Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 34
Текст из файла (страница 34)
На основании численных расчетов уста- 20 новлено, что хаотическое множество локаль- но имеет вид произведения канторова множества на отрезок. Это фрактальное множество занимает промежуточное положение между гладкой линией и гладкой поверхностью, т. е. его фрактальная размерность дробная. Границы зон динамической стохастичности в пространстве параметров очень изреза- 0 1 2 3 Р ны (рис. 10.11). При наложении шумов ца систему (а в 1'ис. 10,11, Области стохагтичногти реацьности такие случайные воздействия на Оптриховка) для системы (10.19): два систему всегда присутствуют) границы бухищпика — две жертвы. (Ллеьшеев, .'1оску — дуг размываться и общий объем хаотических 1935 тов, 198а.) областей, по-видимому, увеличится. Поэтому при биологической трактовке моделей таких систем не счедует придавать большого значения точным величинам параметров на границах областей стохастичности. Гораздо больший интерес представляет вопрос, насколько велик общий объем таких параметрических областей и имеют ли параметры значения, близкие к реальным.
Приложение Примеры фрактальных множеств Мы говорили о том, что странные аттракторы имеют фрактальную структуру. Относительно определения фрактала до сих пор ведутся споры. Однако все эти определения включают в себя представление о том, что фракталом называется сгпруктургь сос«поящая из час«пей, которь«е в каком-п«о смысле.
подобны целому. Измерение длины, площади или обьема такого типа обьектов представляет значительные трудности. Классическим примером фрактальной линии является береговая линия Норвегии. (Е. Федцер, Фракталы, М., Мир, 1991, с. 260,) Для измерения этой изрезанной линии можно воспользоваться штанген-циркулем с раство1юм б и измерять длину в количестве отрезков.
Тогда длина береговой линии будет равна произведению числа отрезков на длину одного отрезка Б = Ж(б)б. При этом, чем меньше будет раствор циркуля (подробнее измерение), тем больше будет полученная длина. Другой способ -- воспользоваться квадратными ячейками размером б х б, которыми мы будем покрывать эту кривую. Число Х(о) ячеек, необходимых для того, чтобы покрыть береговую линию на карте, приближенно равно числу шагов, за которое люжно обойти по карте береговую линию с циркулем раствором б. Однако чем более подробным будет измерение (меньше площадь одной ячейки), тем меньше будет напученная общая плошадь. При уменьшении б (о — О) измеренная длина береговой линии не стремится к постоянному значению, как зто было бы для обычной гладкой кривой, ио хорошо описывается формулой: Цб) = аб« (П.1) Для обычной кривой множитель а равен сумме длин отрезков: а = Бк, а показате,чь Р равен единице. Но для береговой линии Норвегии Р 1,52.
Показатель Р называется размерностью Хаусдорфа — Безиковича или фрактальной размерностью. По определению основателя науки о фракталах Бенуа Мандельброта, «фракталом называется, множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерностик Фракталы можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство.
Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве (Е .=. 3), имеет топологическую размерность .Р—.- 1 и фрактальнукг размерность Р =- = 1. Линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна. Аналогично, множество точек. образукгщих поверхность в евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность Р = 2 н фрактальную размерность Р = 2.
Обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Однако существуют множества, для которых топологпчоская и фрактальная размерность не совпадают. Это имеет место в случае, когда при последовательном уменьшении измеряющего элемента длина кривой не стремится к опрсдолеицому пределу. Например, существуют кривые, закрученные так сильно, что длина нх окажется бесконечной, илн поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они занимают все пространство.
Фрактальная размерность Р кривььх, подобных береговой линии, заключена в интервале от 1 до 2, фрактальная размерность существенно пространственных объектов облаков от 2 до 3. Примеры фрактальных множеств Вот некоторые примеры фрактальных мпожоств, предложенных математиками. Кривая Кох Пример предпожен Хельгой фон Кох в 1904 г.
Построение, представленное на рис. П.1, начинается (и = О) с отрезка прямой длиной Ц1) = 1. Отрезок делится на три части, средняя часть вынимается, вме- и=О сто нее встраиваются две стороны равностороннего треугольника, длиной 1~'3 каждая. В результате получаем кривую первого поколения (и = Ц из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1!'3. Длина кривой первого поколения составляет величину Р(1~3) = 4~3, Следующее поколение полул=1 чается при замене каждого прямолинейного звена уменьшенным образующим элементом.
