Дж. Уизем - Линейные и нелинейные волны (1123859), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Решение »оды длн аксионенциальной цепочки Рааностное уравнение (17.7) удобнее переписать я эквивалентной форме, введя з„= ) (г„). Вначале мы имеем систему з =7(г ), (17.80) г„ = а созе + о, соэ 26 + .. д оии дают нелинейные поправки к (17.78), и тах »не, как я непрерылном случае, можно построить теорию модуляций (Лоуэлл И]). Однако получение суцествснно нелинейных решений, и в частности уединенных волю, яэчяется гораздо более труднои аадачей, чем э непрерывном случае. Мон»но ожидать, что они существуют, но были бы желательны конкретные примеры. Трудность состоит в том, что требутотся функции специального вида и формулы суммирования для них, которые позволили бы обращаться с правой частью так жс, как и в уравнении (17.77).
Тода И, 2] нашел такие решения для Гл. 17. Точные решения В рассматриваемом случае, в силу (17.70), э„=у(г„)г„= — п()е-е" г„= — ()(и+э„) г„. Следовательно, уравнения (17.80) можно объединить в одно урав- нение: (17.81) — — =э м+э.ч а-~-т„ Для стационарвои бегущей волпы э - — Е(0), 0=-мэ — ря, функция Е (О) должна удовлетворять обывиовенкому дифферепцвальиому ураввевию с раэвостиым оператором — —, =.
Е (О+ р)+ 8 (Π— р) — 25 (О). (17.82) Следуя Тоде, отметим тепеРь, что где эп, сп, бл — эллиптические фувьции Якоби, а й — модуль атил фувьций. Полонив Е(й) =- ~ йпээ,(, э после интегрирования по р получим Е (0)=-бэ 0=1 — й О, Е" (О) .= — 2йээпйсв06пО. Следовательно, правуто часть рааеэства (17.83) могкпо ааписать ьак Б" (э) т 1 р=еоэр — . Ввдям, что уравиепие для Е (О) по существу совпадает с (17.82). йтуткция Е (О) непериодическая по О, ко свяэаииая с ией дэетафуикция Якоби 2(0) =Е(0) — Од(д) (17.84) 17А4. Решение Роды имеет период 2К, а переход от К (О) и Я (О) изменлет уравнение тривиальным обрааом. Решение для з„можно ваписать в вщ1е зь = Я (О) =- ЬЯ (2КО), О =- юг — рл, (17.85) 2дс (17.86) (17.87) Выражение длл г„наховитсл иа равенства — п(1 — е-Я" ) ==з„=-2КаЬ (дп22КΠ— —,).
(17.88) Функции Я (4) и длз Ь" имеют период 2К; здесь фаза была нормирована таким образом, что один период соответствует возрастанию О на единицу. а не на 2л, как в линейаой ~сории. Амплитуиа Х (4) лвлветсл функцией от й, так что амплитуда з, есть функции А (й, р). Учитывал также равенство (17.87), получаем дисперсионное соотношение между о1, р, А, записанное в параметрической форме А =- А(й,р), ю = ю(й,р). В линейном пределе й -г О ииеше 24 — яй 2(, К,К вЂ” — '",, 2 бп 4 — 1 — Ьзя(л 4, —: — 1 — —, 2 Е 22 д 2 ' 2(ф) — яш 22. 22 4 Отсюда ЬЬЛ .„- — з)п~ О, О= И вЂ” р, 4 Г па 1112 1 раб 2112 Ь вЂ” ( — ) 21ллр, ю — — ( — ) ивлр ( р! везет — и (1 — з-Я' ) — — уг„—, соя 2лб.
Эти выражении можно переписать в следующем виде: 2„А я(л 2л (юс — рл), — уг„— 2шеА соя 2л (ыс — рл), и (2ле)2 11/2 А — 4 я)п'лр, Ьз — 4 ( — ) —. < 1. у ( та ) 21олр С точностью до несущественной нормировки вти результаты воспроиаводат линейное резвение. Гл. 17. '!'очные решения Если (с 1, то К оо, и следует рассыатривать случай колечных пределов 2Кю О, 2КР-ьр.
Эллиптические функции имеют следующие пределы: эпь" 1ЬГ, бпГ-ьэесЬГ, К(ф) 1ЬГ, тав что соотнопэения (17.88) — (17.87) дают ь ( — "„")'"еьР, !1-~ — — "44)Ы'эьР. Отсюда э„— (Ь (Оà — Ря), тн — п(1 — )(с "э)- ™эес)сэ(И.,— Ри). Таким обравом, мы получили уединенные «олин. Основываясь на равличных прибгпсженных выражениях и частных случаях, Тода раввивает убедительные доводы в полъэу того, что эти уединенные волны вэаивюдействуют так же, как к в непрерывных случаях, сохраняя после вэаимодействия первоначальную форму ').
