Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Рассмотрим теперь юлее общие решения. В частности, поскольку р — угловая теременная, решения, в которых р возрастает аа каждый цинл на ?я, явлнются физически прнемлемьизи. Тан, спиральные волны, 17ЛО. Периодические волновые пакеты для которых»а непрерывно возрастает, рассыатриваются ьак периодические волновые пакеты. Предельный случай, т. е. одиночная петли с»р, иаменнющв»»ся ва 2я прн изменении в от — о до со, является уедивенной волной.
Решения. описывающиевзаимодействующие уединенные волны, обладают теми же са»п,ми свойствамя сохранения, что и в предыдущих случаях, и топологическая интерпретации сохранения петель особенно привлекательна. 17.10. Периодичесгсие волновые пакеты и уедвнеииые волны Уравнение берется е нормированнои ниде оп — и„„ -~- а»игр =- О, и для решений со стационарным профилем и .=-Ф )Х), Х вЂ” т— — Сте получаем, что — (б»» — 1) Фх -)- 2 жп' — Ф: . А, где А — постояннав интогрнрования, свяааннав с амплвтудой. Можно выделить следующие случаи. Х О < А ( 2.
П» — 1 ) О. Зто периодические реп»снпа, в которых Ф осцвллирует около Ф =. О в интервале — Ф„< Ф < < Фе, где Фр = 2 агс юп ( л ) л»ы 2. О .< А < 2. бт» — 1 < О. Зто периодические решеншч в которых Ф ооциллирует около Ф =- я а интервале »» — Ф» ( б» .< и + Ф». Л. А < О, П» — 1(О.
Зто спиральные волны с Фх =. ~ ( —, ()А)+ 2 аж» вЂ”,Ф) ~ Ф монотонно возрастает или убывает. Ф А ) 2, ст» — 1 ) О. Зто также спиральные волны с Фх= — чс ( ч — (А — 2а)о' —,Ф) ) б. Предельный случай А = О, Г» — 1 О. Решенвя имеют вид 12 (4 ) =ю*ехр1:н)1 — п)жп)Х вЂ” Х.)). Гл. 17. Точные решения Онн описывают одиночные петли величиной в 2л.
Когда в обоих случаях взят знак плюс, получается положительная петля с Ф = = О прн х =- — со в Ф вЂ” 2л приз = ф со; ко>на а обоих случаях. взят злак ш>нус, ло-лрев>нему получается поло>нительная петля, но с Ф =- — 2л при з =. — о» я Ф вЂ” О при х -- Ф со. Противоположные знаки да>от отрнпательные петли. 6. Прс>тельный случай А =.
2, Ут — 1 ) О. Решение имеет звд тд ( — ') —. ехр (зх ((>» — 1) -Ез (Л вЂ” Хз)) и описывает петлю, заключенную мек>ду Ф =- — л и Ф =- л. Сообра>пения устойчивости иа з 14.2 и 15.3 покааывают, что периодическио вовки, описанные выл>е з случае 1, неустойчивы по отноп>енюо к модуляпилм.
Эти сообран>ения можно обобщить на другие типы рошенвй и покааат>ч что случаи 1 в 2 неустойчивы, тогда как спиральные волны 2 и 4 устойчивы. Следует помпиттч что агн сообрааюнил устойчивости применимы только к относительно длительным модулядням. Они не позволяют полностью судн>ь об устойч>мости, а таки>е пс применимы к предельныч случанм б и б, Следует ожнлать, что случай б неустойчив, поскольку Ф ->- л яа бесконечности. Нанример, в маятвикоаой модели Скотта зто соответствует чантвику в верхнем вертикальном положении.
Обратимся теперь к уединенным волнам (случай б). 17.И. Взаимодействие уединенных воли Перрнвг в Снирм (11, по-влдиыому, догадались, что нх численное решение >Ьзя двух нзаимодействующих уединенных волн может быть представлено «ирак>вянем т >=ч — = х>З> ыч (17.71] а аатеч установила, что это точное рел>ение( Для тото чтобы убедиться в том, что формула (17.71) описывает ваанмодействне двут уедине>п>ых волн, ааметнм, что при 5->- ~ оо онз дает следуюп>ую асимптотику> ф — — (>схр ( — = — ) +Е(ехр ( ) .
