Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Концентрация субстрата в культиваторе равна при этом концентрации поступающего субстрата Яо, а концентрация биомассы равна нулю. Если в такой культиватор заложить «зал равку», микроорганизмы будут вымыты из культиватора, не успев размножиться. Для второй особой точки с координатами (11.12) корни характеристического уравнения равны: (Ра Р)(1 Уо)(1 Р). (11.19) Напомним. что это ненулевое по биомассе состояние равновесия существует в поло- жительном квадранте фазовой плоскости лишь при значениях скорости разбавле- ния Р < Р,.
Так как 1-у, то все три сомножителя, входящие в выражение для Лт в (11.19), положительны. Следовательно, Лт < О, и точка (11.12) — устойчивый узел. Это и есть рабочее состояние проточного культиватора. Фвзовые портреты системы для двух значений скоростей протока Р < Р„и Р ) Р„ приведепьг на рис. 11.4 и, б. Уравнение изоклпны горизонтальных касательных получим, приравняв правую часть второго уравнения (11.9) нулю: Р(уо — У)(1 4 у) х —-- (11.20) Изоклины вертикальных касательных на рисунках 11.4: ось х —..— О и прямая Р 1 — Р' (11.21) 198 В случае, когда Р с Р, главные изоклины ( 1!.20) и (11.2!) пересекаются в положительном квадранте, точка их пересечения является устойчивым узлом, а точка пересечения кривой (11.20) с осью г = 0 --. седлом (рис.
11.4 а). В случае Р ) Р„главные изоклипы (11.20) и (11.2!) пересекаются вне положительного квадранта и устойчивым узлом будет особая точка (11.11), соответствующая режиму вымывания (рис. 11.4 б), Рассмотренная модель является упрощенной и для описания реальных процессов требует дополнений. Например, при больших концентрациях субстрат может оказывать ингибирующее действие, и тогда формулу для скорости роста следует записывать в виде: (11.22) В системе, где существует такая зависимость скорости роста от субстрата, возмо>кны триггерные режимы наличие двух устойчивых стационарных состояний и зависимость стационарных значений концентраций субстрата и биомассы от начальных условий (от величины затравки и начальной концентрации биомассы). На скорость роста биомассы может оказывать влияние концентрация продуктов метаболизма в среде, окружающей клетку.
Тогда к двум уравнениям, описывающим динамику концентрации биомассы и субстрата в непрерывном процессе культивирования, следует добавить третье уравнение, выражающее динамику концентрации продуктов метаболизма. При атом скорость роста биомассы будет зависеть как от концентрации субстрата, так и от концентрации продукта. Наиболее известную формулу такой зависимости предложил Иерусалимский; (11.23) р(Б) = Р (К,„.!.
Бпкр+ Р) Формула (11.23) известна как формула Моно — Иерусалимского. Исследование модели, учитывающой ннгибирующее действие продукта, показывает, что значение скорости вымывания в такой системе совпадает с величиной Р„ полученной выше для модели Моно. В то же время, ингибирующее влияние продукта ведет к значительному уменьшению стационарных концентраций биомассы. Микроэволюционные процессы в микробных популяциях Быстрота смены поколений делает микробные популяции чрезвычайно удобным объектом для изучения процессов микрозволюции. Пусть требуется изучить микрозволюционный процесс в популяции, протекающий в течение 100 генераций, например, проследить последствия повышения фона радиации.
В популяции однолетних организмов (например, сельскохозяйственных культур) для проведения такого исследования не хватит всей жизни одного исследователя. Для человеческой популяции на сто поколений приходится период времени более 2000 лет. А для микробной популяции с временем генерации д = 20 мин. наблюдение 100 генераций займет около полутора суток. Рассмотрим процесс восстановления популяции после воздействия неблагоприятного фактора.
Пусть процесс происходит в условиях непрерывного культивирования. Предположим, что в микробной популяции в результате воздействия неблагоприятного внешнего воздействия погибает значительная часть клеток. После снятия неблагоприятного фактора в популяции будет происходить процесс восстановления. В результате 199 Моделирование микробных иоирллиий действия протока количество мертвых клеток будет уменьшаться, а количество живых будет определяться двумя процессами вымыванием и размножением. Со временем доля >киных клеток увеличивается, и популяция возвращается к активному состоянию. Рассмотрим простейшую модель такой системы (Н.
С.Печуркин). Разделим все клетки на два типа. Первый т>ш -- потерявшие способность к размно>кению в результате воздействия неблагоприятного фактора неживые клетки. Второй тип сохранившие способность к размножению клетки. Динамика живых и неживых клеток может быть описана системой уравнений: й — - д(Б)х . — Т>х: е>х ех " = — РХв, (11.24) Здесь х.. концентрация живых клеток, хв — концентрация неживых клеток, х общая концентрация клеток в популяции, Я концентрация лимитируклцего субстрата. Функция р,(Я), характеризующая зависимость скорости роста живых клеток от концентрации лимитируюшего субстрата, может быть представлена в форме Моно или в виде более сложной функции.
Боли воздействие неблагоприятного фактора было сильным и погибла значительная часть популяции, потребление субстрата в начальные моменты процесса восстановления будет незначительным. Концентрация субстрата в среде значительно повысится за счет его постоянного поступления. При этом можно считать, что д — -- р, —.—. солям Тогда уравнение для субстрата можно исключить из рассмотрения.
