф „(С) =- ф" (С), в = 1,, Л, чтобы обеспечить вещественность ф.
Для уравпении фы и + 'Р = 4а'Р (15.49) линейное решение (без учета правой части) имеет ввд <р„(С)=А,я ~"т~, (15.50) где (15.51) (~ф + 1)~С~, „=- — <е„А =- А„ Гл. 15. Уточнение эффектов дисперсии и А, — постоянные. Можно раавнть почти линейяую теорию, считая параметр и малым. Формально равложвв ю в степенной ряд теории возмущений ф = йте'+ шр" > + пцр"'+..., получим цепочву уравнений (15.52) ~ро! Тгп ( гр~гг = 43тан (15.53) и т. д. Запишем рептение лилейного уравнения (15.52) в виде гч а лз в подставим его в правую часть уравнении для й'»ц Однако резонанс приводит к вековым членам у 4гп, и разложение имеет неравномерный хараитер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