)5'т 5>г 17.И. Вааимодейстаие уединенных волн Каждое иэ атих «ыражений ошюывает уединенные волны, двшкущиеся з противоположных направлениях. Положительная пегая движетсн со скоростью П, приходит иа х — со и остается положительной после взаимодействии. Множитель П перед экспонентами можно включить в экспоненты как сдвиги по л. Положительная петля, притодвщая яа — со, з реаультате вааимодействпя сдвигается на 2)/1 — 0>)п(1(0). Выражение, содержащее >)> = >д (>)М>), наводит на ыьюл>ь что преобразование исходного уравнения в уравнение для ф моя>ет ояазатьсн полезным в общем свучае.
Уравнение, которому удовлетворяет >р, а именно (1 + д)(ум — ф.„ + 1» — йф (ф) ф„ + ф ) — О, (17.72) обладает более симметричной структурой и вводит наиболее остественный для данное задачи линейный оператор Ю д> (17.73) Это в некоторой отепони напоминает роль, которую играет урзвпение (17.11) для функции Г а обсуждении уравнения Пор>светав де Фриза. Решения уравнения (17.72), соответствуюп>ве уединенным нолнам, иыеют вид ф=--~-ехр(ш ), тан что да>п>ое преобрааовапио сиона согласуется с грубым рабочим правилом>надо найти замену перемепиых,яоторея переводит уединенные волны а экгпоне>пы, удовлетворнющие уравнению с линейным оператором (17.73).
Решения Перринга — Сяирма можно найти с помоп[ью разделения переменных, т. е. а виде ф — — /(г) б П). хотя уравнение для ф и нелинейно. Уравнение удовлетаоряетсн при условии, что ( =р) +(1+Л)Р—, а =ту +Ха где а, р и т — постоянные. Эти уравнения имеют реп>ения а эллиптических функциях, длл которых решение Перрипга — Скирма яввяются частнь>ми случаями.
Однако более содеря>ателен подход н взаимодействию уединенных волн, раавитый Д>к. Лзмбом И, 2) и использующий пргобразоваяин Беклунда. Этох подход пе связан с уравнением (17.72). Гл. ББ Точыые решения 17Л2. Преобразовании )зеклунда Лреобравования Беклунда первоначально были введены как обобщение контактных преобразование и овнэаны, в частности, с научением геометрии поверхностей. Вак было указано выше 8 1ть1), уравнение Яп-Гордона получается лри опвсании поверхностей с гауссовой кривизной, равной — 1. Преобразования Беклунда и их применения описаны в книто Форсайта (1, т. Ч1, гл. 2Н.
При прнложении этих преобразований к уравнению Яп-Гордона последнее удобно аалисать в канонической форме дар — =а!и и; д)дч= ' 3 (17.75) В общом случае прообравозание Беклукда для уравнения второго порядка Ллн тд(э, Н) вмеет вид ж'=Р(Е',ф фе То*2*а). е;=-0(р', р, ерфч, $, а). Условие совместности этих двух выражений приноднт к новому дифференпиальному уравнению для р' (5, а). Идея, ло-видимому, состоит в описании класса зкнивалентных уравнений.
Например, сведение уравнения Бюргерса пч -',- феде — тедн =. О к уравнению теплопроводности трч — тес! =О можно записать как преобраэояапио Беклунда и' =- — (2тфа — зз) н . ч дт ' — = — +2ьыл— дз' де,. Н Л. З д! д! 2 мд др з . чт — з — = — — + — зш дл дЧ (17.76) Однако в общем случае надежда снести исходное уравнение к лине!люку, по-лидиному, не оправдываетсн.
Но другой путь— нанти уравнения, которые можно отобраанть в себн, так что любое иавестяое решепке пля з (даже трлвиальное) дает новое ретзевие йд Задача определения преобразонаний, переводшцнх уравнение (17.75) в себн, ставится Ферсайтом со ссылкой на Вианки и Дарбу, 7!егко показать, что соответствующее преобрааовзвие Бевлувда имеет вид 17.12. Преобраэования Беклунда где Х вЂ” произвольный параметр. Заметим, что онн соответственно дают — ю( = пгэ -)- Х (к„+ Рач) сов —, а %'.НР 2 =РРГч+2яп 2 соэ 'Р— 'Р т +'Р а 'Р— т щ Рч=--йя+ Р,(Рà — РГ)гоэ т -)'Р 'Р— 'Р =- — РРчэ+ 2 яп —, соа —, 2 Эти два выражения для РР(ч должны быть равны, и, следовательно, условием совместности является равенство кгч = аш РР.
