Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Глава 17 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИИ; ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ 17.1. Канонические уранноггни Одним нв наиболее вамечательных досткгкений в недавних послы дованиях по нелинейным днспергирующвм волнам является открытие многгж точных ревтений для яекоторых простых канонических уравненмй теории.
Эта наовегся в основгюл~ следующих уравнений. 1. Уравнение Кортевега — де Фрнва, яормированное теперь к виду (17.1) ц~+оцц,+ц„=:О, где о — яокоторая постоянная. 2, Кубическое уравнение В!редингера ги~ + к„т + т)и)ти = О. (17. 2) 3. Уравнение 511г-Гордона йм — й.т -Р е)о Р = О.
(17. 3) 51ожно построить явные решения, описывающие вваимодействие лроиввольнога числа уединенных волн, и предокавать точное количество уедняеяных волн, которые в конце концов обравуются яв любого фшпыного начального вовмущення. Этн уравнения являются каноническиьш для рассматриваемой теории в том смысле, что онн объединяют некоторые простейпие типы дисперсии с простейшими типамн нелинейности. Уравнение Кортевега — де бернал объединяет линейную дисперсию ы = — к' (17.4) с тшгячным келннейным оператором переноса. Уравнение (17.2) обьедияяет дисперсию о1 = к (17.5) с простй кубичесной нелинейнастью. В обоих случаях дисперсионное соотношение можно рассматривать как начала равлажения в ряд Тейлора болев обгцего дислерсиояш>го соотногяения, причем (17 4) относятсн к нечетному по к случаю а (17 5) — к четному.
(Вснп в (17.4) или в (17.5) добавлен член, пропорциональный к, 1?.1. Канонические уравнения то его можно исключить переходом к движущейся системе отсчета.) Па втой причине зто не проото модельные уравнения, а уравнения, которые часто можно рассматривать как длинноволновые приближения. Линейное дисперсионвое соотношение <ез:" яэ + 1 в (17.3) также имеет довольно общий яид, не считая даже его первоначальной связи с релятивистскими частицамв через уравяение Клейна— Гордона.
Ряд задач, в которых соответствующий нелинейный член равен е!и й, был уяаван в 1 14.1. Сразу же после решения Коулом и Холфом уравнения Бюргерса начались бесчисленные попытки применить аналогичные приемы к уравнетппо (17.1), но окончательньгй л~етод решения потребовал большего, нежели простой замены. Гарднер, Грин, Крускал и Миура (1! разработали остроумный способ, связывающий это уравнение с обратной задачей рассеяния. Конечный резулшат состоит в сведенни уравнения (17.1) к линейному интегральному уравнению, но кажетсн невероятным, чтобы кто-яибудь смог обнаружить это бев промеж)точных шагов.
Зная ответ, можно увидеть, что подстановка (17.6) оч) =- 12 (!и )г) „, являющаяся раауыным обобщением подстановки с =- — 2ч (!и й)„ для уравнения Бюрггрса, дает легкий способ получении частных решений, описываквцвх взаимодействие уединенных волн. Уравнение для Р ясливсйзе, но имеет специальную структуру, и решении в виде ряда по экспонентам приводят в уедннеяным волнам. Однако не ясно, как из втого уравнения лля Р навлечь более общую информацию. Уравленне (17.2) было решетю Захаровым н Шабатои Н! при помощи аналогичной техника обратной вадачи рассенния, свнаанной до некоторой степени с общими идеями Лаков (1!. Явное решение уравнения (17.3) для двух вааимодействующнх уединенных волн впервые было получено Перрингом вСкирмом (1), видимо, на основе численного анализа.
Дж. Лэыб И. 2! аатем жалел,как,паследовательноиспольвув преобразование Беклунда, мшкво получить дальнейшие решения. Недавно Дж. Лэмб (3), а также Абловиги Каун, Ньюэлл и Сегюр (1! покавали, как можно испольвовать обратную задачу рассеяния. Удивительный общий результат состоит в том, что если уединенные волны, первоначально равделеиные в пространстве, вступают во вванмодействне, то со временем они выходят из области взаимодействия и восстанавливают свои исходные формы и скороств. Единственным напоминанием о ввавмодейтвии являются постоянные смещения от гюлажений, которые они ванимали бы 554 Гл. 17.
Точные решения в противном случае. Интересна аналогия со столнновением частиц. Основные решения и методы их получвния будут описаны нике. Мы добавим два связанных с этини идеями примера. Тода И, 2) рассматривает цепочку из соединенных пружинами точечных масс, являющуюся дискретным аналогом некоторых иэ наших задач. Колк растяжение п-й Пружины относительно ее равновесной длины равно г„(Г), то уравнения можно записать в виде тг„= 2) (г„) — ( (г„ьг) — / (г» -«) (17.7) где 7'(г,) — сила натшкевия г-и пружтшы. Непрерывньвк пределом этого разностяога уравнения будет волновое уравнение, причем нелинейное, осли 7'(г) нелинейная фуннция от г.
В нелинейном случае с)чцэствование решений уравнений (17.7) в виде опноропкых волновых пакетов можно докаватгэ основываясь на разложениях тяпа Бтокса по степеням амплитуды. Но Тода обяаруткил хитроумные точные вырви<ения в эллиптических функциях для случая (17,8) )(г) = — а(1 — сэ). Более того, эти решения содержат уединенные полны как предельные случаи, н Тода смог найти решения, описывающие взаимодействия п подобные соответствующим решениям уравнений с частными производными. Наконец, уравнение (1 — 45)й,„ + 2й„блйы — (1 + 7')йд = О (17.9) было предложено Борном и Инфельдол~ (Ц в виде вариациояного принципа 6 ~ ) (1 — г)) +гр*)'Г~бхбс О. (17ЛО) Идея состояла в обобщении обычного волнового уравнения (с лагРанжианом Чз гР,' — Ч, 7'„) и во введении нелинейных эффектов с сохранением свойств лоренцеэой пнвариаыгности.