В результате получим кривую второго поколения (и = 2), состоящую из Х =- 4 и=2 16 звеньев. Каждое звено имеет длину б = 3 = 1~9. Длина кривой второго поколения равна ! Я9) = (4/3)т = 16/9. Заменяя все звенья предыдущего поколения кри- и=3 вой уменьшенным образующим элементом (треугольником без нижней стороны), полу- Рис. П.1. Кривая Кох. Первые четыре шага чаем новое поколение кривой. Кривые для построения. трех поколений представлены на рис. П.1. Кривая п-го поколения при любом конечном и называется предфракталом. Получим выражение для величины размерности Р.
Длина предфрактапа зависит от номера поколения и для и-го поколения определяется формулой: Длина каждого звена составляет б = 3 ". Отсюда число поколений и можно представить в виде: и = -- 1п б/ 1п 3. Длина предфрактала запишется в виде; Т (б) = (4/3)' = ехр( — ) = ехр(1п б (1 — и, ) ) .
(П.2) Сравнивая формулу (П.2) с формулой (П.1), получим выражение для фрактальной размерности кривой Кох: Р =!п4~1пЗ 1,2628. На каждой стадии построения предфракталы Кох могут быть растянуты в линию, поэтому топологическая размерность триадиой кривой Кох Р-, =.- 1. Таким образом, кривая Кох — фрактальное множество с фрактальной размерностью Р = 1п 4/ 1п 3. Сходным образом строятся фрактальные треугольная салфетка и ковер Серпинского, изображенные на рис.
П2, ПЗ. 188 Праман ф5ягьяггильныя синожегтно н" ". о у у и '-! гг Рис. 11.2. 11огтрогние тргугольной салфетки Сер~инского. 11ачальный элвиент треугоэ~- ниь со всегнг януНэеннггяпэ ~очкагги. Образуянкий элемент всклкэчает ~гз ае(о пан тральный среуго„и пик. На рисунке показаны ля ~ ь ноколоний предфрактялов, Фрак салигов множество получается в пределе при бесконячно болэипон числе покотгний я имеяг фракзаньнучо разгггр ног ть !) = Иг 31 1п 2 = 1,88... 1'ис. П.З. Построения ковра Сгрпингко~о. Начальный элемент — черный квадрат со с~ороной, равной 1. Из него вырсчае на бяыый квал5я5 г со сяоропой, раваой 1'3.
Далее и~ каждого черного квадрата вырезается снова белый ква трат со стороной, равной 1. 3 стороны черного кввлрсна. Нгг рисугио показаны четыре поколения предфракта.кнь Размерность подобия 1) .= =- 1в 8г' 1п 3 .= 1,80... н:::О уу l г ~ясфк1й:фа 'афоня~ !и:~ .1с:.'.яэ',М1я",-я;:я',:я~ 1сфф.; г, ~ фк5 !н 5я,.'н.
я:"я1'я5 Гятяьяэяяк зачин я" К1 ,я ф~.':яфм':,'м.)фя~ ! йгй: я'.зггя:;, г, сся! я1 !1рнжерм фронтальных множеств Каиторово множество Канторово множество названо в честь великого математика Георга Кантора (1845-1918)! открывшего его в 1883 г. Построение кривой Кох можно рассматривать как и!юцесс добавления к отрезку все более мелких деталей.
Построение канторова множества сводится к выбрасыванию из первоначального отрезка все более мелких отрезков (рис. П.4). ! и — —.2 ~ и =-3 И вЂ” —.4 ° В Вв ° В ВВ ° В Вв нн нн Ю Вв ° В Вв нн нн И=.-5 нн нн но !и! Рнс. ПА. Кап»ерово множество. 11 = !п2!!!п3 0,63092. Реальные системы, имеющие фрактальную структуру, имеют конечную массу. Пример распределения массы в фрактальном множестве дает конторов тлерокень. Будем считать первоначальным элеьлелгтом не одиничный отрезок, а стержень из какого-либо материала с плотногтью ре. Исходный стержень имеет длину !е .= 1, и, следовательно, массу ро = 1, Разрезаем стержень на две половины равной массы р! = ря = 0,5, которые зачем, в результате ковки, укорачивают до длины !! = 1,3 (одинаковой дпя обеих половин).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