Складывая этн вь1ражевия, находим, что Ргч =.— э!в 7'. Метод Д;к. Лэмба состоит в последовательном гонэрированни новых решений при позюши соотношений (17.76). Преп:де всего, поснольку трэ = 0 является репРением, другое решение сц можно найти иэ соотношений ш РР, 2. Р, — =. 26 яа —,, — =-.-яп —, 2'а42 2' Легко проверитгч что ато соответствует уедннепной волне 16 — 2 — Селр (Хт)+ — „') =-Секр ( ), 1= У",=„,'..
Далее, если в (17.76) функцхпо РР положить равной тат, то ока- жется, что решение р' = РР совпадает с реэультатом Перринга— Скирма для двух взаимодействующих уединенных волн. В общем случае решение р„т для л — 1 уединенных волн генерирует решение р„для л уединенных волн. В термгшах6 =- 16 (р!4), та = 16 (р'/4) преобраэование (17.76) эаписывается такР Фг=(1+йд) '((1+1')%2+1(1 — вр'+И(1 — йы)), 6(,=(1-Рба)-г( — (1+4Р*) 6,+ —.' (1 — ба) 1' — — „' Р(1 — йаэ)) . Каждое иэ этих ураннекий дает уравнение Рнвкати для 1р', кроме того, тр'э люжно исключить и получить для р' линейное урав- нение в частных проиаводных первого порндка.
Решение послед- него удавления в принципе можно найти всегда, но выражения для ср„становятся все более и более сложными. Гл. 17. Точные решения 17.13. Обратная задача рассеяния длн уравнення 'ч(п-Гордона Недавно Дяо Лалгб (3), а также Абловиц, Каул, Ньюалл и Сегюр И) ') показали, кзк ыожно испозгповать обратную задачу рассеяния. Ключевой шаг состоит з разбиеаии эалачн на уравнепне рассеяния, содержащее искомое решение гд в качестзе коэффициентов, и эволюционное уравнение для собственных функций. !'!ри записи уравнения Снл-Гордона в канонической форме юм=згл г) (мы вернулись к х и 1, чтобы подчеркнуть аналошгю с лредыдучцими случаями) соответствующие уравнения рассенпин имеют зпд д +аог= з йк(л поз дгг .
1 дз — — !ьот =- —, ю, (х, 1) ог, д з . т дз т 2 а аволюцпотпгые уравнении длн векторной собственной функции (ог, о ) — знд дгг д — — — (огсозгд-( о жлгд), дг 42 — = — (ог зш гд — о соз гд). а, ж 42 Результаты Захарова п 1Пабата позволяют теперь восстановить гд(х, 1). Здесь также окааывагтоя полезной альтерпзтивкав зерсия, сзяавннан с урапненияъгн (17.38) — (17.39). Цепочка Тоды Системы точечных масс с нелиггейньвш вааимодгйствнлии между соссдниыи точками можно рассматризать как модели колебаний решеток в кристаллах, причем физический интерес представляют золросы распределении энергии между рааличшзми модами колебаний, тепловое расширение лри возбуждении и т. и.
Такие системы можно рассматривать как пространственно дискретные аналоги непрерывных систем, изучаемых в этой книге. одномерная цепочка, описываемая уравнением (17.7), приводит к лрсстейшей модели распространении волн. Укааанное урваненне ааписано применительно к массам и пружинам, но допу- т) См. также Захаров В. Д., Тзхтздмзя Л. Л., Фадасев Л. Д., Незное жксааае реа~енпй «мо-Оогдсо» урвзамша, ДА!Д 219 (1974), зые. с.— ориа. р д. 585 17.14.
Решение Тоды спася и другис интерпретации; можно считать, например, что оно описыяает распространение волн в линии передачи с отзодючи, исследованное Хиротой и Судзуки И, 2]. Эти ангары провели также эксперименты, подтверждающие предсказания теории о наличии уединенных волн и их взаимодействиях. В линеариаоваином пределе 7 (г) = — уг (17.7) в«ест вид тг„= у (г„.»2 + г„» — 2г„). Общеизвестно решение, онпсыяающее бегущую волну: г =- а соя 6, 6 .=.
юс — рп. Эта фуикцил является рел2ением, так как подстаяоэка дает ои — соэ О = соэ (Π— р) -]- соэ (О -ь р) — 2 со э 6 у и правая часть окаэыаается пропорциональной соэ О, в силу формул для суммы и рааности тригонометрических функций. Инеем «дисперсионное соотношение» м2 2 Р— = 2 (1 — соэ р) =-4 э!э —,. х э' Параметр р аналогичен волноеому числу в непрерывных задачал. Для малых амплитуд а можно рассматривать раэложе»п»я тика Стокса (17.77) (17.78) (17.79) ] (г] = — а (1 — с г ). 17.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