Это уравнение допускает воляы произвольной формы, движущиеся со скоро. стями +1 или — 1. Их ыон<но было бы рагсматривать как уеднненяые волны, если бы ие отсутствие у яих специфической внутренней структуры, характерной для предыдущих случаев. Однако Барбашов и Иернияок И) покавали, что можно найти явяые регпения, описывающие вааимодействия, опять со свойствами сохранеиня формы и со сммцением положеяня вследствие вааимодействня.
Мы пронодим краткое описание этих решений, хотя, вовможно, у:них к нет глубокой связи с остальными уравнениями. 17.2. Вааимодействующне уединенные волны Уравнение Картевега — де Фриза 17.2. юааимодействуюв(ие уединенные волны Приведем сначала реюення, которые можно получить при помощи преобразования (17.6).
Параыетр а можно, конечно, исключать нормировкой как из (17 1), так и ив (17 6), но в литературе использовались различные нормировки (отвечающие о = 1, о —. 6, о =- = — — 6), и имеет смысл оставить зтот параметр свободным для удобства сопоставления результатов. Вывод уравнения (17.1) для волн на воде и его более общее значение ьак длиююволнового приближения в других контекстах (см. соотноюение (17.4)) были обънснены в $ 16.11. Переход от ц к Р прощо всего совервгить в два агапа. Сначала положим и =- р„и, проинтегрировав, получим уравнегпге и р,-! —,ор +р„.=о.
2 После нелинейной замены ор = 12 (!и Р)„ получаются члены до четвертой ~телеки функции Р и ее производных включительно, но специфическая черта данного преобразования состоит в том, что в окончательном выражении члены третьей и четвертой степеней выпадают. В реаультате получаем квадратичное уравнение Р (Ра + Г„„,)„— Р . (Рю + Р„„„) + 3 (Рз. — ЄЄ„„) = О. (17Л1) Отметим появление характерного оператора д дг — +— дт де и некоторую симметричность уравнения.
Возможвая (но довольно натянутая) мотивировка введенного преобразования связана с решением, которое описывает уединенную волну и мояют быть представлено в виде ад = Заз жсйз —, 0.= ал — азд, (8 — зе 2 (17.12) где и и Ое — параметры. Это производная по я от выражения ба(1Ь ( — ез) — 1), Гл. 17. Точные решения которое в свою очередь является проивводной по л от 12 1п г, где Р=. 1+ехр( — (Π— Ое))= =1+ехр( — а(л — е)+агт), в.= —. (1733) а ' Этот «вывода нацеливает на общее рабочее правило поиска точюах решений в втой области: рассматривать преобразования, которые переводят репвшия типа уединенной волны в простые акспонеиты.
Для сравнения можно отметить, что преобравование с = = — 2т ((п й)„для уравнения Бюргерса переводит решение (4.23), описывающее стационарную ударную волну, в й = ехр ( — ах -(- тп) Г) -(- ехр ( — игл+ та г), а~ = — г . (1 7 Л4) «(ем бы мы ни руководствовались, ораву видно, что выражение (17.13) является решением уравнения (17Л1) при любых а и а. Это решение соответствует оператору д дг — + —, И два ' оно удовлетворяет уравненшо Р~ + Г„„„ =- О, а третий член в (17.11) обращается в нуль вследствие однородности по проивводным. Если бы уравнение (17.11) было линейным, то мы могли бы строить линейные комбинации таких решений с рааличными а и а, но, в силу нелинейности, воанккнут взаимодействующие члены.
В обычном подходе теории вваимодействнй следовало бы положить Г=1+Ро+Раб ..., где Рч находится иа цепочки уравнений (РР+Р' )„= — 3(Рни — Уг„"И",'„'„) а т. д. Вовьмем в качестве Ро два члена подобных (17.13): Рв.=ге+та, )г=-ехр( — аг(т — аг)-)-а)Г), )=1,2. (17Л5) Цля Ри получаем уравнение (17.16) (РР+Рж'в) =-~ '( — )'Ит, гетеров имеет ранение Рв (оа — ойт г )т (А. (17Л7) 17.2.
Вваимодействующие уединенные волны Удивительно, что тогда во всех остальных уравнениях цепочки правые части обращаютсн в нуль, и повтому у=1+7,+(,+', + Р(,(. (17 Л8) нвляется точным ралеяпел уравнения (17.11]. Отличительная черта атого решения состоит в тоы, что взаимодействующие члены приводят в правой части уравнения (17.18) только к произведенвю (ь(„а члены 7", и (ю которых также мшк»го было ожидать, отсутствуют. Этот результат обобщаижя на выси»ив порядки, так что нелинейные члены в уравнении никогда не приводят к цроизведениям функций 7 с повторяющимися индексами. Тан, при двух исходных членах, как в (17.15), необходимы лишь коь»бинацки 7'„7», 7»7» и мы имеем точное решение. Если начать с к р»и , ~' ( г=! то ул»' содержат все члены 7»7» с 7 чь/с, но ле содержит )Э г»»' содержит всее члены)»7»|, с) чь А хе 1, но яе содержит)» или)»»7» и т. д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