УРаВНЕ7!иЕ БОрНа — ИНфЕЛьда Уравнение Бориа — Инфельда (1 — Т()Т + 26эсрссры — (1 + 1,.")срсс = О имеет реп~ения тигш уединенных яолп, но ояи существенно отлича- ютсЯ от РассмотРенных выше Решений. Легко пРовеуиттч что 11 = Ф [и — 1) и р = Ф (г + С) являются точными решениями атого уравнения для любой функции Ф. В частности, функцию Ф можно выбрать в виде одиночного горба и нолучить реп1ение, похонсее на уединеннуто волну, но оно не будет обладать какой-либо естественной структурой. Уравнение является гиперболическим в области 1+ р„* Т,~О *) Ввосведсяжя яа осяовэ метода абратвоа вавачи рассеяная бмва вострсепэ точная теория. Это было сделаве веээввсвмо э слевуввцвх работах: Мэвэксв С. В., О яеэвая внтесрирусмссти л стохасшвэцав в лвсвоетенх Вавамвчесавх системах, ЖЭТЮ, 67 (1974), Ув 1, 543 — 665; У(авьйа Н., Ов сье тое» !акиса!1, Р с .
та с. Рэр., 61 (1974), 106 — 716.— пр . р р. 17.15. Взаимодействующие волны н, возможно, в капой-то мере относится к части 1 книги. Заметим, что полученшае здесь уединенные волны имеют постоянные характериствчсские скорости ~1 н не происходит обычного опрокидывания, характерного для нелинейных гиперболических воли. 17.15. Вза "действу («и», Решения 1 ярбашова и Черникова (1) можно естественным об- рааом получить при помощи преобрзаования годографа, хотя простота преобразованных уравнений неожиданна. Прежде всего введем панне перемевнлге ф= — г, д= .+с, =-рз, об ф и получим вквивалептиую систему и„—,=а, сзиз — (1 + 2во) ив + изоч = О. й(еняем роли вазисимых н независимых персменпыт, что дает ьзд, + (1 + 2 во) 4, .(- в%„— О, (17.90) или одно аквивалевтное ураввсние и%„„ -~- (1 +2ио) й„, +ьзп, +2ис, -Р 2о(, =- О.
(17.91) Предпалагав, что искомые решения находятся в гиперболической области, теперь естественно перойтн н нахождению характеристик линейкой систеюг (17.90), или, что то же самое, линейного уравнения (17.91). Оки нвлянпся интегральныл1и кривыми дпфференНиальиого уравнения пздгт — (1 + 2ио) г(идо + сейнт = 0 в, вак оказывается, имеют впд г = совя1, з = сопзс, где (17.92) Если вместо и, ~ ввести зги новые перел~сивые г, з, то уравнении (17.90) приггут следующий еид: гт4, + г), = О, (17.93) с, + зч), = О. Удивительно, что, исключая переменную г) для того, чтобы перейги к уравнению, аналогичному (17.91), зиз получаем просто йж = О. (17.94) Гл.
17. Точпьге решения А ведь преобразование годографа гарантирует лшпь линенность уравневия и могло бы окаааться бесполезным для практических делей. Общее решение можно записать в виде х — С=-Е =. ЕО') — ~ бтС (3) щз (17.95) х+С=О=С(з) — ) гаук(г)бг, (17.96) где Е(г), С(з) — произиольлые функции.
Поскольку йь=кЬ+озр= — "$,+ — 'Ф=гр'(г) и аналогично соответствузащее выражение для гр таково: р= ~ гул(г)г)г+ ) С'(г) дз. Наконед, пелесообразно произвести замену Р(г)=р, С(з)=п, г=Ф;(р), з=-Ф;(и) и записать решение следующим образом: (17.97) р = Ф, (р) + Ф, (о), х — г=р — ~ Фз'(о)бп, и+г=-и+) Ф (р)др. (17.160) о Голи функции Ф, (р) и Фз (и) локализованы, т.
е. отличны от ну- ля, например, лишь в интеркалаз — 1( р ( О, О ( и ( 1 соот- ветственно, то (17.98) (17.99) р = Ф, (х — с) + Ф, (х + з) при с ( О. <е=-Ф,~х — с+ ~ Ф,"(о)бо)-+Фт(х+т — ~ Ф (р)др~. (17.101) Волна Фг приходит иа х =- — оо, а волна Ф» — из х = + оо.
Когда С вЂ” ь + со, решение можно записать в виде 17.15. Взаимодействую<цие волны Каждая волна сместилась а направлении, противоположном на- правлению ее распространен<ш, на величину <р<() В этом отношении по своему конечнол<у результату взаимодействие подобно осталылям примерам ззаимодейстзия уедияенных поли.
Но «о всех остальных отношенилх прелстаэляетгя, что реп<ения уравнения Еорна — Инфельда (а также само это ураэпемие), по-видимому, относятся к иакому-то иному классу. Еще одно замечание о решении, заданпом формулами (17.98)— (17.100). Отобрал<е<ше иа (л, з)-плоскости в (р, и)-плоскость е процессе взаимодействия волн может приобрести особенность, хотя иа (17.101) и следует, что после зэаямодейстэия решение снова становится аднозиачнь<м. Эта можно интерпретировать как формироэание упарной возим и связать с тем фактом, что я процессе взаимодействия характеристические скорости отклоняются от значений ~1 и могут поэвитьол огнбаюп<не хары<теристик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