Анализ кинетики восстановления сведется к рассмотрению простой системы первых двух уравнений и алгебраического соотношения для количества клеток. Решив систему уравнений, получим соотношение, определя>ощее долю живых клеток в популяции в любой момент времени й х аое""""' (11.25) 1 ь аое"'"'"' где ао -- отношение количества живых и неживых клеток в начальный момент времени. Можно оценить время, которое необходимо популяции для устранения последствий неблагоприятного фактора. Будем считать процесс восстановления законченным, если в популяции на сто живых осталась одна неживая клетка. Пусть в результате неблагоприятного воздействия в популяции отношение живых клеток к неживым составляло 1:100.
Опенки (Печуркин, 1978) показывают, что для изменения соотношения числа живых и неживых клеток в 10 раз необходимо примерно тринадцать 4 с половиной поколений культуры. Даже при очень сильном неблагоприятном воздействии, например, при ао = 10, время восстановления до 90% уровня живых клеток — 7 составляет 27 генераций. Это объясяяется логарифмической зависимостью времени восстановления от отношения живых и неживых клеток.
На сходных моделях можно анализировать конкуренцию мутантных форм в микробных культурах. Несмотря на то, что частота мутаций, приводящих к улучшению некоторого признака, чрезвычайно низка, именно такие мутанты вытесняют исходную 200 форму за счет действия естественного отбора. Анализ экспериментального материала на основе таких моделей позволил сделать определенные выводы о совместном дей- ствии мутаций и отбора. А именно. преимущества имеют следующие мутанты: ° !«!утанты, способные более полно утилизировать имеющийся субстрат, то есть имеющие отличную от исходной форму зависимости р —.
1 !5). ° «Экономичные» мутанты, способные более полно использовать субстрат. ° Более «резистентные» мутанты, менее чувствительные к воздействию внешнего фактора. ° Мутанты с пониженными скоростями отмирания. ° Менее «мутабельные» мутанты. ° Быстро растущие и быстро отмирающие мутанты. ° Мутанты с увеличенной максимальной скоростью роста. ° !«!утанты, выделяющиеся в неоднородных средах, например, способные противостоять вымыванию из ферментера: прилипать к стенкам или слипаться в комки и выпадать на дно.
Оценка времени замены исходной формы мутантной при воздействии неблагоприятного фактора (например, антибиотика) показывает, как быстро распространяются нечувствительные к гингибиторам мутанты в открытых системах. Возрастные распределения микроорганизмов «!гУ, 2 1, «!Хв 1, 1 = — „Х, — —,Х, - ВХм " - -- —,гУг — —,№ -- 11№. а 'Б 7' ' а т, т (11.27) Здесь Тг — среднее время созревания молодой клетки, 7'з среднее время пребывания старой клетки в репродуктивном периоде, Р -- скорость протока.
Удельная скорость деления клеток ьг =- Т,' . Многкглтель 2 в первом уравнении отражает тот факт, что -1 старая клетка делится на две молодые. Однородность клеток в микробной популяции всегда относительна. Большую роль в и!юпсссах роста микробной популяции играет возрастная структура. Делиться, т.е. увеличивать численность популяции., способны только клетки, достигшие определенного возраста (глли определенного размера). Возрастная гетерогенность популяции может слугкить причиной сложной немонотонной динамики ее численности. Рассмотрим простейшую двухвозрастную модель клеточной популяции !Степанова, 1985). Популяция разбита на две группы клеток: молодые и старые.
Понятие «х«олодые» и «старые» применительно к разным видам микроорганизмов можно трактовать по-разному. В клетках эукариотов молодыми мол«но считать клетки См в которых синтезируется белок, а старых~и все остальные, начиная с Я-фазы синтеза ДИК. Именно на этих поздних стадиях существуют ингибирующие кейлоны, угнетающе действующие на скорость доления. Будем считать, что клетки первой группы интенсивно растут, но не достигли физиологической зрелости и неспособны делиться. Члены второй группы способны к делению. Процесс деления может быть задергкан при помощи различных ингибпторов. Уравнения для численностей молодых (Хг) и старььх (Ая) клеток имеют вид: 201 Моделирование микробных популяций При отсутствии лимитирования субстратом продолжительность первой фазы Та постоянна, продолжительность второй фазы Та зависит от взаимного влияния клеток, которое осуществляется с псмющью метаболитов (кейлонов), выделяем| ах клетками и е:1оедгп Гели ско1юсть выделения и распада кейлонов много больше скорости протока и скорости деления клеток.
концентрация кейлоиов пропорциональна числу. клеток, их выделяющих. Обозначим концентрацика ипгибирующего метаболита 1. Его влияние на удельную скорость деления клеток можно записать в виде: 20 0 Он2 04 08 08 6 Рис. 11.ое. Параметрические области неустойчивости стационарного ненулевого решения при н = 2 (двойная штриховка) и и =- 3 (простая штриховка). Ти — — ао --- шо[1-'- ~ — ) ~ Здесь п порядок ингибирования, )ч — константа ингибирования. Были рассмотрены три ситуации: 1) ингибиторы выделяются только молодыми клетка- 7 мн, 2) ингибиторы выделяютгя только старыми клетками, 3) независимо от возраста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
